常微第一讲-绪论和基本概念

常微分方程OrdinaryDifferentialEquation,授课教师：郭霄怡Instructor:GuoXiaoyiE-mail:guoxyi,教材(TextBook)常微分方程金银来等编著（电子工业出版社）,参考书目(Reference)常微分方程王高雄周之铭等中山大学数学系(高等教育出版社)常微分方程金福临等编著复旦大学数学系(上海科技出版社)常微分方程讲义叶严谦等南京大学常微分方程东北师范大学微分方程教研室编著（高等教育出版社）,Bellman.StabilityTheoryofDifferentialEquations.McGraw-Hill,NewYork;Coddington.andLevis.TheoryofOrdinaryDifferentialEquations.McGraw-Hill,NewYork;Hartman.OrdinaryDifferentialEquations.Wiley,NewYork.C.HenryEdwards,DavidE.Penney.ElementaryDifferentialEquations(机械工业出版社),300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程。然而,运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.,常微分方程绪论,一、微分方程模型,例1求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程.,即,又由条件:曲线过(1,3),即,例2物理冷却过程的数学模型,将某物体放置于空气中,在时刻,时,测得它的温度为,10分钟后测量得温度为试决定此物,体的温度和时间的关系,并计算20分钟后物体的温度.这里假设空气的温度保持在,解:Newton冷却定律:1.热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导;2.在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.,注意:此式子并不是直接给出和之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得与之间的关系式,以后再介绍.,例3R-L-C电路,如图所示的R-L-C电路.它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t).设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.,解:电路的基尔霍夫（Kirchhoff）第二定律:在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.,设当开关K合上后,电路中在时刻t的电流强度为I(t),则电流经过电感L,电阻R和电容的电压降分别为其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律,得到,因为于是得到,这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.,例4数学摆,数学摆是系于一根长度为的线上而质量为的质点M.在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示.试确定摆的运动方程.,附注2:假设摆是在一个有粘性的介质中作摆动,如果阻力系数为则摆的运动方程为:,附注3:假设摆还沿着摆的运动方向受到一个外力F(t)的作用,则摆的运动方程为:,附注1:如果研究摆的微小振动,即当比较小时,可以取的近似值代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动方程:,常微分方程是现代数学的一个重要分支，是人们解决各种实际问题的有效工具，它在几何、力学、物理、电子技术、航空航天、生命科学、经济领域等都有广泛的应用。,微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，在公元17世纪，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。同时，数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。,二、微分方程的发展历史,牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。,三、微分方程的研究方法,1、利用初等函数或初等函数的积分形式来导出微分方程的通解，常微分方程的解包括通解和特解。能用初等积分求通解的是非常少的，因此，人们转而研究特解的存在性问题。,2、利用数学分析或非线性分析理论来研究微分方程解的存在性、延展性、解对初值的连续性和可微性问题。,3、微分方程解析理论,由于绝大多数微分方程不能通过求积分得到，而理论上又证明了解的存在性，因此，人们将未知函数（即解）表示成级数形式，并引进特殊函数，如:椭圆函数、阿贝尔函数、贝塞尔函数等，并使微分方程和函数论及复变函数联系起来，产生了微分方程解析理论。