常微分方程CH-3-1

1,第三章一阶微分方程的解的存在定理,3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法,3.2解的延拓,3.3解对初值的连续性与可微性定理,3.4奇解,2,初值问题的解是否存在？如果存在是否唯一呢？,不是所有的一阶方程都可以用初等解法求其解,问题的提出,例如，黎卡提方程（1841刘维尔证明）,机动目录上页下页返回结束,3,过原点的解。,或更一般地，函数,都是方程的过原点而定义于区间,上的解，这里,为满足,的任一数。,例如，,及,皆为,机动目录上页下页返回结束,4,存在唯一定理明确地肯定了方程的解在一定条件下的存在性和唯一性，它是常微分方程理论中最基本的定理，有其重大的理论意义。另一方面，由于能求得精确解的微分方程为数不多，微分方程的近似解法具有十分重大的实际意义，解的存在唯一性定理也是近似求解法的前提和基础。,机动目录上页下页返回结束,5,1.存在唯一性定理,3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法,考虑初值问题,机动目录上页下页返回结束,6,定义1如果存在常数,使得不等式,对于所有,都成立，则称,在,上关于,（Lipschitz）条件，,满足利普希茨,称为利普希茨常数。,函数,机动目录上页下页返回结束,7,定理1如果,在矩形区域,上满足:,满足利普希茨条件；,定义在,上,连续且满足初始条件,其中,(1)连续；,(2),关于,则方程(3.1)存在唯一的解,初值问题解的存在唯一性定理,机动目录上页下页返回结束,8,利用皮卡（Picard）的逐步逼近法来证明。,对于,可类似进行讨论。,为简单起见，只考虑区间,机动目录上页下页返回结束,9,思路分析,先证求微分方程的初值问题的解等价于求积分方程,的连续解。然后证明积分方程解的存在唯一性。,(3.3),任取一个连续函数,显然,也是连续函数，如果,那末,就是积分方程的解。,否则，令,定义,机动目录上页下页返回结束,10,如果,那末,就是积分方程的解。,否则我们继续这个步骤。,(3.4),得连续函数序列：,如果,则,如果始终不发生这种情况，则可以证明,因而对(3.4)取极限时，得,一般地，令,就是积分方程的解。,存在极限,机动目录上页下页返回结束,11,从而,这就是说,是初值问题的解。,机动目录上页下页返回结束,12,这种一步一步地求出方程的解的方法称为逐步逼近法。,下面分五个命题来证明定理1。,(3.1)，(3.2)的第n次近似解。,称为初值问题,机动目录上页下页返回结束,13,命题1,是方程(3.1)的定义于区间,上，满足初始条件,(3.2)的解，则,是积分方程,定义于,上的连续解。,(3.3),反之亦然。,设,机动目录上页下页返回结束,14,证明,是方程(3.1)满足(3.2)的解，,从而,把(3.2)代入上式，即有,因此，,是(3.3)的定义于,上的连续解。,若,则,机动目录上页下页返回结束,15,反之，如果,是(3.3)的连续解，则有,由此可得,(3.4),因此，,是方程(3.1)的定义于,上且满足初始条件(3.2)的解。,证毕。,机动目录上页下页返回结束,16,选取,构造Picard逐步逼近函数,序列如下：,(3.5),机动目录上页下页返回结束,17,命题2,在,上有定义、连续且,对于所有的n,当,时，,显然,在,上有定义、连续且有,下面用归纳法证明对于任何正整数n,命题2都成立。,设命题2当n=k时成立,即,在,上有定义、,连续且满足,证明,机动目录上页下页返回结束,18,由假设，命题2当,成立，,在,上有定义、连续且,这样，由数学归纳法得知命题2对于所有n均成立。,所以,命题2证毕。,机动目录上页下页返回结束,19,证明,(3.6),所以只需证明(3.6)在,上一致收敛。,命题3,在,上一致收敛,它的部分和为,考虑,由(3.5)，,机动目录上页下页返回结束,20,设对于正整数,时，有,则当,机动目录上页下页返回结束,21,于是，由归纳法得知，对所有的正整数k,有,所以由Weietstrass判别法得,在,上一致收敛，,因而,也在,上一致收敛。,命题3证毕。,机动目录上页下页返回结束,22,设,则,也在,上连续，且,机动目录上页下页返回结束,23,命题4,是积分方程,上的连续解。,证明,又,在,上一致收敛于,在,上一致收敛于,定义于,由利普希茨条件,机动目录上页下页返回结束,24,即,所以,是积分方程(3.3)的定义于,上的连续解。,由(3.5)，,命题4证毕。,所以,机动目录上页下页返回结束,25,命题5,是积分方程(3.3)定义于,上的一个连续解，则,证明,也是序列,的极限函数。,，,设,由,只需证明,一致收敛,有,机动目录上页下页返回结束,26,设,则,机动目录上页下页返回结束,27,由数学归纳法得知，对于所有的正整数,有,因此，在,上有,因而,在,上一致收敛于,根据极限的唯一性，即得,命题5证毕。,综合命题15，即得到存在唯一性定理的证明。,(3.7),机动目录上页下页返回结束,28,如果,在矩形区域,定义在,上,连续且满足初始条件,其中,上连续且,关于y满足利普希茨条件，则,存在唯一的解,初值问题解的存在唯一性定理,机动目录上页下页返回结束,29,命题1,是IVP,的解,是,的连续解。,命题2,在,上有定义、连续且,对于所有的n,命题3,在,上一致收敛。