常微分方程第一章课件1

,西华师范大学,常微分方程,西华师范大学,崔泽建,课程简介,常微分方程是一门专业基础课，它强烈的依赖于数学分析和高等代数这两门基础课的掌握，因此，要求在学习这门课程之前认真复习上述两门课程，以便更好地学习常微分方程。常微分方程同时又是一门实际应用背景很强，应用领域广泛的课程，它的后继课程包括数学建模、数学物理方程等都属于教会学生应用数学知识解决一些实际问题的应用课程。,参考书,常微分方程由东北师大数学系编高等教育出版社常微分方程教程由丁同仁、李承编高等教育出版社,第一章绪论,本章分为两节，主要讲两个内容：常微分方程的应用背景及基本概念。微分方程是一门应用背景很强的学科。诸如物理、化学、生物、医学，社会学以及其他一些人文科学都有非常广泛的应用（例如：传染病模型，战争模型等都体现微分方程很好的应用）限于时间和篇幅，本书仅就常微分方程在物理学得几个不同分支上得一些简单应用作初步的展示，至于它的更深入和广泛的应用，将会在它的后继课程数学建模和数学物理方程中作进一步的介绍。,第一章绪论,在数学分析中我们研究的对象是函数而函数则是研究几个变量之间的关系。（如y=sinx,z=xy),这种关系是直接关系，但在大量的实际问题中遇到稍为复杂的运动过程时，这些运动规律的量与量之间的关系往往不能直接表示出来，但却比较容易建立这些变量和它们的导数（或微分）间的关系式（间接关系）。这种由自变量，未知函数及它的导数（或微分）组成的关系式，我们称之为微分方程。学习这门课程的基本任务：把间接问题转化为直接关系，从而达到解决实际问题的目的。下面就物理学的几个不同分支上大家熟悉的问题了解常微分方程的应用。,1.1常微分方程模型,引例1：自由落体运动,分析：此问题中有两个变量，一个是时间t,另一个为路程。要想直接得出这两个变量之间的关系比较困难，但我们可以根据力学分析，由牛顿第二定律得出这两个变量之间由导数表现出来的关系，及建立自由落体运动的模型微分方程。,解：因为不考虑空气阻力，知道整个力学系统所受合力F即为重力mg,所以由牛顿第二定律得：而所以（1）,引例1：自由落体运动,此为自由落体的数学模型，它是一个微分方程。要找出路程与时间的直接关系，则需要求解上述微分方程。求解微分方程的工具是什么呢？就像我们的加法借助于它的逆运算减法一样，我们求解微分方程的工具就是积分，很多微分方程均可通过积分而求解。因此“积分”是求解微分方程的一个重要工具（因此要求同学们熟练掌握积分）。但它不是唯一的工具。我们还将探讨其他的重要的微分方程的求解方法。,引例1：自由落体运动,因此，对本例而言，仅需方程两边积分两次即可：,上两式中C1,C2为任意积分常数。,由自由落体运动的初始条件：t=0时,s=0,得出C1=C2=0,从而有:,这正是我们大家熟悉的公式。,引例2：物体冷却过程的数学模型,分析：这个问题是我们日常生活中有切身体验的，以下我们将它具体化。将某物体放置于空气中，在时刻t=0时，设它的温度为Uo=150。C；10分钟后测量的温度U1=100。C，我们要求研究物体冷却过程温度变化的规律，设温度为U，时间为t，即研究U作为t的函数关系。,和例1一样，要想直接得出这样的函数关系是比较困难的，我们先通过建立温度与时间的导数表现出来的间接关系（模型为一个微分方程）再将这个间接关系转化为直接关系即可。,引例2：物体冷却过程的数学模型,在此，我们先需作一个理想假设，即假设空气的温度为恒温24。C，事实上，空气的温度也在随时间的变化而变化，不可能永远保持24。C，但是我们如果既要考虑物体温度的变化，又要考虑空气温度的变化，则难以完成对这个问题的研究，因此，我们需要做以上假设。,事实上，我们用数学的知识解决实际问题中，建立数学模型一般而言均要作理想假设，抓住问题的本质所在，而忽略一些次要因素，这是解决纷繁复杂的实际问题所必须的。当然，这是理假同时也必须是合理的，不能随意假设，否则所建立的数学模型不能很好地反映实际问题。如上述问题中，空气温度尽管在变化，但其变化相比于物体温度的变化是微不足道的，因此可以假设空气的温度为恒温24。C。