高等数学B-CH7重修串讲

1,第七章微分方程,一、微分方程的基本概念二、可分离变量的微分方程三、齐次方程四、一阶线性微分方程五、可降阶的高阶微分方程六、高阶线性微分方程七、常系数齐次线性微分方程八、常系数非齐次线性微分方程,2,一、微分方程的基本概念,微分方程:凡含有未知函数的导数（或微分）的方程叫微分方程.,微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，称之微分方程的阶.,微分方程的解:,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解.,3,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,微分方程的解的分类：,(1)通解:微分方程的解中含有相互独立的任意常数,且其个数与微分方程的阶数相同.,独立：,不独立：,初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,4,可分离变量的微分方程.,解法：,为微分方程的隐式通解.,分离变量法,（一）可分离变量的微分方程,二、一阶微分方程,5,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,(C为任意常数),(此式含分离变量时丢失的解y=0),6,解:分离变量得：,两端积分得：,例2,微分方程的通解可以用隐函数表示.,注:,7,的微分方程称为齐次方程.,2.解法：,作变量代换,代入原式：,可分离变量的方程,1.定义：,（二）齐次方程,8,例7,解:,9,一阶线性微分方程的标准形式:,线性方程,例如：,线性的;,非线性的.,即对于未知函数及其导数是一次方程.,则方程称为齐次的.,则方程称为非齐次的.,（三）一阶线性微分方程,10,考察下列方程是否是(或能否化为)线性方程？,是非齐次线性方程,y3x25x,是非齐次线性方程,11,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法：,得,(C=C1),解法：,齐次方程的通解为,分离变量,两边积分：,12,2.线性非齐次方程,2.常数变易法,1.公式法：通解为,13,解:,（1）常数变易法：,分离变量：,常数变易：,代入：,14,（2）代入公式法：,15,三、可降阶的高阶微分方程,再次积分，得通解为:,这种类型的方程的解法，可推广到n阶微分方程：,只要连续积分n次,就可得到这个方程的含有n个任意常数的通解.,解法：,特点：,16,解,17,解法：,特点：,代入原方程,得,根据前面的变换又可得到一个一阶微分方程：,对它进行积分，即可得到原方程的通解：,18,解：,19,这种方程的特点是不显含自变量x.解决的方法是把y暂时看作自变量,并作变换：,由复合函数的求导法则有：,这样就将原方程就化为,前式是一个关于变量y、p的一阶微分方程.设它的通解为：,这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解：,20,解:,代入原方程得,原方程通解为,例6,P320,例5,21,一阶线性微分方程,二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,四、线性微分方程的解的结构,22,1.二阶齐次线性方程解的结构:,齐次线性微分方程解的叠加原理,23,2.二阶非齐次线性方程的解的结构:,24,非齐次线性微分方程解的叠加原理,25,五、二阶常系数齐次线性微分方程,1.回顾：二阶常系数齐次线性方程解的结构,上定理说明:求齐次线性方程的通解,关键是找到两个线性无关的解,以下我们用特征方程法来讨论齐次线性方程的通解.,26,2.二阶常系数齐次线性方程解法,-特征方程法,二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特征根的不同情况,得到相应的通解.,27,28,解:特征方程为：,29,解:,特征方程为,解得,故所求通解为,解:,特征方程为,解得,故所求通解为,30,六、二阶常系数非齐次线性方程,以上两种方程的通解有以下的关系：,定义：,31,32,此时,将特解代入原方程可得出所需特解.,同样,将特解代入原方程可得出所需特解.,33,（c1,c2为任意常数）,解:,34,解:,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,35,36,例8,的通解.,解:本题,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,设非齐次方程特解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程得,所求通解为,课本343页例2,37,例9,解法一,特征方程,特征根,对应的齐次方程的通解为,设原方程的特解为,原方程的一个特解为,故原方程的通解为,38,解得,所以原方程满足初始条件的特解为,例9,39,解:,对应齐次方程通解,特征方程,特征根,代入方程,得,原方程通解为,练,40,练习不解方程，写出下列非齐次方程的特解形式：,【解】,1不是特征根，,-1是特征单根，,0是特征单根，,1是特征重根，,41,结论:,42,例10,的一个特解.,解:本题,特征方程,故设特解为,不是特征方程的根,代入方程得,比较系数,得,于是求得一个特解,课本345页例3,43,例11,的通解.,解:,特征方程为,其根为,对应齐次方程的通解为,比较系数,得,因此特解为,代入方程:,所求通解为,为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为,44,所求方程通解为：,解:,45,解,对应齐次方程通解为,代入方程解得：,所求非齐次方程特解为,原方程通解为,练,46,练习：,找出下列方程的特解形式：,47,解的叠加原理,48,解:,设的特解为,设的特解为,则所求特解为,特征根,（重根）,例12,写出微分方程,的待定特解的形式.,49,说明：,上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性微分方程特解的确定，须注意，当特征根为多重时的特解假设的变化；见下表：,50,1.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:,（