,命题4,是,上的连续解。,定义于,命题5,是,上的一个连续解，则,设,定义于,机动目录上页下页返回结束,30,图(3.1),Remark(1),存在唯一性定理中数h的几何意义,机动目录上页下页返回结束,31,机动目录上页下页返回结束,32,机动目录上页下页返回结束,33,Remark(1),存在唯一性定理中数h的几何意义,机动目录上页下页返回结束,34,机动目录上页下页返回结束,35,Remark:,(2),几何上，,被限定在阴影区域内。,机动目录上页下页返回结束,36,(2)若,在R上连续，则f满足Lipschitz条件。,事实上，,其中,注意，f满足Lipschitz条件,连续.,例:f(x,y)=|y|.,机动目录上页下页返回结束,37,Corollary:,在R：,上连续。,则初值问题,在区间,上存在唯一解。,注意，f满足Lipschitz条件,连续.,例:f(x,y)=|y|.,设f及,机动目录上页下页返回结束,38,(3),设,在,则初值问题(IVP),上存在唯一解.,机动目录上页下页返回结束,39,事实上,对于一般方程(1),由初始值所确定的,解只能定义在,上，这是因为,在构造逐步逼近函数序列,它不越出原来的矩形区域,。而现在，右端,没有任何限制。,时，要求,函数对,机动目录上页下页返回结束,40,而在唯一性的证明中取,为了证明结论，在存在性的证明中取,逐字重复定理的证明过程，即可。,机动目录上页下页返回结束,41,另证,初值问题,的解为,机动目录上页下页返回结束,42,定理2(Peano1890),若,连续。,则Cauchy问题,(3.8),在,设,令,上存在解。,机动目录上页下页返回结束,43,注：,解存在,解唯一,f(x,y)连续,例：,的解至少有两个,和,Lipschtz-条件是保证IVP解的唯一性的充分条件，但不必要。,机动目录上页下页返回结束,44,例1,讨论方程,解的唯一性。,解：,当,时，,都连续，,所以在,的任一点,可以作一个不含,在该区域,上满足解的存在唯一性的条件。,因此，,所给方程满足,的解存在且唯一。,的区域，,机动目录上页下页返回结束,45,另外，显然，,也是方程的解。,当,时，,因此，对,只有,通过。,机动目录上页下页返回结束,46,但,使得,所以，方程右端函数在,的任何邻域上,都不满足L-条件。,机动目录上页下页返回结束,47,存在唯一性定理不仅肯定了解的存在唯一性，并且在证明中所采用的逐步逼近法在实用上也是求方程近似解的一种方法。,2.近似计算和误差估计,机动目录上页下页返回结束,48,初值问题,的真正解,与其第n次近似解,的误差估计为,机动目录上页下页返回结束,49,例2,定义在矩形域：,确定经过原点的解的存在区间，并求在此区间上,上，试利用存在唯一性定理,与真正解的误差不超过0.05的近似解的表达式。,方程,机动目录上页下页返回结束,50,解：,所以满足解存在唯一性定理的条件.,由存在唯一性定理,在-h,h上有唯一解.,其中,所以，解的存在区间为,机动目录上页下页返回结束,51,取L=2，,由于,则,取n=3,得,机动目录上页下页返回结束,52,逐次逼近序列为:,就是所求的近似解。,机动目录上页下页返回结束,53,3.一阶隐方程解的存在唯一性定理,考虑一阶隐方程,过,的积分曲线有两条,但过,沿每一方向只有一条积分曲线。,过,的解,机动目录上页下页返回结束,54,考虑一阶隐方程,(3.9),根据隐函数存在定理，若于,的某一邻域内,连续，且,而,则,可唯一地表为,的连续函数,(3.10),于,的某一邻域内连续，且满足,3.一阶隐方程解的存在唯一性定理,并且,机动目录上页下页返回结束,55,更进一步，若,关于所有变元存在连续偏导,数，则,对,也存在连续偏导数，并且,显然它是有界的。,由定理1，方程(3.10)满足初始条件,的解存在且唯一。,(3.11),机动目录上页下页返回结束,56,定理3,的某一邻域中：,对所有变元,连续，,且存在连续偏导数；,；,则方程(3.9)存在唯一解,（,为足够小的正数）,满足初始条件,(3.12),若在点,机动目录上页下页返回结束,57,Banach空间：完备的赋范线性空间例：Ca,b闭区间a,b上所有连续函数集合,机动目录上页下页返回结束,58,柯西（Cauchy1789-1857），十九世纪前半世纪的法国数学家。在大学毕业后当土木工程师，因数学上的成就被推荐为科学院院士，同时任工科大学教授。,后来在巴黎大学任教授，一直到逝世。他信仰罗马天主教，追随保皇党，终生坚守气节。他在学术上成果相当多，他的研究是多方面的。在代数学上，他有行列式论和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光学、弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的特长是在分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理，这些都是很重要的。他的全集卷，仅次于欧拉，居第二位。,机动目录上页下页返回结束,59,刘维尔（18091882）,法国数学家。1809年3月24日生于圣奥梅尔，1882年9月8日卒于巴黎。对函数论、微分方程和数论有重要贡献。1830年毕业于法国道路与桥梁工程学院。183