工科数学分析基础上册D1-1映射与函数

1,工科数学分析基础,河南理工大学数信学院张波,第一章,分析基础,函数,极限,研究对象,研究方法,函数、极限、连续,二、实数集的完备性和确界原理,三、映射与函数的概念,一、集合及其运算,第一节,集合、映射与函数,四、复合映射与复合函数,五、逆映射与反函数,六、初等函数与双曲函数,元素a属于集合M,记作,元素a不属于集合M,记作,一、集合及其运算,1.定义及表示法,定义1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集,记作.,注:集合的元可以是数，也可以是研究的任何对象。,简称集,简称元,集合按元素的个数多少分为：有限集和无限集。,(1)列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素.,例:,有限集合,自然数集,(2)描述法：,x所具有的特征,例:整数集合,或,有理数集,p与q互质,实数集合,x为有理数或无理数,开区间,闭区间,2、表示法,是B的子集,或称B包含A,定义2.,则称A,若,且,则称A与B相等,例如,显然有：,若,设有集合,记作,记作,必有,3、集合之间的关系及运算,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余（补）集,乘积,特例:,平面上的全体点集.,或,定义3.给定两个集合A,B,4、集合的运算法则,法则1设A,B,C为三个任意集合，则下列法则成立：,(1)交换律,(3)分配律,(2)结合律,(4)幂等律,(5)吸收律,若,法则2（对偶原理）若X为基本集，A,B是它的两个,(1),(2),子集，则,注：集合的交与并运算和对偶原理等可以推广至有限,多个和无穷多个集合的情形。,二、实数的完备性和确界存在定理,1、实数的重要性质：,(1)关于有理运算的封闭性，即任意两实数做有理,运算(加、减、乘、除)后仍为实数；,(2)有序性：对任意的两个实数a与b，有且仅,有下列关系之一：,并且，若,则,(3)稠密性：任意两实数之间仍存在无穷多个实数。,(4)实数集R是完备的.,解释1：完备性是指集合关于极限运算封闭！,解释2：实数集R和实数轴上的所有点一一对应.,注1：有(无)理数集合封闭、有序、稠密；但不完备。,注2：完备性是实数的本质属性，是数学分析的建,立基础。刻画实数完备性的定理主要有：确,界原理、聚点定理、区间套定理等等.,2、确界存在定理（确界原理）,常用符号“,”,对所有的、对任给的；,”存在、有。,“,定义1.1（集合的有界性）设A为实数集R的非空,子集，若,则称A有上（下）界，L（l）称为A的一个,上界（下界）。,若A即有上界又有下界，称,A有界；否则，称A无界。,注：1.A有界,使得,有,2.有上(下)界的数集的上(下)界有无穷多个。,练习1：讨论下列数集的界,(1),(2),答案：1、大于1(小于-1)的数都是它的上(下)界;,2、大于1(小于0)的数都是它的上(下)界。,定义1.2（确界）设,若,满足：,（1）s是A的上(下)界；,（2）,则称s是A的上(下)确界，记为supA(infA).,注：1、确界如果存在，一定唯一；,2、上(下)确界和最大(小)值不同;,3、集合无上（下）界，一定无上（下）确界，,此时规定：,定理1.1任一有上（下）界的非空实数集A必有上,（下）确界。,思考：有上（下）界的有（无）理数集，有上(下),确界么？若有，是否一定是有(无)理数？,例:1.,答案：1.infA=ln2;supA=1;,2.,求两集合的确界.,2.infB=;supB=2;,某校学生的集合,学号的集合,某班学生的集合,某教室座位的集合,引例1.,三、映射和函数,1、映射与函数,设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规,则f,使得,有唯一确定的,与之对应,则称,f为从X到Y的映射,记作,元素y称为元素x在映射f下的像,记作,元素x称为元素y在映射f下的原像.,集合X称为映射f的定义域;,Y的子集,称为f的值域.,注:,1)映射的三要素定义域,对应法则,值域.,2)元素x的像y是唯一的,但y的原像不一定唯一.,定义4.,对映射,若,则称f为满射;,若,有,则称f为单射;,若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.,例.,如图所示,对应阴影部分的面积,则在数集,自身之间定义了一种映射。,(满射),例.设,令,则f是从A到B的一个映射.,（一一映射）,X(数集或点集),在不同数学分支中有不同的惯用,X(),Y(数集),f称为X上的泛函,X(),X,f称为X上的变换,R,f称为定义在X上的函数,映射又称为算子.,名称.例如,说明:,定义域,定义5.设数集,则称映射,为定义在,D上的函数,记为,称为值域.,函数图像:,自变量,因变量,(对应法则),(值域),(定义域),定义域,对应法则的表示方法:,公式法,、图示法,、列表法,使表达式或实际问题有意义的自变量集合.,若定义域是数轴上的区间，则称为定义区间。,对实际问题,书写函数时必须写出定义域；,基本初等函数：常数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数，反三角函数.,非基本初等函数：分段函数等.,2、绝对值函数,1、狄利克雷函数,x为有理数,x为无理数,例如：,3、电子技术中常用的三角波，,5、符号函数,易知，,4、取整函数,当,则,设有函数链,称为由,确定的复合函数,u称为中间变量.,注意:构成复合函数的条件,不可少.,例如,函数链:,但可定义复合函数,时,虽不能在自然域R下构成复合函数,可定义复合函数,当改,2.复合映射与复合函数,(1)反函数的概念及性质,若函数,为一一映射,则存在一新映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为f的反函数.,其反函数,(减),(减).,1)yf(x)单调递增,且也单调递增,性质:,使,其中,4.逆映射与反函数,2)函数,与其反函数,的图形关于直线,对称.,例如,对数函数,互为反函数,它们都单调递增,指数函数,(1)初等函数,常数及基本初等函数,的函数,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成,称为初等函数