第六章-常微分方程 1

第八章常微分方程,第一节常微分方程的基本概念与分离变量法,第二节一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程,第三节二阶常系数线性微分方程,机动目录上页下页返回结束,一、微分方程的基本概念,微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程,特别当微分方程中所含的未知函数是一元函数时，时的微分方程就称为常微分方程.,微分方程的阶：微分方程中，所含未知函数的导数的最高阶数定义为该微分方程的阶数,机动目录上页下页返回结束,线性微分方程:当微分方程中所含的未知函数及其各阶导数全是一次幂时，微分方程就称为线性微分方程.,在线性微分方程中，若未知函数及其各阶导数的系数全是常数，则称这样的微分方程为常系数线性微分方程,微分方程的解：如果将函数,代入微分方程后,能使方程成为恒等式，,这个函数就称为该微分方程的解,微分方程的解有两种形式：,常微分方程的通解,微分方程的特解,如果解中包含任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为,不含有任意常数的解，称为,机动目录上页下页返回结束,初始条件：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件,机动目录上页下页返回结束,解：,机动目录上页下页返回结束,由初始条件,代入,由初始条件,代入,则,于是，满足所给初始条件的特解为,机动目录上页下页返回结束,定义1（线性相关，线性无关）,设函数,是定义在区间内的函数，若存在两个不全为零的数,使得对于内的任一恒有,则称函数在内线性相关，,否则称为线性无关,线性相关的充分必要条件是在区间内恒为常数,若不恒为常数，则线性无关,当与线性无关，函数中,含有两个独立的任意常数和,机动目录上页下页返回结束,二、分离变量法,称为可分离变量的方程.,可分离变量方程的特点：,等式右边可以分解成两个函数之积，,其中一个只是的函数，另一个只是的函数,机动目录上页下页返回结束,可分离变量方程的解法：,（1）分离变量：将该方程化为等式一边只含变量，,而另一边只含变量的形式，即,（2）两边积分：,机动目录上页下页返回结束,例2.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),机动目录上页下页返回结束,解方程变形为,分离变量得,两边积分得,求积分得,所以,即,(此式含分离变量时丢失的解y=0),机动目录上页下页返回结束,例4.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,机动目录上页下页返回结束,例5.,成正比,求,解:根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t足够大时,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.微分方程的概念,微分方程;,初始条件;,2.可分离变量方程的求解方法:,说明:通解不一定是方程的全部解.,有解,后者是通解,但不包含前一个解.,例如,方程,分离变量后积分;,根据初始条件定常数.,解;,阶;,通解;,特解,y=x及y=C,机动目录上页下页返回结束,找出事物的共性及可贯穿于全过程的规律列方程.,常用的方法:,1)根据几何关系列方程,2)根据物理规律列方程,3)根据微量分析平衡关系列方程,(2)利用反映事物个性的特殊状态确定初始条件.,(3)求通解,并根据初始条件确定特解.,3.解微分方程应用题的方法和步骤,机动目录上页下页返回结束,思考题,机动目录上页下页返回结束,练习:,解法1分离变量,即,(C0),解法2,故有,积分,(C为任意常数),所求通解:,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,作业P144习作题2.(1)(3)155习题八4.,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,机动目录上页下页返回结束,第二节一阶线性微分方程与可降阶的高阶微分方程,一、一阶线性微分方程,二、可降阶的高阶微分方程,机动目录上页下页返回结束,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,机动目录上页下页返回结束,已知函数,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动目录上页下页返回结束,上述求解方法称为常数变易法,用常数变易法求一阶非齐次线性方程的通解的步骤为：,（1）先求出非齐次线性方程所对应的齐次方程的通解,（3）将所设解代入非齐次线性方程,解出,并写出非齐次线性方程的通解.,（2）根据所求出的齐次方程的通解设出非齐次线性方程的解(将所求出的齐次方程的通解中的任意常数C改为待定函数即可).,齐次方程通解,非齐次方程特解,机动目录上页下页返回结束,首先对(1)式所对应的齐次方程求解,方程(2)分离变量得,两边积分得,所以,齐次方程（2）的通解为,机动目录上页下页返回结束,将通解中的任意常数,换成待定函数,即令,为原方程的通解,将其代入原方程得,于是,所以,将所求的的代入上式得原方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,例.解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,机动目录上页下页返回结束,在闭合回路中,所有支路上的电压降为0,例3.