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文档简介

微分方程,第九章,第一节,微分方程的基本概念,第九章,二、基本概念,一、问题的提出,例1,x,解,一、问题的提出,解,例2,一条平面曲线通过坐标原点，且该曲线上任意一点M(x,y)处切线的斜率等于该点横坐标的平方，求该曲线的方程.,其中C为任意常数.,把条件(2）代入(3)式得C=0.,将C=0代入(3）式，即得所求曲线方程,例3,质量为m的物体,只受重量作用,从静止开始做自由落体运动,求物体的运动规律.,解,首先建立坐标系，,即,1.微分方程:,二、基本概念,凡含有一个或几个自变量、未知函数以及未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.若自变量只有一个，则称为常微分方程；若自变量的个数不止一个，则称为偏微分方程.,常微分方程的一般形式：,如：,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,常微分方程,偏微分方程,2.微分方程的阶:,一阶微分方程,高阶(n2)微分方程,显式方程,隐式方程,微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称之.,3.线性与非线性微分方程:,(关于y线性),(非线性),(关于y非线性),(关于x线性),4.微分方程的解:,的解；,5.微分方程的解的分类：,(1)通解:,通俗地说，,微分方程的通解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这些常数之间没有任何关系.,(2)特解:不含有任意常数的解.,思考.,通解是否一定包含了此方程的所有解？,不一定.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,6.初值问题:,求微分方程满足初始条件的解的问题.,解,例4,所求特解为,的初等解法:初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),在24中,将讨论对方程,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,初值问
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