微分方程的基本概念

一、问题的提出,二、微分方程的定义,三、主要问题求方程的解,第一节微分方程的基本概念,在许多物理、力学、生物等现象中，不能直接找到联系所研究的那些量的规律，但却容易建立起这些量与它们的导数或微分间的关系。,解,一、问题的提出,由题有,且满足：,微分方程,含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程。,未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程。,未知函数为多元函数的微分方程，称为偏微分方程。,二、微分方程的定义,例2已知质点在时刻t的加速度为t2+1，且当t=0时，速度v=1、距离s=0，求此质点的运动方程。,s=t2+1含有待求函数的导数，是微分方程。,例1y=2x是微分方程。,s=t2+1，s(0)=1，s(0)=0。,解：设此质点的运动方程为s=s(t)，则有,未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程。例如，y=2x和s=t2+1都是常微分方程。,未知函数为多元函数，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。例如zxx+zyy=0，yzx-xzy=0都是偏微分方程。,常微分方程与偏微分方程：,常微分方程,偏微分方程,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,微分方程的阶数,微分方程中所出现的未知函数的导数（或微分）的,最高次数，称为微分方程的阶数。,一阶,二阶,一阶,练习:方程y=2x和s=t2+1都是几阶微分方程？,线性方程、非线性方程,若一个方程对未知函数及其导数的全体而言是一次的，,且系数只与自变量有关（与未知函数及其导数无关），则称,该方程为线性方程，否则，称之为非线性方程。,线性,线性,非线性,齐次方程、非齐次方程,在方程中，不含未知函数及其导数的项，称为自由项。,自由项为零的方程，称为齐次方程。,自由项不为零的方程，称为非齐次方程。,一阶齐次线性方程,二阶非齐次线性方程,一阶非齐次非线性方程,微分方程的一般表示形式,三、主要问题,那么微分方程所关心的主要问题是什么呢？我们要求什么呢？,废话！当然是求方程的解了。,微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.,满足,那么微分方程的解是什么样的呢？解都有哪些呢？,方程的解、通解、特解、所有解,解,代入方程，得,初始条件（定解条件）,由自然科学、社会科学以及数学本身建立微分方程时，往往同时知道微分方程的解应满足某些已知的条件。这些已知条件就称为微分方程的初始条件或定解条件。,解,微分方程,初始条件,通解,特解,解,微分方程,初始条件,通解,特解,有何想法？,定义2如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则称此函数为该微分方程的解。,微分方程的解：,例1求过点(1,3)且切线斜率为2x的曲线方程。解：设所求的曲线方程是y=y(x)，则根据题意有,在方程y=2x的两边求不定积分得y=x2+c(c为任意常数)。函数y=x2+c就是微分方程y=2x的解。将y(1)=3代入y=x2+c，求得c=2。过点(1,3)且切线斜率为2x的曲线方程为y=x2+2。,例2已知质点在时刻t的加速度为t2+1，且当t=0时，速度v=1、距离s=0，求此质点的运动方程。,解：设此质点的运动方程为s=s(t)，则有,由s(0)=0可得c2=0。,由s(0)=1可得c1=1；,如果微分方程的解中所含任意常数的个数等于微分方程的阶数，则此解称为微分方程的通解。在通解中给予任意常数以确定的值而得到的解称为特解。,通解与特解：,函数y=x2+c和y=x2+2都是微分方程y=2x解；函数y=x2+c是微分方程y=2x的通解；函数y=x2+2是微分方程y=2x的特解。,都是微分方程s=t2+1的解，,前者是通解，后者是特解。,例如，在例1中,例如，在例2中,求一阶微分方程的特解需要一个初始条件，求二阶微分方程的特解需要两个初始条件，依此类推。,初始条件：,用于确定通解中的任意常数的条件称为初始条件。,例如，在例1中,例如，在例2中,y(1)=3是初始条件。,s(0)=1，s(0)=0都是初始条件。,特解:确定了通解中任意常数以后的解.,解的图像:微分方程的积分曲线.,通解的图像:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.,解：,所求特解为,积分曲线（解的几何意义）,常微分方程解的几何图形称为它的积分曲线。,通解的图形是一族积分曲线。,特解是这族积分曲线中过某已知点的那条曲线。,微分方程；,