复变函数4---1-复数项级数和序列以及泰勒级数

,复数项级数和序列,复数序列,复数列即有序的复数集zn=z1，z2，zn，称zn收敛于z0，若,记作,lim|znz0|0,n,limznz0,n,复数列的极限归结为实数列的极限,limznz0lim|znz0|0nn,lim|xnx0|0,lim|yny0|0,limxnx0,limyny0,n,n,n,n,性质1线性性质,，C，limznz0，limwnw0nn,limzn+wnz0+w0,n,性质2Cauchy收敛准则znz0任意0，存在N，使得当m，nN时，|zmzn|,性质1线性性质,，C，limznz0，limwnw0,limzn+wnz0+w0,nn,n,复数项级数,对于复数列z1，z2，zn，称znz1z2znn1为复数项级数。部分和记为nSnzkz1z2znk1,收敛性：若limSnS，则称级数zn收,敛，记作S,若Sn发散，则称级数zn发散。n1,若|zn|收敛，称级数zn绝对收敛。,n1,n1,n,z,n,n1,n1,对应的实数项级数,部分和,xnx1x2n1ynn1,y1y2,xn,yn,nXnxkx1x2xnk1nYnykk1,y1y2yn,定理：复数项级数zn收敛于S,n1实数项级数xn，yn分别收敛于X和Y。n1n1此时，S=X+iY,定理：复数项级数zn收敛于S,n1实数项级数xn，yn分别收敛于X和Y。n1n1此时，S=X+iY证明：由于Sn=Xn+iYn，可知SnSXnX，YnY。,定理：复数项级数zn绝对收敛,实数项级数xn，yn,都绝对收敛。,n1,n1n1,定理：复数项级数zn绝对收敛,实数项级数xn，yn,都绝对收敛。,n1n1证明：“”假设|zn|收敛，由于n1|xn|zn|，|yn|zn|，可知,|xn|，|yn|收敛。,n1,n1n1,定理：复数项级数zn绝对收敛,实数项级数xn，yn,都绝对收敛。,n1n1证明：“”假设|xn|，|yn|收,敛，则(|xn|yn|)收敛，由于,|zn|xn|+|yn|，可知|zn|收敛。n1,n1,n1n1,n1,定理：复数项级数zn绝对收敛,实数项级数xn，yn,都绝对收敛。,n1,n1n1推论：复数项级数zn绝对收敛n1,级数znn1,收敛。,性质：,1、zn收敛zk0zk有界；2、zn收敛0，存在N，使,n1得nN时，|zn1zn2,3、,n1,znp|,n1n1n1,(znwn)znwn,例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，,求极限。（1）zn,()，（2）zncosin。2,n,i,分析与解：（1）由于|i/2|1，猜测zn的极限为0,可知,例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，,求极限。（1）zn,()，（2）zncosin。2,|z|(i)n|10,2,2n,n,limzn0,n,n,i,例1：判断如下数列的收敛性，若收敛，,求极限。（1）zn,()，（2）zncosin。2,n,i,分析与解：（2）由余弦函数的定义,(n0)可知数列zncosin发散。,zcosin1(enen),2,n,例2：讨论数列zn的收敛性，其中,n，为复数。,zn,分析与解：类似于实数列情形，应该以1为临界点分为三种情况：（1）|1,例2：讨论数列zn的收敛性，其中,n，为复数。,zn,（1）|1，此时有,可知极限不存在。,例2：讨论数列zn的收敛性，其中,n，为复数。,zn,|z|n,n,注：（3）用到了如下性质limznz0lim|zn|z0|nn这是因为0|zn|z0|znz0|0,例2：讨论数列zn的收敛性，其中,n，为复数。,zn,例3：设|1，证明级数1+n+,收敛于1,1,证明：先求部分和,由例2，limSn,，即,例3：设|1，证明级数1+n+,1,收敛于1,n1,1,Sn11,n,1,1,n,n0,1,n,1,例3：设|1，证明级数1+n+,收敛于1,1,类似地，可证明当|1时，级数,发散。,12,nn0,例4：判别如下级数的收敛性和绝对收敛,性：2nn1,cosin,知级数发散。