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1/16 指数与指数函数指数与指数函数 【知识梳理知识梳理】 一、指数运算一、指数运算 1、根式、根式 （1）概念：若（） ，则称 x 为 a 的 n 次方根， “”是方根的记号 n xa Nnn且 1 n （2）a 的 n 次方根的性质： 在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0 的奇次方根是 0；正数的 偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0 的偶次方根是 0，负数没有偶次方根 ； n n aa n 为奇数，=a；n 为偶数，=|a|= nn a nn a . 0, , 0, aa aa 2、有理数指数幂、有理数指数幂 （1）分数指数幂的意义： （注：无意义） ；)0( 1 0 Raaa且 0 0 ； ) 1, 0( * nNnmaaa nm n m ) 1, 0( 11 * nNnma a a a nm n m n m （2）指数幂的运算性质 ； (0, ,) rsr s aaaar sR ；(0, ,) rsr s aaaar sR ； (0, ,) s rrs aaar sR ( ,0,) r rr ababa brR 二、指数函数二、指数函数 1、指数函数的概念：、指数函数的概念：一般地，函数叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义) 1, 0(aaay x 且 域为 R 注意：注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 2、指数函数、指数函数的图象与性质的图象与性质) 1, 0(aaay x 2/16 00，a1) y 4 1 x y 3 2 |x 【解析】 （1）令 x-40，则 x4，所以函数 y=2的定义域是xRx4 ， 4 1 x 又因为0，所以 21，即函数 y=2的值域是y|y0 且 y1 4 1 x 4 1 x4 1 x 4/16 （2）因为-|x|0，所以只有 x=0. 因此函数 y=()的定义域是xx=0 3 2 |x 而 y=()=()0=1，即函数 y=()的值域是yy=1 3 2 |x 3 2 3 2 |x （3）定义域为 R，因为的值域为，所以的值域为 x ay ), 0( 1 x ay), 1( 【点评】由于指数函数 y=ax,(a0 且 a1)的定义域是 R，所以这类类似指数函数的函数的定义域和值域要 借助指数函数的定义域来求，并利用好指数函数的单调性 例题例题 5：如图，设 a,b,c,d0，且不等于 1，y=ax，y=bx，y=cx，y=dx 在同一坐标系中的图象如图，则 a,b,c,d 的大小顺序 【 】 A、abcd B、abdc C、badc D、bacd 【解析】a1=a 直线 x=1 与各函数图象交点的纵坐标为底数值，故 bad1 时，指数函数底数越大，图象越靠近 y 轴；当 0f (0)f (-3) 【点评】根据待定系数法求函数解析式，这是方程思想的运用 变式变式 5：当时，函数和的图象只可能是（ ）a 0yaxb ax by y=dx y=cxy=bx y=ax O y x 5/16 1 x y O 1 x y O 1 x y O 1 x y O A B C D 【解析】选项 A 中一次函数，指数函数应是减函数，故 A 对1, 0ba 选项 B 中一次函数，指数函数应是增函数，故 B 错1, 0ba 选项 C 中一次函数，指数函数应是减函数，故 C 错1, 0ba 选项 D 中一次函数，指数函数应是增函数，故 D 错1, 0ba 故答案选 A 【点评】利用一次函数和指数函数的关系来确定图象，是本题的关键ba, 题型三、解指数式方程、不等式题型三、解指数式方程、不等式 例题例题 6：解下列方程：（1）； （2）1232 1 xx 12 12 2 xx 【解析】 （1）；23661232 3 1 1232 1 x xxxxx （2）3401212 212 2 xxxx xx 或 【点评】解此类方程时，常利用指数运算的性质化为常见的方程再求解 例题例题 7：解下列不等式：（1）； （2）16 14 x14 2 2 1 x x 【解析】 （1） 4 1 01416 14 xx x （2） 5 1 14222 2 1 