电工技术基础10(2).ppt

,电力生产人员技能培训,电路基础部分（二）,正弦稳态电路的功率,一、瞬时功率,N,+u-,i,一端口内部不含独立电源，仅含电阻、电感和电容等无源元件。,它吸收的瞬时功率p等于电压u和电流i的乘积p=ui在正弦稳态情况下，设,2Ucos(t+u)2Icos(t+i),u=i=,瞬时功率,p=,2Icos(t+i),2Ucos(t+u),u,u,+i),i)+UIcos(2t+,=UIcos(,令=ui为电压和电流之间的相位差p=UIcos+UIcos(2t+u+i)瞬时功率有两个分量：第一个为恒定分量，第二个为正弦分量。p=UIcos1+cos2(t+u)+UIsinsin(2t+u)第一项是不可逆部分；第二项是可逆部分，说明能量在外施电源与一端口之间来回交换。,0pdt,二、平均功率又称有功功率，是指瞬时功率在一个周期内的平均值。,P=,1TT,=,1T,T0UIcos+cos(2t+u+i)dt,=cos,=UIcos单位：瓦（W）,电阻R电感L,=0=90,=1=0,PR=UI=I2R=GU2PL=0,电容C,=90=0,PC=0,定义：功率因数,三、无功功率defQ=UIsin反映了内部与外部往返交换能量的情况。单位：乏（Var),电阻R电感L,=0=90,U2L,QR=0QL=UI=LI2=,电容C,1C,I2=CU2,=90QC=UI=,S=,P+Q,四、视在功率defS=UI电机和变压器的容量是由视在功率来表示的。单位：伏安（VA）有功功率P、无功功率Q和视在功率S存在下列关系：,P=Scos,Q=sin,2,),QP,2=arctan(,例：测量电感线圈R、L的实验电路，已知电压表的读数为50V，电流表的读数为1A，功率表读数为30W，电源的频率f=50Hz。试求R、L之值。,+,V,A,*,*W,电,感线圈,US-,+U-,I,解：可先求得线圈的阻抗,Z=Z/=R+jL,UI,Z=,=50,UIcos=30,=53.13,Z=R+(L),解得：Z=50/53.13=30+j40R=30,40,L=,另一种解法2R=30,2,2,而,故可求得：L=502302=40,=127mH=2f=314rad/s,设一个一端口的电压相量为，电流相量为，UI,=IUS,的共轭复数是式中II,9.6复功率,一、复功率,*,def,*,=UI/ui,=UIcos+jUIsin,=P+jQ,复功率定义为,二、有功分量和无功分量一个不含独立电源的一端口可以用等效阻抗Z表示。,U,Ua,Ur,I,Re,jXeU,Ua,Ur,I,相量图,Ua与电流I同相称为U的有功分量Ua=Ucos而有功功率P=UIcos=UaI,U,Ua,Ur,I,Ur与I正交,称为U的无功分量Ur=Usin而无功率Q=UIsin=UrI复功率可写为*其中Z=Re+jXe,U,Ua,Ur,I,U,Ge,jBe,一个不含独立电源的一端口可以用等效导纳Y表示。I,Ia与电压U同相称为I的有功分量Ia=IcosIr与U正交,称为I的无功分量Ur=Usin,S=UI=U(UY)=UY,Y=GejBe,Q=UIr,复功率可写为,*,*2,其中,这样,P=UIa,Y=Ge+jBe*,可以证明,正弦电流电路中总的有功功率是电路各部分有功功率之和，,总的无功功率是电路各部分无功功率之和，即有功功率和无功功率分别守恒。电路中的复功率也守恒，但视在功率不守恒。,三、功率因数的提高,P=UIcos,cos是电路的功率因数。,电压与电流间的相位差或电路的功率因数决,定于电路（负载）的参数。,只有在电阻负载的情况下，电压和电流才同,相，其功率因数为1。,对于其他负载来说，其功率因数均介于0与1,之间。,功率因数不等于1时，电路中发生能量互换，,出现无功功率。这样引起下面两个问题：,1、发电设备的容量不能充分利用,2、增加线路和发电机绕组的功率损耗,提高功率因数的意义,RjL,U,I,I1,I21jC,U,I1,I2,I,1,(I2),(I),O,I2=jCU,提高功率因数的常用方法：与电感性负载并联静电电容器。,U,I2,I,1,I1,O,I2=jCUI2=CUI2C=U,并联电容C的计算,I2=I1sin1Isin,提高功率因数，是指提高电源或电网的功率因,数，,而不是指提高某个电感性负载的功率因数。并联电容后并不改变原负载的工作状况，所以电路的有功功率并没有改变，,只是改变了电路的无功功率，从而使功率因数,得到提高。,提高功率因数的含义,I2,例：正弦电压为50Hz，380V，感性负载吸收的功率为20kW，功率因数0.6。若使电路的功率因数提高到0.9，求在负载的两端并接的电容值。