,性：2nn1解：cosin11(enen),例4：判别如下级数的收敛性和绝对收敛,cosin,2n2n,2,111(e)n,2(2e)n22(n),幂级数幂级数的形式,n0作变量替换w=z-z0，只需讨论幂级数,c(zz)ncc(zz)c(zz)2,n001020,czncczcz2n012,n0,Abel定理：,若幂级数cnz,在点z00收敛，则,它在区域D：z|z|z0|绝对收敛，,即级数,在区域D收敛；,n0,n,n1,czn,n,Abel定理：,若幂级数cnz,在点z00收敛，则,它在区域D：z|z|z0|发散。,n0,n,n,n1,czn,n,0,n0,n0,n0,n0n0,n0,z0,n0,n0,(向级数,czn靠拢),1,cznn(1，利用,),1,n,czn,czn,n,zz,n,z,czn收敛，可知czn有界n0n0,n0,MnMn0,1,1,由于级数,0,n0,n0,n0,n0n0,n0,z0,n0,n0,(向级数,czn靠拢),1,cznn(1，利用,),1,n,czn,czn,n,zz,n,z,由Abel定理，只有三种情况,幂级数,czn在整个复平面收敛,n0幂级数只在z=0处收敛在圆|z|=R外发散，在圆内收敛，在圆周上单独讨论。此时，称|z|=R为收敛圆。,n,则收敛半径为R=1/。,定理（比值法）：若lim|cn1|0，,n,n,c,则收敛半径为R=1/。,定理（根值法）：若limn|cn|0，,n则收敛半径为R=1/。,定理（比值法）：若lim|cn1|0，,n,n,c,则收敛半径为R=1/。,定理（根值法）：若limn|cn|0，,n则收敛半径为R=1/。,=0，则R=；=，则R=0。,定理（比值法）：若lim|cn1|0，,n,n,c,例5：求如下级数的收敛域,(n!)2,2,n1,n1n,(3)n(iz)nn1,1z,(1),zn，(2),()n，,2,n,n,例5：求如下级数的收敛域,(n!)2,n1,(1),zn,n,n,解：（1）用比值法,(n1)!2,n1,n(n1)(n1),(n!)2,limlimn,lim(n1)n,(n1)n,nn,n,nn,c,c,例5：求如下级数的收敛域,(n!)2,n1,(1),zn,n,n,解：由于,可知,因此，R=0，收敛域为0。,n1n(n1)ne,lim,n,limcn1,n,n,c,例5：求如下级数的收敛域,解：（2）用比值法,可知收敛半径R=2。,2,n1n,1(z)n,(2),2,2nn2,n1,n2n1(n1)22,1,limlimn,n,c,c,例5：求如下级数的收敛域,解：当|z|=2时，,收敛。因此收敛域为z|z|2。,2,n1n,1(z)n,(2),2,2,2,n1,n1n,1(z)n,1,n2,可知收敛半径R=1。,例5：求如下级数的收敛域(3)n(iz)nn1解：（3）用比值法，,limcn1,limn11,n,n,n,c,n,例5：求如下级数的收敛域(3)n(iz)nn1解：当|z|=1时，,可知级数n(iz)n发散，因此收敛域为n1z|z|1。,limn(iz)n,limn,n,n,幂级数的线性运算（收敛半径取小的）,n0,n0,n0,(ab)znnn,azn,bzn,n,n,幂级数的线性运算（收敛半径取小的）,n0,n0,n0,(ab)znnn,azn,bzn,n,n,幂函数的求导与积分，设f(z),f在|z|R解析，f(k)(z),f在|z|R可积，,n0,azn,n,(azn)(k),n0,n,n0,f(z)dzazndz,n,C,C,习题：P87-88T2（1，2）T4（1，3）T7（1，3，6）,Taylor级数,对于实函数f，可以在区间（x0-，x0+）展成Taylor级数,其中,f(x)an(xx0)n0,n,(n),f(x0),n!,n,a,对于复变函数，也有类似的结果。