数学分析华东师范版 2

第三章函数极限,1函数极限概念,2函数极限的性质,3函数极限存在的条件,4两个重要极限,5无穷小量与无穷大量阶的比较,3.1函数极限,关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：,一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，,二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,一、自变量趋向无穷大时函数的极限,通过上面演示实验的观察:,问题:,如何用数学语言刻划函数“无限接近”.,1、定义：,2、另两种情形:,3、几何解释:,例1,证,分析,例2,证明,0X0当|x|X时有|f(x)A|,例3证明,证,故不妨设|x|1，,而当|x|1时,二、自变量趋向有限值时函数的极限,先看一个例子,这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x1时f(x)的极限。,函数极限的基本内容,函数的内涵之一是：,运动,另一运动,几何上：画曲线,典型形式与定义,因,果,定量刻画之一：远近,刻画远近的工具距离,因,果,定量刻画之二：越来越近,刻画越来越近动态刻画,越来越,越来越,逻辑刻画,1、定义：,2、几何解释:,注意：,函数极限的演示,d,d,目的：对任意的e0,要找d0，使得0|x-x0|d时，有|f(x)-A|e.即A-e0当0|x-x0|d时,都有|f(x)-A|c-c|0e,e0d0当0|x-x0|0,当0|x-x0|d时,都有|f(x)-A|e.,分析,|f(x)A|xx0|e,当0|xx0|d时有,de,因为e0,证明,只要|xx0|e.,要使|f(x)A|e,e0,例5,|f(x)A|xx0|,e0d0当0|x-x0|0当0|x-x0|d有|f(x)-A|0,当0|x1|时有,/2,只要|x1|0,只要|x1|e,要使|f(x)A|0d0当0|x-x0|d有|f(x)-A|e,例8,证,例9证明,证,不妨设,注,在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对|f(x)A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意此时是在x=x0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一下。,3.单侧极限:,例如,x的运动形态及关系：固定点,左极限,右极限,证,必要性，,由,使得当,时，,有,，特别地当,时，有,，故,.,同理当,时，也有,故,.,充分性，,由,，,使得当,时，,有,.令,当,时，有,，,.,故,使得当,时，有,，,，,又由,左右极限存在但不相等,例10,证,无穷远点与有限点的关系,这个运动表明：当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点,这个运动表明：当x沿直线趋于负无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点,演示表明：在直线上无论x是趋于，还是趋于，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点顶点！,演示表明：由于在圆周上看，顶点和A点本质上是一样的，因此x0处的运动和无穷远处的运动也是一样。因此,6种,函数极限的种类：,24,极限定义举例：,思考题,思考题解答,左极限存在,右极限存在,不存在.,函数极限的统一定义,(见下表),(1),自变量趋于有限值时函数的极限;,作业,三.小结,(2),自变量趋于无穷大时函数的