,引例2：物体冷却过程的数学模型,为解决上述问题，即建立物体冷却过程的数学模型，需要热力学的牛顿冷却定理物体温度变化速度与温差（物体温度与介质温度的差）成比例。,将牛顿冷却定律翻译成数学语言，即为：,上式即为物体冷却过程的数学模型。,引例2：物体冷却过程的数学模型,上述微分方程也不能通过简单积分而得到，必须由“变量分离法”求解（以后将具体介绍）过称为：,得：,据已知初始条件：t=0时,u.=150。C；t=10时,u1=45。C,代入上式可确定参数c=126,k=0.051所以得：,上式即为u作为时间t的函数关系。从公式中看出u随着时间t的增加而呈负指数衰减。同时t趋于正无穷时u趋于24。C,这些结论与我们日常生活中得感受吻合，说明我们的建立的数学模型是正确的，它能够反映所讨论的实际问题。,牛顿的生平简介,牛顿是一个农民的儿子，他的父亲在他出生之前就去世了，牛顿是不足月的遗腹子，他是那样的瘦小，仅三磅重，他母亲说一夸克（约一升）的杯子就能装下他，他的生命似乎已经绝望了饿，以至于两个到附近为他取药的妇女担心等不到她们回来牛顿就会死了。结果谁也没有想到他竟然活到85岁高龄。而且成为世界上出类拔萃的伟大科学家（这是上帝创造的奇迹）。牛顿三岁的时候，母亲再嫁，他由外祖母抚养，小时候他对功课不感兴趣，成绩低劣。被同学瞧不起。某日，一个蛮横不讲理的同学欺辱他，一脚踢在他的肚子上（此同学的成绩在牛顿之上),使牛顿在精神和肉体上受到了极大痛苦。自那以后牛顿发奋读书，不久成绩便超过该生，而冠于全部。,牛顿（Newton)1642.12.151727.3.20英国数学家,牛顿的生平简介,牛顿十四岁时，母亲再嫁，带着三个孩子重新回到马尔索浦故乡，由于生活困难。她让牛顿停学种地。牛顿发奋读书以后，上学的意志很坚决。可是为了不使母亲失望，他仍然从镇上回到农村，参加田间劳动。面对大自然。牛顿经常开动脑筋思考各种问题，念念不忘学习，以至于放牛时忘了一切。这反而感动了他的母亲的舅父，把他重新送回学校读书，回到学校，牛顿更加勤奋学习，在他18岁的时候便考上著名的剑桥大学三一学院。牛顿一生的三大突出贡献，微积分，万有引力和光的分析，皆于1665-1666年间完成，那时他才23岁！1669年，牛顿的老师巴鲁坦然宣称牛顿的学识已经超过自己，当年10月将“路长斯教授”的职位让于牛顿，一时传为佳话，牛顿时年26岁！,牛顿的生平简介,牛顿不仅在自然科学中造诣很高，而且对哲学的研究也颇具深度。他的名著自然哲学的数学原理于1687年全部出版，在这部书里，他用数学解释了哥白尼学说和天体运动的现象。阐明了运动三大定律和万有引力定律。这部巨著问世，立刻被人们认为是人类智慧的至高成就之一，恰雷赞誉它是“无与伦比”的论著。牛顿为人谦逊，他那些不朽的发现大都藏在自己的心里，他的大部分著作都是在朋友们的劝告和坚决请求下才整理出来的。他在临终时说“我不知道世人对我怎么看，但是在我看来，我只不过像一个在海边玩耍的小孩，为不时发现比平时更为光滑美丽的几颗石子或贝壳而沾沾自喜，而对于展现在我面前的浩瀚的知识的海洋却苍然不知”他还说“如果我之所见比笛卡尔等人要远一点，那只是我站在巨人肩上的缘故。,引例3：R-L-C回路,解：当开关k合上时，电路上有电流强度通过，设为L,则必为时间t的函数，此时电流强度变化的数学模型为：,引例4：数学摆（单摆）,分析：数学摆是系于一根长度为L的线上质量为m的质点，在重力作用下，作垂直于地面的平面上得圆周运动，以下我们要确定摆得运动方程，即随时间t的变化规律。,解：由牛顿第二定律，将重力作如图分解，则有：,但因：,所以有：,引例4：数学摆（单摆）,如果我们仅研究摆的微小振动，即当比较小时的情况，则有sin=,从而又有：,当考虑介质的阻力时，设阻力系数是u,则有：,如果沿着摆的运动方向恒有一个外力F(t)作用，则有：,小结,小结：从以上所举的几个例子，可以看出微分方程在物理学的几个不同分支（力学、电学、热学）上得应用。我们看到，尽管他们属于物理学的不同分支上完全不同的问题，但是解决问题确是完全相同的思路和步骤，即：(1)建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程；（2）求解这个微分方程；（3）用所得的数学结果解释实际问题，既可以检验数学模型的正确性，又可以预测某些物理过程的特定性质以便达到解决问题的目的。