1414 xxx xxx x 【点评】解此类不等式时，常化为同底，再利用函数单调性求解 变式变式 6：解下列方程：（1）； （2）27329 1 xx 2353 252 xx 【解析】 （1）原方程化为63-x27=0，(3-x3)(3-x9)=0 2 )3( x 3-x30，由 3-x9=0 得 3-x=32，故 x=2 是原方程的解 6/16 （2）原方程化为，0235)3(3 222 xx 0)23)(13( 23 xx ，得，0)23( 2 x 013 3 x 13 3 x 3x 【点评】解类一元二次方程时要注意运用整体的思想，例如题（1） ，把看成未知数，解得的一元二 x 3x 次方程的根等于，再解出最终结果；解得的结果一定要进行检验 x 3 题型四、指数函数性质的应用题型四、指数函数性质的应用 例题例题 8：比较下列两个数的大小： （1）； （2）； 0.70.8 3 ,3 0.1-0.1 0.75 ,0.75 （3）； （4）,2 1.60.6 0.8 ,1.8 3 2 ) 3 1 ( 5 3 【解析】利用指数函数的单调性对两个数进行大小的比较： 对（1）因为函数 y=3x在 R 上是增函数，0.80.7，所以 30.830.7； 对（2）因为函数 y=0.75x在 R 上是减函数，0.1-0.1，所以 0.75-0.10.750.1； 对（3）由指数函数的性质知 1.80.61.80=1=0.800.81.6，所以 1.80.60.81.6； 对（4）由指数函数的性质知()()0=1=202，所以()2 3 1 3 2 3 1 5 3 3 1 3 2 5 3 【点评】首先把这两个数看作指数函数的两个函数值，利用指数函数的单调性比较若两个数不是同一函 数的两个函数值，则寻求一个中间量“1” ，两个数都与这个中间量进行比较，然后得两个数的大小，数学 上称这种方法为“中间量法” 例题例题 9：求函数的单调区间和值域 23 2 3 1 2 xx y 【解析】令在上递减，在上递增，又为减函数， 22 31 32() 24 uxxx 3 (, 2 3 ,) 2 u y 3 1 2 所以在上递增，在上递减，当时，为最大值， 23 2 3 1 2 xx y 3 (, 2 3 ,) 2 2 3 x 4 4 1 32 3 1 2 y 所以的值域为 23 2 3 1 2 xx y32 , 0( 4 【点评】首先要考察函数的定义域，再利用复合函数单调性的判断方法“同增异减”来判断单调区间 7/16 变式变式 7：已知是奇函数，求常数的值mxf x 13 2 )(m 【解析】由是奇函数，得，)(xf0)()(xfxf 即，得0 13 2 13 2 mm xx 02 31 32 13 2 m x x x 02 31 ) 13(2 m x x 1m 【点评】此题中函数的定义域为，所以不能利用来求解，应利用奇函数的定义0x0)0(f 求出值)()(xfxfm 变式变式 8：判断函数的单调性、奇偶性 12 12 )( x x xf 【解析】任取，使，Rxx 21、21 xx ， ) 12)(12( )22(2 12 12 12 12 )()( 21 21 2 2 1 1 21 xx xx x x x x xfxf 因为，所以，为增函数，所以，所以02 x 0) 12)(12( 21 xxx y2022 21 xx ，0)()( 21 xfxf 所以在上单调递增；)(xfR ，所以为奇函数)( 21 21 ) 12(2 ) 12(2 12 12 )(xfxf x x xx xx x x )(xf 【点评】在判断一个函数的单调性和奇偶性时，要严格按照单调性和奇偶性的定义来判断在判断此题函 数的奇偶性时，通过分子分母同乘化简，从而比较与的关系 x 2)( xf )(xf 【方法与技巧总结方法与技巧总结】 1、在进行有理数指数幂运算时，运算的方法及步骤为： 根式运算时，常转化为分数指数幂，根式化为分数指数幂时，由里往外依次进行； 有分式的转化为负数指数幂； 底数尽量化为一致； 四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号内的，整数幂的运算性质 及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序 8/16 2、指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像特征，要用到 数形结合思想、分类讨论思想 题库题目仅供选择使用 【巩固练习巩固练习】 1下列各式中正确的是（ ） A、=a B、= C、a 0=1 D、=. 