定理（Taylor）：设函数f在区域K：|z-z0|R解析，则在K内可展成幂级数,其中,f(z)an(zz0)n0,n,f(n)(z),0,n!2iC(z)n1,0,1f(),n,a,d,证明思路：第一步：证明幂级数域K内收敛,在区,第二步：将f形式展开成幂级数,n0第三步：证明展开式的唯一性,an(zz0)n0,n,f(z)cn(zz0),n,第一步：证明幂级数K内收敛,a(zz)n在区域n0,这等价于：对任意rR，该幂级数在C：|z-z0|=r内部收敛,n0,这等价于：对任意rR，该幂级数在C：|z-z0|=r内部收敛用根式判别法：,其中，,第一步：证明幂级数K内收敛,a(zz)n在区域n0,n0,(n),f(z0),M(r),1r,n!,n,n,n,an,r,M(r)maxf(z),zC,0,2C(z)n1,0,2f(z0re)d,20,2,f(z0re),0,M(r)maxf(z),1f()d,zrei1,1,2,M(r),1,n,zC,n,i,rnein,i,rn,n,rn,a,d,r,由以下事实可知：该级数的收敛半径r,级数比较判别法，即大系数级数收敛小系数级数收敛,(zz0)的收敛半径为r,n0,M(r)rn,n,第一步：证明幂级数K内收敛,a(zz)n在区域n0,这等价于：对任意rR，该幂级数在C：|z-z0|=r内部收敛,n0,这等价于：对任意rR，该幂级数在C：|z-z0|=r内部收敛令rR，即可知级数在区域K内收敛,第一步：证明幂级数K内收敛,a(zz)n在区域n0,n0,这等价于：对任意rR，该幂级数在C：|z-z0|=r内部收敛令rR，即可知级数在区域K内收敛这里用小圆逼近的原因是对于f在大圆周上的性质（是否有定义？解析？）并不清楚，只知道在大圆内解析。,第一步：证明幂级数K内收敛,a(zz)n在区域n0,n0,第二步：将f形式展开,f(z)cn(zz0),n0为利用Cauchy积分公式(需要一个圆周)，同第一步，先取小圆C：|z-z0|=r，再令rR，逼近区域K的边界,n,第二步：将f形式展开f(z)cn(zz0),n0为利用Cauchy积分公式(需要一个圆周)，同第一步，先取小圆C：|z-z0|=r，再令rR，逼近区域K的边界为什么Cauchy积分公式？注意到an的形式,n,对任意zK，取C：|z-z0|=r，使得z在C内部。由Cauchy积分公式,注意级数中为z-z0的幂，应在上式中凑出。,1f()d,f(z),2iCz,对任意zK，取C：|z-z0|=r，使得z在C内部。由Cauchy积分公式,注意级数中为z-z0的幂，应在上式中凑出。11z(z0)(zz0),1f()d,f(z),2iCz,(zz0)n,(zz0),n1,n0,n0(z0),z0z0,1,n,注意到在C上，而z在C内，因此z0zz0从而，11z(z0)(zz0)11z01(zz0)(z0),因此，,0,n1,2in0(z0)1,0,n1,2in0,(z0),f(n)(z),0,0,n0,an(zz0)n0,1,f(),f(z),(zz)nd,f(),d(zz)n,(zz)n,n!,C,C,n,第三步：证明展开式的唯一性,假设f还有展开式f(z)bn(zz0)n0,在z0处求n阶导数即得,即展开式唯一。,n,(n),f(z0),n!,n,b,推论：函数f在z0解析函数f在z0的某个邻域展开成Taylor级数。,推论：函数f在z0解析函数f在z0的某个邻域展开成Taylor级数。函数f在z0附近展开成Taylor级数的范围是以z0为圆心的尽量大的（解析）开圆盘，即收敛圆应“碰到”奇点,推论：函数f在z0解析函数f在z0的某个邻域展开成Taylor级数。函数f在z0附近展开成Taylor级数的范围是以z0为圆心的尽量大的（解析）开圆盘，即收敛圆应“碰到”奇点定理：幂级数的和函数在收敛圆上至少有一个奇点，R=min|z-z0|：z为奇点,例1：将如下函数在z=0处展成Taylor级数。,（1）,z21（2）,z2z2,11,g(z),f(z),分析与解：（1）奇点为z=1，因此，收敛圆半径R=1。|z|1时，,z2n,2,2,n0,11,f(z),z11z,例1：将如下函数在z=0处展成Taylor级数。,（1）,z21（2）,z2z2,11,g(z),f(z),z2z2,1,1(),11,g(z),32z1z,例1：将如下函数在z=0处展成Taylor级数。,（1）,z21（2）,z2z2,11,g(z),f(z),分析与解：（2）奇点为z=1，-2，因此收敛圆半径R=1。|z|1时，,n1,2n0,n0,zn，因此，g(z).n0,1111,(1)zn,(z)n2,2z21z21,2,1z,n,例1：将如下函数在z=0处展成Taylor级数。