,I2=I1sin1Isin,I1=87.72A,cos1=0.6,1=53.13,P=UIcoscos=0.9,I=58.48A=25.84,=44.69AC=375FU,解：P=UI1cos1,U,I1,I2,I,1,O,串联电路的谐振谐振现象的研究有重要的实际意义。一方面谐振现象得到广泛的应用，另一方面在某些情况下电路中发生谐振会破坏正常工作。一、RLC串联电路,U,I,R,jL,1jC,),1C,Z(j)=R+j(L,0,1C,X(),O,O,+j,+1,|Z|,LX(),),1C,Z(j)=R+j(L,电抗随频率变化的特性曲线,阻抗随频率变化时在复平面上表示的图形,二、串联谐振的定义由于串联电路中的感抗和容抗有相互抵消作用，所以，当=0时，出现X(0）=0，这时端口上的电压与电流同相，工程上将电路的这种工作状况称为谐振，由于是在RLC串联电路中发生的，故称为串联谐振。三、串联谐振的条件,ImZ(j)=0,=0,10C,0L,),1C,Z(j)=R+j(L,12LC,f0=,频率,谐振频率又称为电路的固有频率，是由电路的结构和参数决定的。串联谐振频率只有一个，是由串联电路中的L、C参数决定的，而与串联电阻R无关。,四、谐振频率ImZ(j)=0,=0,10L0C1角频率0=LC,五、谐振的特征1、阻抗,),1C,Z(j)=R+j(L,=R,谐振时阻抗为最小值。,U|Z|,2、电流I=,UR,=,在输入电压有效值U不变的情况下，电流为最大。3、电阻电压UR=RI=U实验时可根据此特点判别串联谐振电路发生谐振与否。,O,六、谐振曲线除了阻抗Z和频率的特性外，还应分析电流和电压随频率变化的特性，这些特性称为频率特性，或称频率响应，它们随频率变化的曲线称为谐振曲线。I(),0,七、品质因数,谐振时有,UL+UC=0,所以串联谐振又称为电压谐振。串联谐振电路的品质因数,UL(0)U,Q=,UC(0)U,=,0LR,=,10CR,=,1LRC,=,如果Q1，则有UL=UCU当Q1，表明在谐振时或接近谐振时，会在电感和电容两端出现大大高于外施电压U的高电压，称为过电压现象，往往会造成元件的损坏。但谐振时L和C两端的等效阻抗为零（相当于短路）。,QC(0)=,QL(0)=0LI,八、功率谐振时，电路的无功功率为零，这是由于阻抗角为零，所以电cos的功率因数,=路=1,1P(0)=UI=UI=UmIm22,I2,10C,整个电路的复功率,S=P+j(QL+QC)=P,QL(0)+QC(0)=0谐振时电路不从外部吸收无功功率但QL(0),QC(0)分别不等于零。,Li+,Q=,RC,2,12,12,CuC2,W(0)=,谐振时，有,2,UR,cos(0t),i=,uC=2QUsin(0t),并有,2,1L2,但电路内部的电感与电容之间周期性地进行磁场能量和电场能量的交换，这一能量的总和为,=CQU,CQUm,LR2,U2cos2(0t)+CQ2U2sin2(0t),W(0)=,2,2,22,12,=,=常量,所以能量的总和,另外还可以得出Q=0W(0)/P(0)串联电阻的大小虽然不影响串联谐振电路的固有频率，但有控制和调节谐振时电流和电压幅度的作用。,1C,Z(j)=R+j(L,九、通用谐振曲线为了突出电路的频率特性，常分析输出量与输入量之比的频率特性。UR()/U、UL()/U、UC()/U而这些电压比值可以用分贝表示dB=20logA令=/0将电路的阻抗Z变换为下述形式,1)=R1+jQ(),U211+Q(),UR()=,=,1211+Q(),UR()U,上述关系式可以用于不同的RLC串联谐振电路，它们都在同一个坐标（）下，根据Q取值不同，曲线将仅与Q值有关，并明显地看出Q值对谐振曲线形状的影响。下图给出3个不同Q值的谐振曲线，该谐振曲线称为通用谐振曲线。,Q1Q2Q3Q1Q2Q3,O,UR/U,=/0,1,十、电路的选择性串联谐振电路对偏离谐振点的输出有抑制能力，只有在谐振点附近的频域内，才有较大的输出幅度，电路的这种性能称为选择性。,Q1Q2Q3Q1Q2Q3,O,UR/U,=/0,1,Q值大，曲线在谐振点附近的形状尖锐，当稍偏离谐振频率，输出就急剧下降，说明对非谐振频率的输入具有较强的抑制能力，选择性能好。反之，Q值小，在谐振频率附近曲线顶部形状平缓，选择性就差。,电路选择性的优劣取决于对非谐振频率的输入信号的抑制能力。,Q1Q2Q3Q1Q2Q3,O,UR/U,=/0,1,通频带工程中为了定量地衡量选择性，常用发生,12,=,UR()U,=0.707时的两个频率1和2之间的差说明。,这个频率差称为通频带。,O,Q11，则谐振时在电感和电容中会出现过电流，但从L、C两端看进去的等效电纳等于零，即阻抗为无限大，相当于开路。