有一电路如图所示,电阻R和电,解:列方程.,已知经过电阻R的电压降为Ri,经过L的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,其中电源,求电流,感L都是常量,机动目录上页下页返回结束,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,机动目录上页下页返回结束,二、可降阶的高阶微分方程,所以,机动目录上页下页返回结束,方程的解法：,方程的特点：方程右端不显含未知函数.,则,代入方程得,机动目录上页下页返回结束,解因为方程,不显含未知函数y,所以令,则,将其代入所给方程,得,分离变量得,两边积分,所以,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,代入原方程得,即,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.一阶线性方程,方法1先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2用通解公式,机动目录上页下页返回结束,2、可降阶的高阶微分方程,练习题,判别下列方程类型:,提示:,可分离变量方程,线性方程,线性方程,机动目录上页下页返回结束,以前未接触过,机动目录上页下页返回结束,作业148习作题.(1)(2)P155习题八10.(2)(3),可以,第三节二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数线性微分方程解的性质,二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法,三、二阶常系数非齐次线性微分方程的求解方法,机动目录上页下页返回结束,第三节二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数线性微分方程解的性质,为常数）,称为二阶常系数齐次线性微分方程.,定理1（齐次线性方程解的叠加原理）若,也是齐次线性方程的解,且当,线性无关时,是齐次线性方程的两个解,则,就是齐次线性微分方程的通解,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,称为二阶常系数非齐次线性微分方程.,称,为二阶常系数非齐次线性微分方程对应的齐次方程.,定理2（非齐次线性方程解的结构）,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(r为待定常数),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,机动目录上页下页返回结束,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取u=x,则得,因此原方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,小结:,特征方程:,实根,机动目录上页下页返回结束,例1求方程,的通解.,解方程,的特征方程为,其特征根为,所以,为所给微分方程的通解.,为任意常数）,例2求方程,的通解,解方程,的特征方程为,其特征根,（二重特征根）,故所求通解为,机动目录上页下页返回结束,例3求方程,满足初始条件,的特解.,解,的特征方程为,所以,特征根,所以,所给微分方程的通解,由初始条件,得,由,得,从而得,于是,机动目录上页下页返回结束,练习,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,练习求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,机动目录上页下页返回结束,内容小结,特征根:,(1)当,时,通解为,(2)当,时,通解为,(3)当,时,通解为,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,求方程,的通解.,答案:,通解为,通解为,通解为,作业P15623,(1),(2)（3）,第九节目录上页下页返回结束,常系数非齐次线性微分方程,机动目录上页下页返回结束,第三节,一、,二、,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,机动目录上页下页返回结束,?,一、,为实数,设特解为,其中为待定多项式,代入原方程,得,(1)若不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为m次多项式,Q(x)为m次待定系数多项式,机动目录上页下页返回结束,(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为,(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为,小结,对方程,即,即,当是特征方程的k重根时,可设,特解,机动目录上页下页返回结束,例1求方程,的一个特解,解:本题,而特征方程为,不是特征方程的根.,设所求特解为,代入方程:,比较系数,得,于是所求特解为,例.,的一个特解.,解:本题,而特征方程为,是特征方程的一个根.,设所求特解为,代入原方程:,比较系数,得,于是所求特解为,机动目录上页下页返回结束,例3求方程,的通解.,所对应的齐次方程为,解方程,特征方程为,，特征根为,故齐次方程（2）的通解为,又因为非齐次方程（1）的自由项,中的,恰是二重特征根,故可令,为方程,将,得,于是所求特解为,故所求通解为,二、,为m次多项式,方程变为,则式(1)的解可写成,的形式,的实部,即为方程(2)的解;,即为方程(3)的解.,的虚部,机动目录上页下页返回结束,定理若,为方程,的解,为方程,的解,的解,则,为方程,证将,代入方程,得,机动目录上页下页返回结束,例4求方程,的一个特解.,解由于方程,的自由项,的实部,所以先解如下辅助方程的,因为,不是特征方程,的根,所以可设,为方程的一个解,将,代入下式得,机动目录上页下页返回结束,所以方程（2）的特解,因此,它的实部,就是所给方程的一个特解.,因此,它的虚部,就是方程的一个特解.