同济第3版-高数-6.4-第四节-可降阶的高阶方程

第四节可降阶的高阶方程,本节概要,二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程。由于高阶方程的求解通常比一阶方程困难得多，因此对于高阶方程常常不是直接考虑方程的求解，而是设法通过降阶将其转化为低阶方程求解。可以通过变量代换化为较低方程的高阶微分方程称为可降阶的方程。,可积方程求解的基本原理是通过积分消去导数或微分记号，使导数或微分关系式转化为函数关系式。由于不定积分计算只能对单变量函数进行，因此若将导数视为微商，则能够由积分法求解的方程只能是可分离变量方程，即方程中至多只含有三个变量，如形如F(x,y,y)=0的方程，只含有三个变量x,y,y.因而能够由积分法求解的方程一般是一阶方程。,一般高阶方程F(x,y,y,y,y(n)通常含n+2个变量，因此能由积分法求解的高阶方程必须是缺变量的。由于变量的缺失，使得有可能通过变量代换降低方程所含的导数阶数，从而使高阶方程有化为低阶方程求解，通常称这类高阶方程为可降阶的高阶方程。可降阶方程是一些特殊的高阶方程，这类方程的讨论就是要研究哪些高阶方程可通过变量代换的方法降阶及如何通过代换降低方程的阶数。,这是一类特殊的n阶方程，由于这类方程中只含两个变量x、y(n)，因此可以通过逐次积分降低导数阶数求得方程的通解，即有y(n)=f(x)，y(n-1)=y(n)dx=f(x)dx+C1，y(n-2)=y(n-1)dx=f(x)dx+C1+C2，如此下去，连续进行n次积分就可求出未知函数y=(x,C1,C2,，Cn),例：求微分方程y=e2x-cosx的通解。该方程是形如y(n)=f(x)的可降阶的三阶方程，对这类方程只需逐次积分就可求得方程的通解。对给定方程连续三次积分有y=ydx=(e2x-cosx)dx=1/2e2x-sinx+C，y=ydx=(1/2e2x-sinx+C)dx=1/4e2x+cosx+Cx+C2，y=ydx=(1/4e2x+cosx+Cx+C2)dx=1/8e2x+sinx+C1x2+C2x+C3.其中C1=1/2C.,例：在公路交通事故现场，常会发生事故车辆的车轮底下有一段拖痕。这是紧急刹车后制动片抱紧制动箍使车轮停止了转动，由于惯性的作用，车轮在地面上摩檫滑动而留下的。如果在事故现场测得拖痕长度为10m，事故调查人员应如何判定事故车辆在紧急刹车前的车速？,事故现场的拖痕除与车辆在紧急刹车前的车速有关外，还与事故现场的路面质地、车载重量及车轮与地面的接触面积等因素有关。各种非车速因素可归结为车轮与地面间的摩檫系数。设本例摩檫系数为=1.02.建立拖痕长度与车速的关系，需选择适当坐标系。取拖痕所在直线为x轴，拖痕的起点为坐标原点，车辆制动后滑行的位移为x=x(t)，滑动的速度为v，则由问题可得以下初始条件：xt=0=0，vt=0=v0.,在制动后的滑行过程中，车辆受到与运动方向相反的摩檫力f的作用，如果车辆的质量为m，则摩檫力的大小为f=mg.根据牛顿第二定律有这是一个形如y(n)=f(x)的可降阶的二阶方程，可通过逐次积分法求解。,积分一次得由初始条件vt=0=v0，定出C1=v0，即有再积分一次得由初始条件xt=0=0，定出C2=0.于是求得关于v0的方程：,为求出初始速度v0，还需再找出关于v0的条件。由于已知事故现场测得拖痕长度为10m.故若设车辆制动到完全停止所用的时间为t1，则得条件xt=t1=10，vt=t1=0.于是可得方程在方程组中消去参数t1得代入=1.02，g=9.81m/s2，求得：v014.15(m/s)=50.9(km/h).,按照本例方法求得的初始速度v0与实际情况还有一定的出入，这是因为在车辆还是滑动之前车轮还有一个滚动减速的过程，因此车辆在刹车前的速度要远大于由本例方程求出的速度。