,七、功率和能量谐振时无功功率,U2,10L,QL=,QC=0CU2,所以,QL+QC=0,表明在谐振时，电感的磁场能量与电容的电场能量彼此相互交换，两种能量的总和为W(0)=WL(0)+WC(0)=LQ2IS2=常数,j2,0C2,八、电感线圈和电容并联的谐振电路,R,jL,IS,+U_,I1,I21jC,谐振时，有ImY(j0)=01Y(j0)=j0C+R+j0L,2,0LR+(0L)2,R=j0C+2R+(0L),2,=0,0LR+(0L),故有,由上式可解得,CR2L,1LC,1,0=,CR2L,1LC,1,0=,显然，只有当1,CR2L,LC,0,即R,IS,+_U,I1RjL,I21jC,O,U,I2,IS1I1,I2=I1sin1=IStan1当电感线圈的阻抗角1很大，谐振时有过电流出现在电感支路和电容中。,九、复谐振,1、求端口阻抗Z，找串求端口导纳Y，找并,(X=0时)(B=0时),2、求Z,Z=R+jX,AB,X=,串并,（1）串联谐振时，X=0，A=0（2）并联谐振时，X=，B=0,1jC,jL1+jL2,左边支路的阻抗为右边支路的阻抗为,C,L1,L2,A,B,ZAB=,1jC1jC,(jL1+jL1+,)jL2+jL2,1L2(L1)C1L1+L2C1,=j,发生串联谐振时，分子=0发生并联谐振时，分母=0,1L1C1(L1+L2)C,串=并=,例：,谐振滤波器消除噪声,12LC,令滤波器工作在噪声频率下，,即可消除噪声。f0=fN=,S,E（s)-信号源E（N）-噪声源,N,已知：,利用谐振进行选频、滤波。C,接收网络,rESEN,L谐振滤波器,1,提取信号,令滤波器工作在fS频率下，信号即可顺利地到达接收网络。f0=fS=2LC,S,N,已知：E（s)-信号源E（N）-噪声源,rESEN,接收网络,L谐振滤波器,C,L2,分析（一）：抑制噪声,I,IL2,IC,信号被滤掉了,EN,=fN,1L2C,令：f0=,消除噪声提取信号,接收网络,ESEN,CL1谐振滤波器,L2,IL1,分析（二）：提取信号,IC,接收网络,ESEN,CL1谐振滤波器,则信号全部降落在接收网络上。,ICUCUL1IL2fS下UC+UL1=0,IL1UL1若在,fSfNUCIL2,三相电路一、对称三相电源对称三相电源是由3个等幅值、同频率、初相依次相差120的正弦电压源连接成星形或三角形组成的电源。,-,uA,+A,uB,+B,uC,-,+CN,N-,+,-,-,+,uA-,+uB,uC,A,B,C,星形接法,三角形接法,-,uA,+A,uB,+B,uC,-,+CN,N-,+,-,-,+,uA-,+uB,uC,A,B,C,星形接法,三角形接法,星形接法中，电压源的参考方向是以中点处为负；三角形接法中，电压源的连接是顺次相接形成一个回路，如果接错，将可能形成很大的环形电流。,Ot,uAuB,uC,3个电源依次称为A相、B相和C相，它们的电压为：uA=2Ucos(t)uB=2Ucos(t120)uC=2Ucos(t+120)uA+uB+uC=0u,=2UA,它们对应的相量形式为,=1/120是工程上为了方便而引入的单位相量算子。,120,120120,UA,UC,UB,UA=U/0UB=U/120UC=U/120=UAUA+UB+UC=0,二、三相电压的相序,上述三相电压的相序（次序）A、B、C称为,正序或顺序。,与此相反，如B相超前A相120，C相超前B相,120，,这种相序称为反序或逆序。电力系统一般采用正序。,三、三相电路的基本概念,1、端线：,从3个电压源正极性端子A、B、C向外引出的,导线。,2、中线：,从中（性）点N引出的导线。,3、线电压：,端线之间的电压。,4、相电压,电源每一相的电压，或负载阻抗的电压。,5、线电流,端线中的电流。,6、相电流,各相电源中的电流或负载阻抗的电流。,uA相电压uAB线电压iA线电流又是相电流,uA相电压又是线电压iA线电流iAB相电流,-,uA,+A,uBuC,+B+CN,N-,+-,-+,uC,A,BC,iA,iA,uA-iAB+uB,四、电源和负载的连接,1、负载的连接方式,负载也可以连接成星形或三角形。,当三相阻抗相等时，就称为对称三相负载。,2、三相电路,从对称三相电源的3个端子引出具有相同阻抗,的3条端线（或输电线），把一些对称三相负载连接,在端线上就形成了对称三相电路。,实际三相电路中，三相电源是对称的，3条端线阻抗是相等的，但负载则不一定是对称的。,3、三相电路的连接方式,三相电源为星形电源，负载为星形负载，称,为Y-Y连接方式；,三相电源为星形电源，负载为三角形负载，,称为Y-连接方式；,此外还有-Y连接方式和-连接方式。,-,-,uA,uBuC,+A,+B+C,N,Zl,ZlZl,A,BC,Z,ZZ,N,Y-Y连接方式,ZNZl是端线的阻抗。