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第8章常微分方程初值问题数值解法,引言常用数值解法的导出与使用数值解中误差的积累外推极限法微分方程组与高阶方程解法,引言,在工程和科学计算中，所建立的各种常微分方程的初值或边值问题，除很少几类的特殊方程能给出解析解，绝大多数的方程是很难甚至不可能给出解析解的，其主要原因在于积分工具的局限性。因此，人们转向用数值方法去解常微分方程，并获得相当大的成功，讨论和研究常微分方程的数值解法是有重要意义的。,8.1常用数值解法的导出与使用,8.1.1数值微分法局部截断误差,8.1.1数值微分法局部截断误差,精确解：y=(1+2x)-0.45,8.1.2数值积分法隐式公式的使用,例8.2用梯形公式求解例8.1的问题,8.1.2数值积分法隐式公式的使用,预测值,校正值,初值问题的Euler方法,初值问题的Euler方法,误差概述,误差概述,误差概述,6.1.3数值稳定性分析,数值稳定性分析,定义6.1.3若某数值算法的绝对稳定性区域包含h平面上的左半平面Re(h)0，则称该方法是A稳定的。隐式Euler法是A稳定的。,6.2Runge-Kutta方法,Runge-Kutta方法,Runge-Kutta方法,Runge-Kutta方法,6.2.2四阶Runge-Kutta方法,四阶Runge-Kutta方法,6.2.3R-K法的稳定性,R-K法的稳定性,R-K法的稳定性,6.2.5隐式R-K法,隐式R-K法,隐式R-K法,隐式R-K法,隐式R-K法,6.3线形多步法,单步法主要依据yn的信息去计算yn+1。线性多步法是想依据yn，yn-1，yn-r(r1)的信息去计算yn+1。考虑到线性组合较为方便，因此，线性多步法一般形式可设为,6.3.1基于数值积分的方法,基于数值积分的方法,基于数值积分的方法,基于数值积分的方法,基于数值积分的方法,基于数值积分的方法,Adams预估校正法预估校正并取,6.3.2基于Taylar展开式的方法,基于Taylar展开式的方法,基于Taylar展开式的方法,6.4一阶常微分方程组数值解法,在许多实际问题中，常常出现高阶微分方程和高阶微分方程组，通过引入新的变量，总可化为一阶微分方程组。由此可知，讨论一阶常微分方程组的数值解法是很有意义的。,6.4.1解一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K方法,一阶常微分方程组的R-K算法,一阶常微分方程组的R-K方法,6.4.2刚性方程组,刚性方程组,刚性方程组,6.5常微分方程边值问题的数值解法,设二阶线性常微分方程为常见边界条件有三类：,6.5.1差分方程的建立,差分方程的建立,
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