第二章-定解问题与偏微分方程理论

1,Email:yc517922,数理方程与特殊函数,任课教师：杨春,数学科学学院,2,(一)、物理规律与波动方程的建立,第二章定解问题与偏微分方程理论,本次课主要内容,(二)、定解条件,3,一、波动方程及其定解条件,(一)、物理规律与波动方程,第二章定解问题与偏微分方程理论,1、什么叫物理规律？,某物理量在空间和时间中的变化规律。它反映同一类物理现象的共同规律。,若物理量仅随时间变化，其数学表达式为常微分方程；若与时空均有关，则为偏微分方程。,4,数学物理方程是指从物理问题导出的函数方程，主要指偏微分方程与积分方程。,我们将重点讨论物理上的三种典型的二阶线性方程的一些基本解法，以便借助于数学物理方程这一工具，更好地描述基本的物理现象，研究一些重要的物理规律。,这些物理规律包括：弹性体的振动、热的传导和粒子扩散、电磁波的传播等。,5,常用物理规律(一),1、牛顿第二定律,2、虎克定律,6,对虎克定律的说明：,公式中P称为协强或应力。它表示弹性物体单位截面所受作用力，P=F/S。,公式中ux表示伸长率，称为协变。,Y表示杨氏弹性模量，等于协强比协变。,杨氏弹性模量由材料决定！,7,常用物理规律(一),3、克希荷夫定律,(1).节点电流定律,(2).回路电压定律,8,2、波动方程,如何建立偏微分方程？,(1).明确物理过程与研究对象(待研究物理量);,(2).进行微元分析；,分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。,(3).化简、整理算式。,9,例1、均匀细弦微小横振动问题,一根均匀柔软的细弦线，一端固定在坐标原点，另一端沿x轴拉紧固定在x轴上的L处，受到扰动，开始沿x轴（平衡位置）上下作微小横振动（细弦线上各点运动方向垂直于x轴）。试建立细弦线上任意点位移函数u(x，t)所满足的规律。,10,分析：,(1).研究对象：u(x,t),(2).微元分析:在时刻t,取弦微元ds,其对应区间为：x,x+dx;,分析微元和相邻部分的相互作用，根据物理定律用算式表达这种作用。,11,设细弦线各点线密度为，细弦线质点之间相互作用力为张力T(x，t),水平合力为零=T2cos2T1cos1=0T2T1T,铅直合力:T(sin2sin1)=T(tan2tan1),T(tan2tan1)=dxutt,由牛二律得：,12,utt=a2uxx,其中,一维齐次波动方程:utt=a2uxx,下面考虑强迫振动情形：,Tux(x+dx，t)ux(x，t)=dxutt,Tuxx(x+dx，t)dx=dxutt,考虑细绳在振动中受向上的恒外力密度F(x，t)的作用和细绳的重力作用。,13,铅直合力为：,f(x,t)=F(x,t)/-g,由牛二律得：,整理后得：,其中：,14,例2、细杆的纵向振动问题。设均匀细杆长为L，线密度为，杨氏模量为Y，杆的一端固定在坐标原点，细杆受到沿杆长方向的扰动（沿x轴方向的振动）。试建立杆上质点位移函数u(x，t)的纵向振动方程。,15,由牛顿第二定律SYux(x+dx，t)ux(x，t)=Sdxutt,令a2=Y/。化简，得utt=a2uxx,16,例3长为l密度为的均匀柔软细绳在x=0端固定，在重力作用下，垂直悬挂。横向拉它一下作微小横振动。写出振动方程。,17,取微元：x,x+dx,竖直方向：,水平方向：,对于(1)，1与2很小，于是得：,18,即：,在x=0处张力等于gl,于是得：,对于(2)，1与2很小，于是得：,由有限增量公式得：,19,例4、高频传输方程,考虑双线传输线，把单位传输线所具有的导线电阻、线间电导、电容以及电感分别记作R,g,c和L.建立电压u(x,t)和电流强度i(x,t)所满足的微分方程。,1、物理背景简介,对于直流电或低频交流电，同一支路的电流相等。,但对于高频交流电，电路中的自感和电容效应将使得电路中电流与电压不仅与时间有关，而且与空间位置有关。,20,所以，对于高频传输线，我们要讨论传输线上电压与电流随时空的变化规律。,分析(仍采用微元分析方法)：,传输线上电阻、电感，线间电容、电导考虑为均匀分布，于是可画出微元等效电路图：,也就是研究电压u(x,t)与电流i(x,t)所要满足的微分方程。,21,由克希荷夫定律得：,由有限增量公式得：,22,23,(二)、具体物理过程描述定解条件,首先指出：具体物理系统所处物理状况除受一般物理规律支配外，还受系统所处的“环境”和系统的“历史状况”的影响。,系统所处的“环境”状况：边界条件,系统的“历史”状况：初值条件,求解一个具体物理问题，都要考虑定解条件！,24,II.第二类边界条件:,III.第三类边界条件:,I.