此外，如果根据勘察确定了事故发生的瞬时车辆的确切位置在距拖痕x0处，由方程x=-1/2gt2+v0t还可求出t0的值，这是驾驶员因突发事件而紧急制动的的提前反应时间。根据上述分析可见，依据刹车拖痕的长短，调查人员可判断驾驶员的行驶速度是否超出规定及其对突发事件是否作出了即使反应。,这是一类特殊二阶方程。二阶方程的一般形式是F(x,y,y,y)=0.而这类方程有两个特点：二阶导数y可解出；缺少变量y.由于这类二阶方程中只含有三个变量，其情形类似于一阶方程中可分离变量方程的情形。因此只要能设法减少一个变量，就可用积分法求解。由于变量y,y是有联系的，于是可考虑用变量代换法降阶，使其化为可分离变量方程。,记：y=p，则y=(y)=p，于是二阶方程y=f(x,y)便化为一阶方程p=f(x,p).如果该一阶方程是某类可解方程，即如果可解得p=(x,C1)，则又可得一个一阶方程这是个可分离变量方程，可由积分法求解。分离变量有dy=(x,C1)dx，求得原方程通解为y=(x,C1)dx+C2.,形如y=f(x,y)的二阶方程是一类可化为一阶方程的方程。求解的方法是降阶，降阶的方法是固定的,即通过固定的代换y=p，将此二阶方程转化为两个形如p=f(x,p)和y=(x,C)的一阶方程逐次求解。该二阶方程能否解出，关键在于第一个一阶方程p=f(x,p)是否是可解的一阶方程类型。该类可降阶二阶方程的求解方法还可推广至形如y(n)=f(x,y(n-1)的高阶方程的求解。,例：求方程xy+y=x满足条件y(0)=1，y(1)=1/2的特解。这是个二阶方程的初值问题，对高阶方程求解宜先考虑可否降阶。注意到该方程不显含y，它是个形如y=f(x,y)的缺项二阶方程，因而可通过固定代换降阶。令:y=p，则y=(y)=p，于是二阶方程化为xp+p=x.对此一阶线性方程，可直接由公式法求解，也可考虑根据方程特点采用特殊方法求解。,将一阶线性方程xp+p=x化为标准型有于是由线性方程通解公式有,将初始条件y(1)=1/2代入通解求得C1=0，即有y=1/2x.再求此一阶方程满足初始条件y(0)=1的特解。一阶方程y=1/2x是可分离变量方程，易求得由初始条件y(0)=1解得C2=1综上讨论求得给定方程满足初始条件的特解为,注意到方程xy+y=x左端具有一种特殊性，它恰好是二元函数xy求导的结果，即给定方程可理解成xy+y=(xy)=x，写成微分关系就是求得代入初始条件y(1)=1/2求得C1=0.由此可得一阶方程初值问题：,方程y=1/2x是可分离变量方程，易求得由初始条件y(0)=1解得C2=1综上讨论求得给定方程满足初始条件的特解为,对于高阶方程的初值问题，求满足初始条件的特解时，一般不是先求出高阶方程的通解，再根据初始条件定任意常数，而是采取边求解边定常数的方法，这样计算不仅较为简单，且在某些情况下甚至无法由高阶方程的通解来确定满足初始条件的特解。以本题为例，由凑微分可得一阶微分方程,如果将上式两边积分进一步求二阶方法通解有代入初始条件y(0)=1，y(1)=1/2求二阶方程的特解在理论上虽是正确定的，但实际计算却行不通,因为此时二阶方程的通解在点x=0处无定义。,例：设子弹以200m/s的速度射入厚度为0.1m的木板,受到阻力的大小与子弹的速度平方成正比，如果子弹穿入木板时速度为80m/s，求子弹穿过木板所需的时间。求子弹穿过木板所需的时间，关键是求出子弹运行的路径与时间的关系式，为建立这种关系式需先设置合适的坐标系。