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第三节初等多值函数6、根式函数7、对数函数8、幂函数,第二章复变函数,根式函数：,对数函数：,注：复数z的对数仍为复数，它的实部是z的模的是自然对数，它的虚部是z的复角的一般值.由于虚部的任意两个不同的值相差2的整数倍，所以对数函数是无穷多值函数。,对数函数的性质：,指数函数的变换性质：,对数函数的单值解析分支：,因此，对同一个的不同数值的个数等于不同数值的因子的个数,一般幂函数的定义:,利用对数函数，可以定义幂函数：设a是任何复数，则定义z的a次幂函数为,当a为正实数，且z=0时，还规定,由于,一般幂函数的基本性质：,设在区域G内，我们可以把Lnz分成无穷个解析分支。对于Lnz的一个解析分支，相应地有一个单值连续分支。根据复合函数求导法则，的这个单值连续分支在G内解析，并且,其中应当理解为对它求导数的那个分支，lnz应当理解为对数函数相应的分支。,对应于Lnz在G内任一解析分支：当a是整数时，,在G内有n个解析分支；当a是无理数或虚数时，幂函数,在G内是同一解析函数；当,时，,在G内有无穷多个解析分支，是一个无穷值多值函数。,例如当n是大于1的整数时，,称为根式函数，它是,的反函数。当,时，有,这是一个n值函数。,在复平面上以负实轴（包括0）为割线而得的区域D内，它有n个不同的解析分支：,它们也可以记作,这些分支在负实轴的上沿与下沿所取的值，与相应的连续分支在该处所取的值一致。,幂函数的映射性质:,关于幂函数当a为正实数时的映射性质，有下面的结论：设是一个实数，并且,在z平面上取正实数轴（包括原点）作为割线，得到一个区域D*。考虑D*内的角形，,并取在D*内的一个解析分支,当z描出A内的一条射线时,让从0增加到（不包括0及），那么射线l扫过角形A，而相应的射线扫过角形,（不包括0），w在w平面描出一条射线,因此,把夹角为,的角形双射成一个夹角为,的角形，同时，这个函数把A中以原点为心的圆弧映射成中,以原点为心的圆弧。,类似地，我们有，当n(1)是正整数时，,的n个分支,分别把区域D*双射成w平面的n个角形,例1、作出一个含i的区域，使得函数,在这个区域内可以分解成解析分支；求一个分支在点i的值。,解：我们知道,可能的支点为0、1、2与无穷，具体分析见下图,结论：0、1、2与无穷都是支点。,可以用正实数轴作为割线，在所得区域上，函数可以分解成单值解析分支。同时，我们注意到,因此也可以用0，1与作割线。,我们求函数下述的解析分支,在z=i的值。,w的两个解析分支为：,如下图，,所以,例2、验证函数,在区域D=C-0,1内可以分解成解析分支；求出这个函数在(0,1)上沿取正实值的分支在z=-1处的值及函数在（0，1）下沿的值。,解：我们知道,结论：0、1是支点，无穷远点不是支点。,因此，在区域D=C-0,1内函数可以分解成解析分支；若在（0，1）的
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