有中线时，称为三相四线制，也称为Y0接法,_,_,N,+A,+B+C,UA,UBUC,IAIB,IC,Zl,ZlZl,C,ZZ,A,IABBIBC,ZICA,Y-连接方式,线电压(电流)与相电压(电流)的关系三相电源的线电压和相电压、线电流和相电流之间的关系都与连接方式有关。对于三相负载也是如此。一、线电压与相电压的关系,1、星形连接,uAuBuC,+A+B+C,N,-N-,相电压为UAUBUC,UAB=UA-UB,UBC=UB-UC,UCA=UC-UA,(或UANUBNUCN),uAuBuC,+A+B+C,N对于对称星形电源，依次设其线电压为UABUBCUCA,-N-,UBN,UCN,NUAN,A,B,C,UAB,UCA,UBC,电压相量图,线电压与对称相电压之间的关系可以用图示电压正三角形说明，相电压对称时，线电压也一定依序对称，线电压是相电压的3倍，依次超前相应相电压的相位为30。实际计算时，只要算出一相就可以依序写出其余两相。,uAuBuC,+A+B+C,N222,-N-,UAB=UA,UBC=UBUCA=UC,3、对称星形负载和三角形负载以上有关线电压和相电压的关系同样适用。,+,-,-,+,uA-,+uB,uC,2、三角形电源A,B,C,_,+,N,BC,IA,IBIC,_UA+A,二、线电流和相电流的关系1、星形连接线电流显然等于相电流。2、三角形连接,UBUC,Zl,ZlZl,ZZ,A,C,IABBIBC,ZICA,_,_,N,+A,+B+C,IA,IBIC,UA,UBUC,Zl,ZlZl,ZZ,A,IABBIBC,ZICA,CIA=IAB-ICAIB=IBC-IABIC=ICA-IBC,IA,IAB,ICIBC,ICA,电流相量图,IB线电流与对称的三角形负载相电流之间的关系可以用图示电流正三角形说明，相电流对称时，线电流也一定对称，线电流是相电流的3倍，依次滞后相应相电流的相位为30。实际计算时，只要算出一相就可以依序写出其余两相。,_,_,N,+A,+B+C,IA,IBIC,UA,UBUC,Zl,ZlZl,ZZ,A,IABBIBC,ZICA,C222,电源和负载的连接方式,三相电源380V/220V,对应连接方式为Y/,三相电路中的额定电压是指电路的线电压。,1、现有白炽灯三相负载UN=220V,Y-Y,Y-,-Y,-,负载连接成Y接，电路应连接成负载连接成接，电路应连接成,Y-Y-,2、如白炽灯UN=127V电路应连接为3、如白炽灯UN=380V电路应连接为,-YY-,对称三相电路的计算,三相电路实际上是正弦电流电路的一种特殊,类型。,因此，前面对正弦电流电路的分析方法对三,相电路完全适用。,根据三相电路的一些特点，可以简化对称三,相电路分析计算。,一、对称三相四线制电路,-,-,uA,uC,+A,+C,N,N-uB+B,A,B,C,Zl,Zl,Zl,ZN,Z,Z,Z,N,-,-,UA,UB,UC,+A,+B,+C,N-,A,B,C,Zl,Zl,Zl,ZN,Z,Z,Z,N,IA,IB,IC,IN,N以N为参考结点,(,1ZN,(UA+UB+UC),1Zl+Z,)UNN=,3Z+Zl,+,由于所以,UA+UB+UC=0UNN=0,=IA,-,UA,UB,+A,+B,-UC+CN,N-,A,B,C,Zl,Zl,ZlZN,Z,Z,Z,N,IA,IB,ICIN,UAZ+Zl,=,IA=,UAUNNZ+Zl,UBZ+Zl,IB=,2,UCZ+Zl,IC=,=IA,中线的电流为,IN=(IA+IB+IC)=0,所以在对称Y-Y三相电路中，中线如同开路。,IN=IA+IB+IC=0,-,UA,三相电路归结为一相的计算方法由于UNN=0，各相电流独立，彼此无关；又由于三相电源、三相负载对称，所以相电流构成对称组。因此，只要分析计算三相中的任一相，而其他两相的电压、电流就能按对称顺序写出。,N,A,Zl,Z,N,+AIA,ZN,二、其他连接方式的对称三相电路可以根据星形和三角形的等效互换。化成对称的Y-Y三相电路，,然后用归结为一相的计算方法。,注意：在一相计算电路中，连接N、N的是短路线，,与中线阻抗ZN无关。,_,_,N,+A,+B+C,IAIB,IC,UA,UBUC,Zl,ZlZl,ZZ,A,C,IABBIBC,ZICA,例：对称三相电路，Z=(19.2+j14.4)，Zl=(3+j4)，对称线电压UAB=380V。求负载端的线电压和线电流。