,设子弹质量为m，子弹射入木板的时刻为t=0，穿出木板的时刻为t=t1，并设x轴为沿子弹运行的方向和路径，取子弹射入木板的那一点为坐标原点。根据问题条件及牛顿第二定律F=ma有记k/m=a2，则方程可表为由已知可得方程的初始条件为,对此二阶方程初值问题的求解宜先考虑可否降阶。注意到方程不显含x，它是形如x=f(t,x)的缺项二阶方程，可通过固定代换降阶。令:x=v，则x=(x)=v，于是所得二阶方程化为可分离变量方程v=-a2v2.分离变量有两边积分得代入初始条件vt=0=200求得,由上讨论得一阶方程代入条件vt=t1=80求得于是上述一阶方程化为分离变量得,两边积分得代入初始条件xt=0=0求得于是求得子弹运行的路径与时间的关系式为代入条件xt=t1=0.1得子弹穿过木板所需时间为,这也是一类特殊的二阶方程。对二阶方程的一般形式F(x,y,y,y)=0而言，这类方程有两个特点：二阶导数y可解出，缺少变量x.由于这类二阶方程中只含有三个变量，其情形类似于一阶方程中可分离变量方程的情形。因此只要能设法减少一个变量，就可用积分法求解。由于变量y,y是有联系的，因此考虑用变量代换法去掉一个变量，使其化为可分离变量方程。,记:y=p，由于方程不显含x，为了避免在积分过程中出现x而增加变量个数，考虑对y作特殊变形：于是方程y=f(y,y)化为如下形式的一阶方程如果该一阶方程是某类可积方程，则可解得y=p=(y,C1).该方程是可分离变量方程，可进一步由积分法求其通解。,对方程y=p=(y,C1)分离变量有积分求得原方程通解为,形如y=f(y,y)的二阶方程是一类可化为一阶方程的方程。该类方程求解的方法是降阶，降阶的方法是固定的,即通过固定的代换y=p，y=pdp/dy将此二阶方程转化为两个形如pdp/dy=f(y,p)，dy/dx=(y,C1)的一阶方程逐次求解。该类二阶方程能否解出，关键在于第一个一阶方程pdp/dy=f(y,p)是否是可解的一阶方程类型。,例：求方程yy-(y)2=0的通解。这是二阶方程求通解的问题，对高阶方程的求解宜先考虑可否降阶。注意到该方程不显含x，即它是形如y=f(y,y)的缺项二阶方程，故可通过固定代换降阶求解。,C.P.U.Math.Dept杨访,令：y=p，并将二阶导数改写为代入给定二阶方程，使降阶为如下形式的一阶方程易看出y=p=0是该方程的一个平凡解。当p0时，约去p有由于当p0时总有y0，故该方程是可分离变量方程。,分离变量有两边积分得lnp=lny+C，即有y=p=C1y，C1=eC.这又是一个可分离变量方程。再分离变量并两端积分便求得方程通解为lny=C1x+C，即有y=C2eC1x，C2=eC.,例：求方程ylny+(y)2/y=1的通解。这是二阶方程求通解的问题。注意到该方程不显含x，即它是形如y=f(y,y)的缺项二阶方程，故可通过固定代换降阶求解。必须注意的是，用降阶法化二阶方程为一阶方程其求解过程常常比较繁杂，因此对于可降阶还应注意观察方程特点，寻求简洁的解法。,令：y=p，并将二阶导数改写为代入方程，则给定二阶方程ylny+(y)2/y=1化为如下形式的一阶方程易看出，这是个n=-1的伯努利方程。,通过固定代换降阶,对导数项凑微分有于是方程化为以p2为未知函数的线性方程，其中,解伯努利方程,由线性方程通解公式有,求得该一阶方程的通解为于是又得到一个可分离变量方程。分离变量有方程左端的积分不易直接计算，注意到它对应于形如f(y)(y)dy的积分，因此考虑采用凑微分法计算，为此需先确定合适的凑微分因子。,由复合因子内层函数(y)确定凑微分因子(y).(y)=ylny-y+C1，(y)=(ylny-y+C1)=lny+1-1=lny.因此有lnydy=d(ylny-y+C1).对上微分方程作