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1,第三节复变函数,1.3.2复变函数的概念,1.3.2复变函数的极限与连续,1.3.3小结与思考,2,一、复变函数的概念,1.复变函数的定义:,在,3,2.单(多)值函数的定义:,3.定义集合和函数值集合:,4,4.复变函数与自变量之间的关系:,例如,若令z=rei,则w=f(z)=u(r,)+iv(r,),（两个二元实函数）,5,5.复变函数的几何意义,6,(1)取两张复平面，分别称为z平面和w平面,7,8,(2).两个特殊的映射:,9,且是全同图形.,10,例1.25,11,z,w,12,(如下页图),13,将第一图中两块阴影部分映射成第二图中同一个长方形.,z,14,6.反函数的定义:,15,根据反函数的定义,当反函数为单值函数时,16,例,解,17,所以象的参数方程为,18,二、复变函数的极限与连续,1.函数极限的定义:,注意:,定义1.16设函数于点集E上有定义，z0为E的聚点.,如存在复数w0,使对任何的,19,2.极限计算的性质,定理1.2,证,根据极限的定义,(1)必要性.,20,(2)充分性.,21,证毕,说明,22,定理,与实变函数的极限性质类似.,惟一性,复合运算等,23,3.连续的定义:,连续的三要素:,（1）f(z)在z0处有定义,（2）f(z)在z0处有极限,（3）f(z)在z0处的极限值等于函数值,24,4.连续函数的性质,定理1.3,25,例如,26,例1.26,试证：f(z)在原点无极限，从而在原点不连续,证1：,27,证2：,所以,28,特殊的:,(1)有理整函数(多项式),(2)有理分式函数,在复平面内使分母不为零的点也是连续的.,29,例1.27设,则函数f(z)在点z0的,某一去心邻域内有界.,例1.28设函数f(z)在点z0连续，且f(z0)0,则f(z)在点z0的某邻域内恒不为零.,30,例5,证,例,31,3.有界闭集上连续函数的性质,定理1.7设E是有界闭集，f(z)C(E),则有：（1）f(z)在E上有界：M0zE|f(z)|f(z2)|（3）f(z)在E上一致连续.即0,0当z1,z2E且|z1-z2|有|f(z1)-f(z2)|,32,复平面点集的几个基本定理,定理1.4(Bolzano-Weierstrass)聚点定理每一个有界无穷点集,至少有一个聚点定理1.5(Conton闭集套定理)设有无穷闭集列Fn,FnFn定理1.6(Heine-Borel定理),33,小结与思考,2.通过本课的学习,熟悉复变函数的极限、连续性的运算法则与性质.,注意:复变函数极限的定义与一元实变函数极限的定义在形式上是相同的,但,1.复变函数以及映射的概念
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