,+,_,_,N,+A,+BC,IAIB,IC,UA,UBUC,Zl,ZlZl,ZZ,A,C,IABBIBC,ZICA,解:,该电路可以变换为对称的Y-Y电路负载端三角形变换为星形,Z=,Z3,=,=6.4+j4.8,19.2+j14.43,_UA+A,Zl,B,Zl,Z,Zl,Z,AZ,B,C,IA,IB,IC,_UB+,_UC+C,UAZl+Z,令UA=220/0V根据一相计算电路有,IA=,=17.1/-43.2A,IB=17.1/163.2A,IC=17.1/76.8A,_UA+A,/-6.3,Zl,Z,B,Zl,Z,Zl,Z,A,B,C,IA,IB,IC,_UB+,_UC+C,UAB=3UAN/30=236.9/23.7V根据对称性可写出：UBC=236.9/96.3VUCA=236.9/143.7V,+,UABZ,_,_,N,+A,+BC,IAIB,IC,UA,根据负载端的线电压可以求得负载中的相电流，,UBUC,Zl,ZlZl,ZZ,A,C,IABBIBC,ZICA,=9.9/-13.2A,也可以根据对称三角形连接，线电流和相电流的关系来计算。,IAB=,IBC=9.9/133.2A,ICA=9.9/106.8A,不对称三相电路的概念,在三相电路中，只要有一部分不对称就称为不,对称三相电路。,例如，对称三相电路的某一条端线断开，或某一相负载发生短路或开路，,它就失去了对称性，成为不对称的三相电路。对于不对称三相电路的分析，不能引用上一节,介绍的方法。,_UA+,A,ZA,IA,_UB+,B,ZB,IB,C,ZC,N,N,UNN=YA+YB+YC由于负载不对称，一般情况下UNN0即N点和N点电位不同。,IC,_UC+,一、三相三线制,_UA+,A,ZA,IA,_UB+,B,ZB,IB,IC,N,N,UB,UA,CUNN,_UC+UCNUC,UBN,ZCUAN,UB,UC,UNN,UCN,UBN,UANUA,从相量关系可以看出，N点和N点不重合，这一现象称为中点位移。在电源对称的情况下，,可以根据中点位移的情况判断负载端不对称的程度。,当中点位移较大时，会造成负载端的电压严重的不对称，从而可能使负载的工作不正常。另一方面，如果负载变动时，由于各相的工作相互关联，因此彼此都互有影响。,如果ZN0，则可强使UNN=0,_UA+,A,ZA,IA,_UB+,B,ZB,IB,_UC+,C,IC,N,N,ZCIN,二、三相四线制,尽管电路是不对称，但在这个条件下，可使各相保持独立性，各相的工作互不影响，因而各相可以分别独立计算。这就克服了无中线时引起的缺点。因此，在负载不对称的情况下中线的存在是非常重要的。,_UA+,A,ZA,IA,_UB+,B,ZB,IB,_UC+,C,ZC,IC,N,N,IN,UNN=0,由于相电流的不对称，中线电流一般不为零,IN=IA+IB+IC,_UA+,A,ZA,IA,_UB+,B,ZB,IB,_UC+,C,IC,N,N,ZCIN,IN=(IA+IB+IC),_UA+,A,ZA,IA,_UB+,B,ZB,IB,_UC+,C,IC,N,N,ZCIN,由于相电流的不对称，中线电流一般不为零，IN=IA+IB+IC0,4、非正弦周期电流电路,考试点,1、了解非正弦周期量的傅立叶级数分解,方法,2、掌握非正弦周期量的有效值、平均值,和平均功率的定义和计算方法,3、掌握非正弦周期电路的分析方法,非正弦周期信号,一、信号的分类,1、正弦信号,按正弦规律变化的信号,2、非正弦信号,不是按正弦规律变化的信号,t,i,O,2,图中电流是正弦信号还是非正弦信号？非正弦信号,+ECuC,模拟电子中常用的放大电路,uC,UC0,uC,UC0,uC,+,uC波形可以分解,t,i,O,t,i,O,方波电流,锯齿波,二、常见的非正弦信号1、实验室常用的信号发生器可以产生正弦波，方波，三角波和锯齿波；,t,u,O,T/2,T,t,u,O,T/2,T,2、整流分半波整流和全波整流激励是是正弦电压，电路元件是非线性元件二极管整流电压是非正弦量。,半波整流,全波整流,由语言、音乐、图象等转换过来的电信号，都,不是正弦信号；,4、非电量测量技术中,由非电量的变化变换而得的电信号随时间而变,化的规律，也是非正弦的；5、自动控制和电子计算机中,使用的脉冲信号都不是正弦信号。,3、无线电工程和其他电子工程中,1、非正弦周期信号,f(t)=f(t+kT),k=0,1,2,2、非正弦非周期信号,不是按正弦规律变化的非周期信号,三、非正弦信号的分类,四、谐波分析法,1.应用傅里叶级数展开方法，将非正弦周期激励电压、电流或信号分解为一系列不同频率的正弦量之和；,2.根据叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作,用下在电路中产生的同频率正弦电流分量和电压分量；,3.把所得分量按时域形式叠加。,周期函数分解为傅里叶级数,一、周期函数,f(t)=f(t+kT),T为周期函数f(t)的周期，k=0，1，2，,如果给定的周期函数满足狄里赫利条件，它就能展开成一个收敛的傅里叶级数。