常微分方程9.5

第五节高阶常系数线性微分方程,一、特征方程与特征根二、二阶常系数齐次线性微分方程三、二阶常系数非齐线性微分方程四、n阶常系数齐线性微分方程,称为n阶常系数非齐线性微分方程。,方程（2）称为n阶常系数齐线性微分方程。,和它的导数只差常数因子,代入(2)得,(r为待定常数),所以令(2)的解为,称(3)为微分方程(2)的特征方程,其根称为特征根.,形如,的方程，称为二阶常系数线性齐微分方程，,即,二阶常系数线性齐微分方程,的特征方程为,是方程(1)的两个线性无关的解，故方程(1)的通解为,二阶常系数线性齐微分方程,的特征方程为,由求根公式,由刘维尔公式求另一个解：,于是，当特征方程有重实根时，方程(1)的通解为,二阶常系数线性齐微分方程,的特征方程为,3)特征方程有一对共轭复根：,是方程(1)的两个线性无关的解，其通解为,由线性方程解的性质：,均为方程(1)的解，且它们是线性无关的：,故当特征方程有一对共轭复根,时，原方程的通解可表示为,二阶常系数线性齐微分方程,特征方程,特征根,通解形式,解,解,解,故所求特解为,解,解,取x轴如如图所示。,由力学的虎克定理，有,（恢复力与运动方向相反）,由牛顿第二定律，得,记拉长后，突然放手的时刻为,我们要找的规律是下列初值问题的解：,从而，所求运动规律为,形如,的方程，称为二阶常系数线性非齐微分方程，,它对应的齐方程为,我们只讨论函数f(x)的几种简单情形下，(2)的特解。,特征方程,特征根,二阶常系数线性微分方程解的关系,方程(2)对应的齐方程(1)的特征方程及特征根为,单根,二重根,一对共轭复根,假设方程,有下列形式的特解：,则,代入方程(2)，得,即,由方程(3)及多项式求导的特点可知，应有,方程(2)有下列形式的特解:,由多项式求导的特点可知，应有,方程(2)有下列形式的特解:,由多项式求导的特点可知，应有,方程(2)有下列形式的特解:,当二阶常系数线性非齐方程,它有下列形式的特解：,其中：,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它代入原方程，得,比较两边同类项的系数，得,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,解,对应的齐方程的特征方程为,特征根为,对应的齐方程的通解为,将它代入原方程，得,上式即,故原方程有一特解为,综上所述，原方程的通解为,将它代入原方程，得,解,综上所述，原方程的通解为,请看上例,其中,k,y+4y=cos2x,特征方程r2+4=0,得r1,2=2i,解,y+y=exsinx,特征方程r2+1=0,得r1,2=i,解,特征方程r25r60,得r1=2,r2=3,(2)再求y*：,有,(1),(2),解,求方程(1)的y1*:设y1*=Axe2x,代入方程(1)得A2,求方程(2)的y2*:,代入方程(2)得,解,代入上述方程，得,原方程有一特解为,解,思考,形如,的方程，称为n阶常系数线性齐微分方程，,n阶常系数线性齐微分方程的特征方程为,解,解,在研究弹性地基梁时，遇到一个微分方程,试求此方程的通解。,第六节欧拉方程,形如,的方程，称为n阶欧拉方程，其中,关于变量t的常系数线性微分方程。,引入算子记号：,由数学归纳法可以证明：,解,这是三阶欧拉方程，,作代数运算后，得,即,这是一个三阶常系数线性非齐微分方程，且,方程(1)对应的齐方程的通解为,为方程(1)特解形式，代入方程(1)中，得,从而,故原欧拉方程的通解为,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入解得A=1,所求通解为,解,由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得A1,解,第七节,常系数线性微分方程组求解举例,常系数线性微分方程组解法步骤:,第一步用消元法消去其他未知函数,得到只含一个函数的高阶方程;,第二步求出此高阶方程的未知函数;,第三步把求出的函数代入原方程组,注意:一阶线性方程组的通解中,任意常数的个数=未知函数个数,一般通过求导,得其它未知函数.,如果通过积分求其它未知函数,则需要讨论任意常数,的关系.,解微分方程组,由得,代入,化简得,特征方程:,通解:,将代入,得,解,原方程通解:,注意:,1)不能由式求y,因为那将引入新的任意常数,(它们受式制约).,3)若求方程组满足初始条件,的特解,只需代入通解确定,即可.,2)由通解表达式可见,其中任意常数间有确定