微分方程与差分方程建模

微分方程建模,司机饮酒驾车问题,如何预报人口的增长,战争模型,传染病模型,经济增长模型,建模示例1司机饮酒模型,设警方对司机饮酒后驾车时血液中酒精含量的规定为不超过80%（mg/ml）,现有一起交通事故，在事故发生3个小时后，测得司机血液中酒精含量是56%（mg/ml），又过两个小时后，测得其酒精含量降为40%（mg/ml），试判断：事故发生时司机是否违反了酒精含量的规定？,设为事故发生的时刻，为时刻血液中酒精的浓度，需要求解.,模型建立：,（是比例常数）,模型求解：,初始条件,建模示例2：如何预报人口的增长,背景,世界人口增长概况,中国人口增长概况,研究人口变化规律，控制人口过快增长,模型1：马尔萨斯模型,时刻的人口,今年人口,人口相对增长率（常数）,模型建立,模型求解,短期内与人口实际增长吻合的比较好，但时间越长，误差越大。,模型2Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关，即：r=r(x),从而有：,（3.7）,r(x)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是设是的线性函数,人口容量（资源环境能容纳的最大数量）,用分离变量法求解得到,模型3差分形式的Logistic模型,在Logistic模型中，以差分形式代替，,人口发展方程,一阶偏微分方程,人口发展方程,已知函数（人口调查）,生育率（控制人口手段）,生育率的分解,总和生育率,h生育模式,人口发展方程和生育率,总和生育率控制生育的多少,生育模式控制生育的早晚和疏密,正反馈系统,滞后作用很大,人口指数,1）人口总数,2）平均年龄,3）平均寿命,t时刻出生的人，死亡率按(r,t)计算的平均存活时间,4）老龄化指数,控制生育率,控制N(t)不过大,控制(t)不过高,Malthus模型和Logistic模型的总结,Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。,用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。,Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可。,传染病模型,问题,描述传染病的传播过程,分析受感染人数的变化规律,预报传染病高潮到来的时刻,预防传染病蔓延的手段,按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型,已感染人数(病人)i(t),每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为,模型1,假设,若有效接触的是病人，则不能使病人数增加,建模,?,模型2,区分已感染者(病人)和未感染者(健康人),假设,1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为,2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病,建模,日接触率,SI模型,模型2,tm传染病高潮到来时刻,(日接触率)tm,病人可以治愈！,?,t=tm,di/dt最大,模型3,传染病无免疫性病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染,增加假设,SIS模型,3）病人每天治愈的比例为,日治愈率,建模,日接触率,1/感染期,一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。,模型3,接触数=1阈值,感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数,模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例,模型4,传染病有免疫性病人治愈后即移出感染系统，称移出者,SIR模型,假设,1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为,2）病人的日接触率,日治愈率,接触数=/,建模,需建立的两个方程,模型4,SIR模型,模型4,SIR模型,相轨线的定义域,在D内作相轨线的图形，进行分析,模型4,SIR模型,相轨线及其分析,s(t)单调减相轨线的方向,P1:s01/i(t)先升后降至0,P2:s01/i(t)单调降至0,1/阈值,模型4,SIR模型,预防传染病蔓延的手段,(日接触率)卫生水平,(日治愈率)医疗水平,传染病不蔓延的条件s01/,的估计,降低s0,提高r0,提高阈值1/,模型4,SIR模型,被传染人数的估计,记被传染人数比例,小,s01,提高阈值1/降低被传染人数比例x,s0-1/=,5.3正规战与游击战,战争分类：正规战争，游击战争，混合战争,只考虑双方兵力多少和战斗力强弱,兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加,战斗力与射击次数及命中率有关,建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例,第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型,一般模型,每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力,每方非战斗减员率与本方兵力成正比,甲乙双方的增援率为u(t),v(t),f,g取决于战争类型,x(t)甲方兵力，y(t)乙方兵力,模型假设,模型,正规战争模型,甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力,双方均以正规部队作战,忽略非战斗减员,假设没有增援,f(x,y)=ay,a乙方每个士兵的杀伤率,a=rypy,ry射击率，py命中率,正规战争模型,为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论x与y的关系,平方律模型,游击战争模型,双方都用游击部队作战,甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加,f(x,y)=cxy,c乙方每个士兵的杀伤率,c=rypyry射击率py命中率,游击战争模型,线性律模型,混合战争模型,甲方为游击部队，乙方为正规部队,乙方必须10倍于甲方的兵力,设x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2),5.2经济增长模型,增加生产发展经济,增加投资,增加劳动力,提高技术,建立产值与资金、劳动力之间的关系,研究资金与劳动力的最佳分配，使投资效益最大,调节资金与劳动力的增长率，使经济(生产率)增长,1.道格拉斯(Douglas)生产函数,产值Q(t),F为待定函数,资金K(t),劳动力L(t),技术f(t),=f0,模型假设,静态模型,每个劳动力的产值,每个劳动力的投资,z随着y的增加而增长，但增长速度递减,1.道格拉斯(Douglas)生产函数,含义？,Douglas生产函数,QK单位资金创造的产值,QL单位劳动力创造的产值,资金在产值中的份额,1-劳动力在产值中的份额,更一般的道格拉斯(Douglas)生产函数,1.Douglas生产函数,w,r,K/L,求资金与劳动力的分配比例K/L(每个劳动力占有的资金)，使效益S最大,资金和劳动力创造的效益,资金来自贷款，利率r,劳动力付工资w,2）资金与劳动力的最佳分配（静态模型）,3)经济(生产率)增长的条件(动态模型),要使Q(t)或Z(t)=Q