,电路中的非正弦周期量都能满足这个条件。,+akcos(k1t)+bksin(k1t)+,+a2cos(21t)+b2sin(21t),f(t)=a0+a1cos(1t)+b1sin(1t),k=1,=a0+akcos(k1t)+bksin(k1t),二、傅里叶级数的两种形式,1、第一种形式,1,0f(t)dt=Tf(t)dt,0f(t)cos(k1t)dt,22,0f(t)cos(k1t)d(1t),f(t)cos(k1t)d(1t),T2T2,T,1T,a0=,ak=,2,2TTTTTf(t)cos(k1t)dt121,系数的计算公式,dttktf01)sin()(,22,011)()sin()(tdtktf,)()sin()(11tdtktf,bk=,2,2TTTTTf(t)sin(k1t)dt121,+Akmcos(k1t+k)+,+A2mcos(21t+2),f(t)=A0+A1mcos(1t+1),k=1,=A0+Akmcos(k1t+k),2、第二种形式,A0称为周期函数的恒定分量（或直流分量）；,A1mcos(1t+1)称为1次谐波（或基波分量），,其周期或频率与原周期函数相同；,其他各项统称为高次谐波，即2次、3次、4次、,Akm=a+b,Akmk=1,cos(k1t+k),3、两种形式系数之间的关系,k,ak=1,cos(k1t)+bksin(k1t),第一种形式f(t)=a0+,第二种形式f(t)=A0+,A0=a0ak=Akmcosk,22kkbk=-Akmsink,),bkak,k=arctan(,4、傅里叶分解式的数学、电气意义,傅氏分解,A0U1U2,+u(t)-,+u(t)-,分解后的电源相当于无限个电压源串联对于电路分析应用的方法是叠加定理,三、f(t)的频谱,傅里叶级数虽然详尽而又准确地表达了周期,函数分解的结果，但不很直观。,为了表示一个周期函数分解为傅氏级数后包含哪些频率分量以及各分量所占“比重”，用长度与各次谐波振幅大小相对应的线段，按频率的高低顺序把它们依次排列起来，得到的图形称为f(t)的频谱。,2、相位频谱把各次谐波的初相用相应线段依次排列。,1、幅度频谱各次谐波的振幅用相应线段依次排列。Akm,k1,312141,O1,例：求周期性矩形信号的傅里叶级数展开式及其频谱f(t),t1t,EmO,T2,T2,-Em解：f(t)在第一个周期内的表达式为,f(t)=,Em-Em,T0t2TtT2,T,0,a0=,1T,f(t)dt=0,O,根据公式计算系数f(t),t1t,Em,-Em,T2,2,T,0cos(k1t)d(1t),2,0,1,f(t)cos(k1t)d(1t),ak=,O,f(t),t1t,Em,-Em,T2,2,T,=,1,20Emcos(k1t)d(1t)Emcos(k1t)d(1t),=,2Em,=0,2Em,2Em1,0sin(k1t)d(1t)=kcos(k1t)0,2,0,1,f(t)sin(k1t)d(1t),bk=,=,1,20Emsin(k1t)d(1t)Emsin(k1t)d(1t),=,2Emk,1cos(k),=,当k为偶数时：cos(k)=1,bk=0,当k为奇数时：cos(k)=0,4Emk,bk=,sin(1t)+3sin(31t)+5sin(51t)+,由此求得,11,4Em,f(t)=f(t)EmO-Em,1t,O,1t,取到11次谐波时合成的曲线f(t)Em,-Em比较两个图可见，谐波项数取得越多，合成曲线就越接近于原来的波形。,sin(1t)+3sin(31t)+5sin(51t)+,13+57+,=41,+,f(t),t1t,EmO-Em,T2,T2,11,f(t)=,4Em,f(t)=,Em-Em,T0t2TtT2,令Em=1，1t=/2,1=,4111,+,17,15,13,sin(1t)+3sin(31t)+5sin(51t)+,矩形信号f(t)的频谱,11,f(t)=,4EmAkm,k1,5171,31,O1,O,3、频谱与非正弦信号特征的关系波形越接近正弦波，谐波成分越少；波形突变点越小，频谱变化越大。