第一类边界条件:,1、三类边界条件,25,例5细杆在x=0处固定，在x=L端受外力F(t)的作用，作微小纵振动。写出其边界条件。,分析：环境影响通过的边界为：x=0与x=L.显然：u(0,t)=0.用微元法分析边界X=L的状况。,26,如何写出三类边界条件？,(1)、明确环境影响通过的所有边界；,(2)、分析边界所处的物理状况；,(3)、利用物理规律写出表达边界状况的表达式。,27,例6长为L的均匀杆两端受到拉力F的作用而振动，写出边界条件。,分析：,环境影响通过的边界是x=0与x=L,杆的两端所受的拉力F等于两端面所受的杨氏弹性力。,28,29,注意：,在例5，6中，如果端面自由，则,课外思考：长为L的均匀杆，一端固定在车壁上，另一端自由。车子以速度v行驶突然停止，写出边界条件。,30,2、初始条件,初始条件是系统在t=0时的状态。初始条件的个数等于微分方程的阶数。,例1、一根长为L，两端固定的弦，用手,把它的中点横向拉开距离h，然后松手让,其自由振动。写出其初始条件。,31,32,例8、一根长为L，线密度为，两端固定,的弦，在中点受到冲量I的作用开始振动。,写出其初始条件。,分析：泛定方程是二阶偏微分方程，因此,需要两个初始条件。,解：作用瞬间，弦上点未离开平衡位置，所以：,33,弦的中点邻域(L/2-,L/2-)受到冲量I的作用，由动量定理：,所以得到邻域内有：,邻域外有：,34,1、有无边界条件的定解问题吗？如何理解？,2、有无初始条件的定解问题吗？如何理解？,习题2.1（P.22）1，2,3,5,35,ThankYou!,36,Email:yc517922,数理方程与特殊函数,任课教师：杨春,数学科学学院,37,热传导、稳态场方程及其定解条件,(一)、热传导方程,第二章定解问题与偏微分方程理论,本次课主要内容,(二)、稳态场方程,(三)、影响物理系统的其它条件,38,常用物理规律(二),1、热传导定律,定义热流密度：,39,2、牛顿冷却定律,单位时间内流过单位面积放出的热量为：,3、比热公式,40,4、高斯定律,41,(一)、热传导方程,截面积为A的均匀细杆，侧面绝热，沿杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。,(1)、细杆的热传导问题,u(x,t),x,n,42,在dt时间内流入微元的热量为：,在dt时间内放出微元的热量为：,在dt时间内微元吸收的净热量为：,43,由比热公式：,由热量守恒定律得：,一维齐次热传导方程,44,设均匀且各向同性的导热体,置于温度比它高的热场中,求物体中温度u(x，y，z,t)所分布的规律。,(2)、三维空间中的热传导问题,导热体,热场,45,分析：,(1)、t1,t2时间里流入导热体的热量Q1计算,先要给出在t1,t2时间里流入导热体的热量，然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的热量。,流入dS的热量微元为：,46,在t1,t2时间里流入S的热量为：,47,(2)、t1,t2里导热体升温需要的热量Q2计算,导热体微元dV在dt时间升温需要的热量为：,t1,t2里导热体升温需要的热量Q2为：,48,由热量守恒定律：Q1=Q2,于是得到：,三维齐次热传导方程,49,如果导热体内部有热源，不难得到非齐次方程形式为：,其中，f(M,t)被称为自由项。,物质扩散与热传导现象相似。所以，热传导方程也称为扩散方程。,50,(二）、稳态场方程,稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征是所研究的物理量不随时间而变化。,1、稳定温度分布,三维齐次热传导方程为：,热传导达到稳定状态时有：,称后一方程为稳态场中的拉普拉斯方程.,51,由静电场的高斯公式：,如果设：,2、静电场中的电势分布规律,可以得到：,52,静电场是保守场，于是存在势函数u(x,y,z)满足：,把(2)代入(1)得：,这就是静电场中电势满足的泊松方程,如果=0，则泊松方程变为拉普拉斯方程。,泊松方程与拉普拉斯方程称为稳态场方程。,53,设流体速度为：v(x,y,z),流体源强度：f(x,y,z),则：,由于流体无旋流动，于是存在速度势,3、流体的无旋稳定流动的速度势分布规律,使：,于是有：,这是泊松方程,54,1、波动方程：,三类典型物理方程总结,2、热传导方程：,3、稳态场方程(泊松方程)：,55,1、不含初值条件,带第一类边界条件：狄里赫列问题，简称狄氏问题；,稳态场方程的定解条件问题,2、边界条件,带第二类边界条件：牛曼问题；,带第三类边界条件：洛平问题。,稳态场方程求解将在第六章讨论！,56,(三）、影响物理系统的其它条件,1、衔接条件,反映两种介质交界处物理状况的条件称为衔接条件。