数学分析13-12

13.1有界闭区域上的重积分,二、二重积分的概念,一、面积,三、多重积分,定积分某种特定形式的和的极限,这种和的极限的概念可推广到定义在区域、曲线、曲面上的多元函数,四、Peano曲线(自学),得到重积分、曲线积分、曲面积分的概念,一、面积,曲边梯形等平面图形的面积可用定积分计算,但方法不能照搬到一般的平面点集,因为一般平面点集是否有面积还是一个问题,1.面积的定义,过这些分点作平行于坐标轴的直线，将U分成许多小矩形,，,称为U的一个划分,显然,记完全包含于D内的那些小矩形的面积之和为mA(以红色折线为边界),(以蓝色折线为边界),与一元函数定积分的Darboux和类似的方法,可以证明下面的结论：,边界的面积为零的有界区域称为零边界区域。,说明,(3)并不是所有有界平面点集都是可求面积的。,(1)可以证明：平面上光滑曲线段的面积为0。,(2)若一个有界区域的边界是分段光滑曲线,那么这个区域是可求面积的。,例如，平面点集,S不是可求面积的,解法:类似定积分解决问题的思想:,二、二重积分的概念,1.曲顶柱体的体积,给定曲顶柱体:,底：xoy面上的闭区域D,顶:连续曲面,侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面,求其体积.,“分割,取点,近似求和,取极限”,用一个面积为零的曲线段组成的曲线网将D分成n个小闭区域D1,D2,Dn，分别以这些小区域的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，这些柱面将原来的曲顶柱体分割成n个细曲顶柱体。,(1)分割,当这些小区域的直径di很小时，由于f(x,y)连续，对于同一个小区域上的不同点，f(x,y)的变化很小，细曲顶柱体可近似地看作平顶柱体,表示Di的面积,(2)取点,(3)近似求和,(4)取极限,2.平面薄片的质量,假设物体是一平面薄板，不妨假定它占有xoy坐标面上的区域D，并设其面密度函数为=(x,y)常数。,这里(x,y)0，且在D上连续。,现在要计算该薄片的质量。,均匀薄片:质量=面密度面积,我们将分割成n个彼此没有公共内点的闭子域,该薄板的质量可表示为,定义13.1.1设是有界闭区域上的有界函数，将区域任意分割成n个小区域,如果当各小区域直径的最大值趋于零时，上述和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记作,3.二重积分的定义,由二重积分的定义可知，平面薄板的质量是面密度函数在薄板所占闭区域上的二重积分,二重积分的几何意义,曲顶柱体的体积是曲顶函数在准线所围成闭区域上的二重积分,二重积分的物理意义,曲顶柱体体积:,平面薄板的质量:,如果在D上可积,也常,二重积分记作,这时,分区域D,因此面积元素,可用平行坐标轴的直线来划,记作,4.二重可积的充分条件,那么它在D上可积。,三、n重积分,定义7.1.2设是Rn中一个可求体积（n=2时为面积）的有界闭区域，f(x)是在上有定义的有界函数，将分割为彼此没有公共内点的任意闭子域,零边界闭区域,如果当0时，上述和式的极限存在，并且该极限与的分割方式及xi的取法无关，我们称该极限值为函数f(x)在上的n重积分，记为,其中f(x)称为被积函数，称为积分区域，也称函数f(x)在上可积。,当n=3时，函数f(x)=f(x,y,z)(x,y,z)，,函数f(x,y,z)在上的三重积分，dv称为体积元素,定理13.1.2(1)（充分条件）若f(x)在上连续，则它在上可积；(2)（必要条件）若f(x)在上可积，则它在上有界。,当n=2时，函数f(x)=f(x,y),(x,y)D，,函数f(x,y)在D上的二重积分，d称为面积元素,物体的质心,先讨论平面薄片的质心。,设在xoy平面有n个质点分别位于(x1,y1)、(x2,y2)、(xn,yn)处，质量分别为m1、m2、mn由，力学知道:,My、Mx叫质点系对于坐标轴的静力矩。,D,先将物体分割为许多小部分，考虑其中的一个部分d，它的质量元素为,这个部分d对于x轴以及对于y轴的静力矩元素为,以这些元素为被积表达式，在闭区域D上积分，可得,如果薄片是均匀的，即当(x,y)为常量时，可得到如下的质心坐标：,这时薄片的质心完全由闭区域D的形状决定，这样求得的质心又称为平面薄片的形心。,Peano曲线一类分形曲线的总称,是一条能够填满正方形的曲线。在传统概念中，曲线的数维是1维，正方形是2维。1890年，意大利数学家皮亚诺（PeanoG)发明能填满一个正方形的曲线，叫做皮亚诺曲线。皮亚诺对区间0，1上的点和正方形上的点的对应作了详细的数学描述。实际上，正方形的这些点对于t0,1,可规定两个