f(t)=10cos(314t+30)Akm,k1,1,f(t),O,t,f(t),O,t,四、非正弦函数波形特征与展开式的系数之间的关系1、偶函数f(t)=f(-t)纵轴对称的性质,可以证明：,bk=0,展开式中只含有余弦顶分量和直流分量,1、偶函数,纵轴对称的性质f(t)=f(-t),k=1,f(t)=a0+akcos(k1t),f(t),O,t,f(t),O,t,2、奇函数f(t)=-f(-t)原点对称的性质,可以证明：,ak=0,展开式中只含有正弦顶分量,原点对称的性质f(t)=-f(-t),2、奇函数,k=1,f(t)=bksin(k1t),O,T,T2,3、奇谐波函数f(t)=-f(t+T/2)镜对称的性质f(t)t,镜对称的性质f(t)=f(t+T/2),3、奇谐波函数,可以证明：,a2k=b2k=0,展开式中只含有奇次谐波分量,+,f(t)=a1cos(1t)+b1sin(1t)+a3cos(31t)+b3sin(31t),O,t,判断下面波形的展开式特点f(t),f(t)是奇函数展开式中只含有正弦分量f(t)又是奇谐波函数展开式中只含有奇次谐波,b1sin(1t)+b3sin(31t)+,f(t)=,系数Akm与计时起点无关（但k是有关的），,这是因为构成非正弦周期函数的各次谐波的,振幅以及各次谐波对该函数波形的相对位置总是一定的，,并不会因计时起点的变动而变动；,因此，计时起点的变动只能使各次谐波的初,相作相应地改变。,由于系数ak和bk与初相k有关，所以它们也,随计时起点的改变而改变。,4、系数和计时起点的关系,由于系数ak和bk与计时起点的选择有关，所以,函数是否为奇函数或偶函数可能与计时起点的选择有关。,但是，函数是否为奇谐波函数却与计时起点,无关。,因此适当选择计时起点有时会使函数的分解,简化。,4、系数和计时起点的关系,O,t,例：已知某信号半周期的波形，在下列不同条件下画出整个周期的波形1、只含有余弦分量2、只含有正弦分量3、只含有奇次谐波分量f(t),O,f(t),t,1、只含有余弦分量f(t)应是偶函数,关于纵轴对称,O,f(t),t,2、只含有正弦分量f(t)应是奇函数,关于原点对称,O,f(t),t,3、只含有奇次谐波分量f(t)应是奇谐波函数,镜象对称,有效值、平均值和平均功率一、非正弦周期量的有效值1、有效值的定义,T,I=,0,i2dt,1T,I0+Ikmcos(k1t+k)dt,T,I=,0,2,k=1,1T,2、有效值与各次谐波有效值之间的关系假设一非正弦周期电流i可以分解为傅里叶级数i=I0+Ikmcos(k1t+k)k=1则得电流的有效值为,+=IIIII,有效值与各次谐波有效值之间的关系,22220123,非正弦周期电流的有效值等于恒定分量的平方与各次谐波有效值的平方之和的平方根。,此结论可推广用于其他非正弦周期量。,二、非正弦周期量的平均值1、平均值的定义,T,Iav=,0,|i|dt,1T,非正弦周期电流平均值等于此电流绝对值的平均值。,0|Imcost|dt,2、正弦量的平均值,Iav=,1TT,=2Im/=0.637Im=0.898I它相当于正弦电流经全波整流后的平均值，这是因为取电流的绝对值相当于把负半周的各个值变为对应的正值。,t,O,i,Iav,Im,3、不同的测量结果,对于同一非正弦周期电流，用不同类型的仪表,进行测量时，会有不同的结果。,用磁电系仪表（直流仪表）测量，所得结果将,是电流的恒定分量；,用电磁系或电动系仪表测量时，所得结果将是,电流的有效值；,用全波整流磁电系仪表测量时，所得结果将是,电流的平均值。,由此可见，在测量非正弦周期电流和电压时，要注意选择合适的仪表，并注意在各种不同类型表的读数所示的含意。,10dt,4,t,OT/4,T,解：有效值为,例：计算有效值和平均值i(A)10,2,T0,1T,I=,=5A,平均值为I0=,10*T/4T,=2.5A,三、非正弦周期电流电路的功率,1、瞬时功率,任意一端口的瞬时功率（吸收）为,k=1,p=ui=U0+Ukmcos(k1t+ku),k=1,I0+Ikmcos(k1t+k),式中u、i取关联方向。,2、平均功率,P=U0I0+U1I1cos1+U2I2cos2+UkIkcosk+,平均功率等于恒定分量构成的功率和各次谐,波平均功率的代数和。,U=10+(,202,202,402,把上一步所计算出的结果化为瞬时表达式后进,行相加，,把表示不同频率正弦电流的相量直接相加是没,有意义的，,最终求得的响应是用时间函数表示的。,3、应用叠加定理,例：,C,R,_R=3，1/1C=9.45，输入电源为uS=10+141.40cos(1t)+47.13cos(31t)+28.28cos(51t)+20.20cos(71t)+15.71cos(91t)+V。求电流i和电阻吸收的平均功率P。,+uS,i,Im(k)=,解：各次谐波是正弦量，采用的方法是相量法电流相量的一般表达式,USm(k)1Rjk1c,R=3，1/1C=9.45，输入电源为uS=10+141.40cos(1t)+47.13cos(31t),+28.28cos(51t)+20.20cos(71t)+15.71cos(91t)+V。