,当物理系统涉及几种介质时，定解条件中就要包括衔接条件。,例1、写出由两种不同材料等截面积杆连接成的杆的纵振动的衔接条件。连接处为x=x0,分析：连接处面上点的位移相等，面上协强相等。,x=x0,Y1,Y2,x,u1(x,t),u2(x,t),57,所以，衔接条件为：,例2、讨论静电场中电介质表面的衔接条件,设1，2与u1,u2分别表示两种介质的介电常数与电势；f表示分界面S上电荷面密度。,58,(1)、在界面处，两种介质中的电势应相等,事实上：根据电场强度与电势梯度的关系有：,于是，若假定E为p1p2上的平均电场强度(显然它有限)，则：,两边对L取极限得：,59,(2)、在界面处，可以导出如下等式：,事实上：根据有介质高斯公式就可以推出上式。,Qf是面S内的总电荷,有介质高斯公式为：,60,取一个包含S的上下底平行的高为h的扁平盒：,由于h可以很小，因此，通过侧面的电通量忽略！,于是由高斯公式有：,而:,61,所以：,说明：如果u1为导体的电势，u2是绝缘体电势，那么，因为导体是等势体，所以有：,2、周期性条件,在极坐标、柱面坐标和球坐标系的经度坐标中，实际物理量常满足周期性条件，即：,62,(1)、在极坐标中：,(2)、在柱坐标中：,(3)、在球坐标中：,63,例如，在静电场中，由电势的唯一性有：,3、有界性条件,在没有源处，物理量一般有界。常考虑物理量在坐标原点处有界。,例如，在静电场中，电势在原点(无电荷）有界；在温度场中，中心温度有界等！,4、无穷远条件,或者在无穷远处u有渐进行为f(r,t)(已知函数）,64,例3、半径为r0的球面，在0N时，对任意,称级数一致收敛于和函数S(x).,107,物理背景：,叠加原理,原理1：,在物理上，常有所谓的叠加现象：即几种因素产生的总效果等于各因素产生的效果总和。,物理上的叠加现象反映到数理方程中来，就得到线性定解问题中的叠加原理。,设ui满足线性方程(或线性定解条件)：,又设：,108,其中：收敛，且算子L与和号能交换次序。,原理2：,那么：,109,其中，M表示自变量组，M0为参数组.,设u(M,M0)满足线性方程(线性定解条件)：,原理3：,且积分,收敛，,并满足L中出现的偏导数与积分号交换次序所需要的条件，那么U(M)满足方程(或定解条件）：,110,原理3的证明：,主要假定了L与积分号的次序可交换！,解的结构定理：非齐次线性偏微分方程的一般解等于对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。,111,例1求泊松方程：,的一般解。,解:(1)先求出方程的一个特解u1,由方程的形式可令u1=ax4+by4,代入方程可得：,注：这是观察法！一般情况下很难求出偏微分方程特解。,112,(2)、求对应齐次方程通解,对应齐次方程为：,作变换：,则齐次方程化为：,再作变换：,113,方程化为：,齐次方程通解为：,原方程通解为：,114,背景：,齐次化原理,在对波动方程与热传导方程定解问题的求解中，常常考虑将定解问题中方程齐次化，这就需要用到下面与此相关的两个齐次化原理。,齐次化原理有明确的物理背景，其背景就是力学中的冲量原理：力作用引起的冲量等于动量的改变。,齐次化原理又称为冲量原理。,齐次化原理的具体物理分析在此略去。,115,齐次化原理1,如果,满足方程：,那么非齐次柯西问题,的解为：,为了证明该定理，先介绍：,116,含参变量积分求导法则,定理,在,上连续，而a(u),b(u)在，上可导，且,对任意u属于，有：,则：,117,证明：首先，,118,齐次化原理2,如果,满足方程：,那么非齐次柯西问题,的解为：,119,对齐次化原理的三点说明：,1、齐次化原理只适用于波动方程和热传导方程，对稳态的泊松方程不能使用这两个原理；,2、齐次化原理使用时必须注意初始条件为零；,3、齐次化原理可以推广到有界域的波动、热传导方程的定解问题上。但定解问题必须满足初始条件为零，边界条件齐次！,120,例2、若V(x,t;)是定解问题,是定解问题,的解，则：,的解.,121,证明：首先，,其次，因V(x,t,)是齐次定解问题的解，因此，不难证明,122,解的适定性,满足解的存在性、唯一性和稳定性的解称为解的适定性。,解的稳定性是指若定解条件有微小变化，其解也只有微小变化。,只有解满足稳定性，其解才有意义，因定解条件常为实验数据，有测量误差。,123,1、定义,函数是指满足下面两个条件的函数,(二)、函数,几点说明：,124,(1)、几何意义,曲线峰无限高，无限窄！但曲线下面积为1。,(2)、物理意义,x0,x,(x-x0),定义中条件(1)反映物理量集中在x0处，该处称为点源；条件(2)反映物理