,（1）,z21（2）,z2z2,11,g(z),f(z),例2：求如下函数在z=0处的Taylor展开式,（1）,（2）g(z)ln(1z),(1z)2,1,f(z),分析与解：（1）奇点为z=1，因此收敛圆,半径R=1，|z|1时，,因此，,znn0,1,1z,nzn1n1,1,f(z)d,dz1z,例2：求如下函数在z=0处的Taylor展开式,（1）,（2）g(z)ln(1z),(1z)2,1,f(z),分析与解：（2）这是对数函数的主值分支，在沿1，+)割开的复平面上解析，因此收敛圆半径R=1，|z|1时，,例2：求如下函数在z=0处的Taylor展开式,（1）,（2）g(z)ln(1z),(1z)2,1,f(z),zn1,01,n0,11,g(z),dg(0),n1,z,例3：求如下函数在z=0处的Taylor展开式,（1）,（2）g(z)ln(1z),(1z)2,1,f(z),解：用z代替例2中的z即得|z|1时，f(z)(1)n1nzn1n1,zn1,n0,g(z)(1),n1,n,例3：求如下函数在z=0处的Taylor展开式,（1）,（2）g(z)ln(1z),(1z)2,1,f(z),初等函数的Taylor展开式,回顾：初等函数f在其解析区域里的各阶导数形式上和实变函数情形下是一样的。因此f在z=0处的取值也一样，即Taylor展开式形式上和实变函数也一样,例4：求如下函数在z=0处的Taylor展开式,(1)f(z)ez，(2)g(z)sinz，(3)h(z)(1z)，主值分支,f(z)1z,2!,n!,(3)h(z)(1z)，主值分支解：（1）没有奇点，因此f可在整个复平面展开成幂级数f(n)(z)ezf(n)(0)1,z2zn,例4：求如下函数在z=0处的Taylor展开式,(1)f(z)ez，(2)g(z)sinz，,35,g(z)zz,.(1)n,.,3!5!,(2n1)!,z,z,(3)h(z)(1z)，主值分支解：（2）没有奇点，因此g可在整个复平面展开成幂级数。利用求导数的方法或者利用Euler公式和（1）的结果,2n1,例4：求如下函数在z=0处的Taylor展开式,(1)f(z)ez，(2)g(z)sinz，,2n,cosz1z,.(1)n,.,2!4!,(2n)!,z,z,(3)h(z)(1z)，主值分支解：（2）类似地，对于余弦函数，利用求导数的方法或者利用Euler公式和（1）的结果或者利用cosz=g(z),24,例4：求如下函数在z=0处的Taylor展开式,(1)f(z)ez，(2)g(z)sinz，,(3)h(z)(1z)，主值分支解：（3）h(z)(1z)eln(1z)，求导得h(n)(z)(1).(n1)e(n)ln(1z)于是，h(n)(0)(1).(n1)于是，h(z)=.,例4：求如下函数在z=0处的Taylor展开式,(1)f(z)ez，(2)g(z)sinz，,例5：求,在z=1的展开式,f(z)z1,z1,解：奇点为z=-1，因此收敛半径为R=2，在开圆盘|z-1|2，令w=z-1,n1,2n0,n0,f(z)z1w1,w1,z1w2,21(w2),(1)n(z1),w(w)n,2,2,例5：求,在z=1的展开式,f(z)z1,z1,解析函数的零点定义：设f在D解析，若z0D，f(z0)=0，则称z0为f的零点。此时f在z0的Taylor展式中常数项c0=0。,解析函数的零点定义：设f在D解析，若z0D，f(z0)=0，则称z0为f的零点。此时f在z0的Taylor展式中常数项c0=0。若f在z0的Taylor展式中c0=c1=.=cm-1=0，但是cm0，则称z0为f的m阶零点。m=1时，也称简单零点。,定理：解析函数f以z0为m阶零点,f(z)(zz0)(z)其中，解析，并且(z0)0。,m,必要性，将(zz0),提出即得。,m,f(z)(zz0)cn(zz0),(zz0)(z),m,nm,m,nm,其中，解析，并且(z0)0。证明：充分性，将展开即得；,定理：解析函数f以z0为m阶零点,f(z)(zz0)(z),m,例6：z=0是f(z)zsinz的几阶零点？,解：,可知z=0为3