,k=0，直流分量U0=10V，,I0=0,P0=0,R=3，1/1C=9.45，输入电源为uS=10+141.40cos(1t)+47.13cos(31t)+28.28cos(51t)+20.20cos(71t)+15.71cos(91t)+,k=1，,Im(1)=,USm(1)=141.40,141.4/0,3-j9.45=14.26/72.39,P(1)=,12Im(1)R=305.02W2,R=3，1/1C=9.45，输入电源为uS=10+141.40cos(1t)+47.13cos(31t)+28.28cos(51t)+20.20cos(71t)+15.71cos(91t)+,k=3，,Im(3)=,USm(3)=47.130,47.13/0,P(3)=,3-j3.15=10.83/46.4,j9.45j3.153-j9.45,12Im(3)R=175.93W2,同理求得:,Im(5)=7.98/32.21Im(7)=6.14/24.23Im(9)=4.94/19.29,P(5)=95.52WP(7)=56.55WP(9)=36.60W,Im=Im(1)+Im(3)+Im(5)+Im(7)+Im(9)+最后结果应该按时域形式叠加,+10.83cos(31t+46.4),uS=14.26cos(1t+72.39),+7.98cos(51t+32.21)+6.14cos(71t+24.23)+V,Im(7)=6.14/24.23Im(9)=4.94/19.29+10.83cos(31t+46.4),Im(1)=14.26/72.39Im(3)=10.83/46.4Im(5)=7.98/32.21uS=14.26cos(1t+72.39),+,+7.98cos(51t+32.21)+6.14cos(71t+24.23)+6.14cos(71t+24.23)V,5、简单动态电路的,时域分析,考试点,1、掌握换路定路并能确定电压、电流的,初始值,2、熟练掌握一阶电路分析的基本方法3、了解二阶电路分析的基本方法,C：uc(0)0L：iL(0)0,储能元件储存的能量,消耗能量的元件,终值为0,RR,一阶电路的零输入响应一、零输入响应零输入：输入0（外电源输入0）,二、RC电路的零输入响应1、推导过程：,最终,能量来源,+uc=0,ducdt,RC,t0+,初始：K合上前(t0):uc=U0换路：K合上(t=0)：,解一阶齐次微分方程：,令通解,dudt,uRuC=0i=-CuR=Ri,S(t=0),uC,uR,U0,i,uc=Aept则:(RCp+1)Aept=0,R,(RCp+1)Ae=0,RCt,RCt,RCt,1,=U0,t=0+,uc(0+)=uc(0)=U0Ae,1,u=Ae由初始条件定A：,A=U0,RCt,=U0e,1,uc(t)=uc(0+)e,pt,1RC,特征方程：RCp+1=0特征根p=,S(t=0),uC,uR,U0,i,R,解为,2、结论：,t,RCt,=U0e,uc(t)=U0e,=RC,均按同样的指数规律衰减，最终趋于0。,ducdt,RCt,i=C,1RC,)U0e,=C(,tRC,e,e,t,=,=,U0R,U0R,C,t,RCt,uR=u,=U0e,=U0e,的大小反映此一阶电路过渡过程的进展速度大：过渡过程长，进展慢小：过渡过程短，进展快,3、时间常数,=eU0e,即：零输入响应在任一时刻t0的值，经过一个时间常数后，衰减为原值的36.8%。工程上：换路后经过35后，放电基本结束。uc(3)=e3U0=0.05U0uc(5)=e5U0=0.007U0,t,t+,1,uc(t+)=U0e,1e,uc(t)=0.368uc(t),=,4、曲线：,uc、uR、i的曲线上任意一点的次切距长度BC=不同，衰减快慢也不同。,O,t,uC,U0,uC(t0),uC(t0+),A,B,C,O123,t,uC,U0,0.368U0,增加,2,)Rdt,U0,RCt2RCt,edt=CU0e,=CU0,e,RCt,WR=,2,0,i(t)Rdt=0(,U0R,5、能量关系C放电，C不断放能，电阻R不断耗能直至C上电场能量衰减为0。,2,12,12,2,2R,=,0,0,I0=R,三、RL电路的零输入响应,1、推导过程：,U,iL(0)=,换路，K打开(t=0)iL(0+)=iL(0)=I0,求解一阶齐次微分方程：,+iR=0,didt,t0+:L,初始，K打开前(t0),R0,R,U0,LuL,1,S(t=0)2,i,iL(0+)=I0=Ae,A=I0,t=0+,RLt,RL,p=,RLt由初始条件定A：,RLt,i(t)=I0e,令i=Aept,则(Lp+R)ept=0,特征方程：Lp+R=0,得特征根,解为：,i(t)=i(0+)e,=I0e,=I0e,2、结论：,t,RLt,RLt,大小均按指数规律衰减，最终趋于0。,t,RLt,