,5、微分方程的定性和稳定性理论其特点是在不求出方程解的情况下，直接根据微分方程本身的结构和特点，来研究解的性质。由于其有效性，近百年来它们已成为常微分方程发展的主流。,4、微分方程的数值解法,四、微分方程的主要讲授内容,1.基本概念和基本定理；2.初等积分法；,3.线性微分方程（组）；,4.定性和稳定性理论简介；,5.应用微分方程模型简介。,五、如何学好微分方程,1.课前预习,培养兴趣。,2.认真听课，积极主动学习。,3.课后学习、练习，巩固提高。,马克思,华罗庚,一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.,聪明在于学习,天才在于积累.,学而优则用,学而优则创.,由薄到厚,由厚到薄.,微分方程基本概念,1微分方程,联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）的等式称为微分方程。例如：,注：一个关系式要成为微分方程，要求该关系式中必须含有未知函数的导数或微分，但其中的自变量或未知函数可以不显含.如果一个关系式中不显含未知函数的导数或微分，则这样的关系式就不能成为微分方程，例如就不是微分方程.实际上，我们在数学分析课程中已经知道，它是一个函数方程.,方程的阶数：一个微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶数。,区分：1）常微分方程和偏微分方程；2）隐式方程和显式方程；3）线性方程和非线性方程。,是一阶微分方程；,是一阶微分方程；,是二阶微分方程；,是四阶微分方程.,如果微分方程中未知函数依赖于两个或更多的自变量，称为偏微分方程。例如上述：,1）常微分方程和偏微分方程如果微分方程中未知函数只依赖于一个自变量，称为常微分方程。例如上述：,注：我们不特别声明，就称常微分方程为微分方程或方程。,2）隐式方程和显式方程（一般的）,一阶隐式方程形如：,一阶显式方程形如：,n阶隐式方程形如：,n阶显式方程形如：,（其中F为已知的函数）,（微分形式的一阶方程：）,3）线性方程和非线性方程,如果一个微分方程是关于未知函数及其各阶导数的一次有理整式（线性的），则称它为线性微分方程，否则称之为非线性微分方程。,例如上述：,是线性微分方程，,是非线性微分方程。,一般地，以y为未知函数，以x为自变量的n阶线性微分方程隐式方程具有如下形式：,显式方程具有如下形式：,2通解与特解,定义1.1设函数,在区间I上连续，且有,得到在区间I上关于x的恒等式，,则称,为该方程在区间I上的一个(显式)解.,微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.,直到n阶的导数.如果把,代入微分方程:,若关系式,决定的隐函数,是,上的解。,上的解。,注：本课程中将不再区分显式解和隐式解，统称为,微分方程的解。,的含有n个相互独立,n阶微分方程,注1：若存在,的一个邻域，使得,则称,含有n个相互独立的常数。,称为该方程的通解。,通解和特解,的解,的任意常数,例3：函数,又该方程有两个明显的常数解y=，,的通解。,是方程,在区间（-1,+1）上的通解，,其中C是任意常数.,这两个解,不包含在上述通解中.,特解：在通解中确立了一组任意常数后所得的解。,为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必需满足的条件，这就是定解条件。常见的定解条件是初始条件。,3初值问题,求微分方程满足定解条件的解就是所谓的定解问题。,当定解条件为初始条件时，相应的定解问题也就为初值问题。,4积分曲线,为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象.,的一个特解,是xoy平面上的一条曲线，称为方程的积分曲线，而,的图象是平面上的一族曲线，称为,一阶方程,的图象,积分曲线族.,通解,为了叙述简便，我们对解和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程，也有积分曲线和积分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，,5初等积分法,其余部分将讨论某些具体类型的常微分方程的初等解法即初等积分法，是指把求解的问题化为求积分。并将方程的解（显式或隐式解）用初等函数或其积分通过有限次运算表示出来。可以用该方法求解的常微分方程称为可积的方程。,本节要点,P6：1、3.,作业,常微分程的定义，方程的阶，隐式方程，显式方程，线性方程，非线性方程.常微分方程解的定义，通解，特解，通积分，特积分.初值问题及初值问题解的求法.解的几何意义，积分曲线.,牛顿(16421727),伟大的英国数学家,物理学家,天文,学家和自然科学家.,他在数学上的卓越,贡献是创立了微积分.,1665年他提出正,流数(微分)术,次年又提出反流数(积分)术,并于1671,年完成流数术与无穷级数一书(1736年出版).,他,还著有自然哲学的数学原理和广义算术等.,(雅各布第一伯努利),伯努利(16541705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.,欧拉(17071783),瑞士数学家.,他写了大量数学经典,著作,如无穷小分析引论,微,还,写了大量力学,几何学,