另外，从上述几个例子我们还看到完全不同的根本毫无关系的物理现象有时可以由同一类型的微分方程来描述，即它们可能具备相同的数学模型。,小结,例如反映R-L-C回路的方程：和反映数学摆的有阻尼强迫振动的方程：都具有同一形式，即：,正是由于不同的物理现象可以具有相同的数学模型这一事实，使许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题。例如，利用电路来模拟某些力学系统或机械系统等，现在已相当普遍。,小结,通过以上对常微分方程应用背景的介绍，也许已激起了同学们对学习常微分方程这门课程的兴趣，同时也可能给你带来了紧张感和压力。因为我们建立数学模型往往需要与实际问题相关的很多学科联系起来。也就是要求我们具有广博的知识，这样我们才能用常微分方程来解决一些实际问题。这正是我们学习这门课程的一个基本要求，即能用数学知识解决一些简单的实际问题。当然，学习本课程的另一个重要的中心任务就是研究和学习常微分方程的基本理论以及方程的求解方法。,1.2基本概念,联系着自变量，未知函数以及未知函数与自变量的导数（或微分）的方程。注：区别于一般的代数方程的标记：导数或微分。,一：微分方程定义,例：x+y=1不是微分方程,而是微分方程,二：微分方程的分类,微分方程根据其中的变量的个数的多少，划分为常微分方程（仅含一个变量）和偏微分方程（含有两个或两个以上的变量）。其各自的特征分别是全导数和偏导数。,1.2基本概念,均为常微分方程。,例:,拉普拉斯方程：,热传导方程：,三：阶的概念,本教材将主要讨论常微分方程的基本理论及求解方法。偏微分方程为后继课程学习的内容。,均为偏微分方程。,微分方程中出现的导数或微分的最高阶数。注：区别导数的方次与阶的概念。,例:,为二阶微分方程，而非三阶微分方程。,1.2基本概念,一般地,n阶常微分方程具有标准形式：其中必含n阶导数，但可不含其他阶导数。,1：在标准形式中，若左端为及的一次有理整式，则称为n阶线性微分方程，否则称为非线性方程。,四：线性和非线性,2：n阶线性方程的标准形式：这里是x的已知函数，称上式为线性非齐次方程，当f(x)=0时为线性齐次方程，同时若全为常数，则称为线性常系数方程，否则称为线性变系数方程。,1.2基本概念,例：判断下列方程是线性还是非线性。,1:设具有1到n阶的连续导数，且有，则称为的解。（又称古典解或强解，降低条件与强解相对应的有弱解，广义解。）,五：解和隐式解,2:解根据自变量和未知函数的函数关系是显函数或隐函数，区分为:(1)显式解(显函数关系）(2)隐式解(隐函数关系）也称“积分”,1.2基本概念,六：通解和特解,1：通解含有n个独立的任意常数,例:,方程有显式解,方程有隐式解,课堂练习:,注意：（1）相互独立，并不是任何微积分方程都有通解。（2）相应的通解有显式通解和隐式通解之分,验证由方程确定的为的隐式解是微分方程的的隐式解。,1.2基本概念,常见的定解条件为：,（1）:初始条件标准形式为：,例:验证：是微分方程的显式通解。（隐式通解又称“通积分”）,2：特解满足某种特定条件的解。通常把特解所必须满足的条件，称为定解条件。,例:自由落体运动的初始条件为：,（2）:边界条件（略，见书附录二）,注意：为给定的n个常数，并不表示求导数。,1.2基本概念,其解为：,其形式为：,相应地，若定解条件为边界条件时，定解问题称为边值问题，而本书主要讨论初值问题。,3：求微分方程满足定解条件的解称为定解问题：当定解条件为初始条件时，相应的定解问题称为初值问题。,例:初值问题：,1.2基本概念,从几何观点看，一阶微分方程的解y=(x)代表x0y平面上的一条曲线，我们称它为微分方程的积分曲线。通解y=(x,c)相应地为x0y平面上得一族曲线，我们称为积分曲线族。,而初值问题：的特解则为通过点（x0,y0)的积分曲线。,七：积分曲线与方向场,1：积分曲线,2：方向场,3：等斜线：方向场中方向