44 a 6 2 )2( 3 2 10 5 ) 12() 12( 2将化为分数指数幂的形式为（ ） 3 22 A、 B、 C、 D、 2 1 2 3 1 2 2 1 2 6 5 2 3函数 f (x)的定义域是（ ） x 21 A、 B、 0 , ), 0 C、 D、) 0 , (),( 4下列函数中，值域为的函数是（ ）, 0 A、 B、 C、 D、 x y 2 312 x y12 x y x y 2 2 1 5已知指数函数图像经过点，则 )3 , 1(p)3(f 6若= a-1，则 a 的取值范围为 12 2 a-a 7=_ 48 37 3) 27 10 2(1 . 0) 9 7 2( 0 3 2 2 2 1 8若函数是奇函数，则=_ 14 1 )( x axfa 9已知函数，求其单调区间及值域 2 25 1 3 xx y 9/16 10已知函数.( )f x xx 22 （1）用函数单调性定义及指数函数性质证明：是区间上的增函数；( )f x), 0( （2）若，求的值 325)( x xfx 【课后作业课后作业】 1下列各式中成立的一项（ ） A、 B、 C、 D、 7 1 77 )(mn m n 3 12 4 3)3( 4 3 4 33 )(yxyx 33 39 2化简(a, b 为正数)的结果是（ ） 4 2 1 6 1 3 2332 )b(ab baab A、 B、ab C、D、a2b a b b a 3设，则（ ） 1.5 0.90.48 123 1 4,8, 2 yyy A、 B、 C、 D、 312 yyy 213 yyy 132 yyy 123 yyy 4函数的图象如图，其中 a、b 为常数，则下列结论正确的是（ ） bx axf )( A、 B、0, 1ba0, 1ba C、 D、0, 10ba0, 10ba 5函数的定义域是（ ）1 x ye A、 B、 C、 D、(0,)0,)(1,)1,) 10/16 6函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ） 1)1(2 2 2)( xax xf), 5 a A、6,+ B、 C、 D、), 6( 6 , () 6 , ( 7设 5x=4，5y=2，则= yx2 5 8= 105 4 3 2)(0625 . 0 8 3 3 4 1 6 9函数的图象恒过定点_) 10(3 3 aaay x 且 10若函数是奇函数，则=_ 14 1 )( x axfa 11已知，求的最小值与最大值3,2x 11 ( )1 42 xx f x 12已知 xx xx xf 1010 1010 )( （1）判断函数的奇偶性； （2）证明：是定义域内的增函数；)(xf （3）求的值域)(xf 【拓展训练拓展训练】 1化简，结果是（ ） 11111 3216842 1212121212 A、 B、 C、 D、 1 1 32 1 1 2 2 1 1 32 1 2 1 32 1 2 1 32 1 1 2 2 2若函数的图像经过第一、三、四象限，则一定有（ ）(1)(0,1) x yabaa 11/16 A、B、01ba且010ba且 C、 D、010ba且11ba且 3设集合，则是 （ ） 2 |3 , |1, x Sy yxR Ty yxxRST A、 B、 C、 D、有限集TS 4是偶函数，且不恒等于零，则（ ） 2 ( )1( )(0) 21 x F xf x x ( )f x( )f x A、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数 C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数 5函数的图象是（ ）) 1( | aay x 6函数164xy 的值域是（ ） A、0,) B、0,4 C、0,4) D、(0,4) 7 （2010 重庆）函数 41 2 x x f x 的图象（ ） A、关于原点对称 B、关于直线 y=x 对称 C、关于 x 轴对称 D、关于 y 轴对称 8方程的解 084172 14 xx x 9函数在区间上的最大值比最小值大，则=_) 10()(aaaxf x 且2 , 1 2 a a 10若，求的值3 2 1 2 1 xx 2 3 22 2 3 2 3 xx xx 11如果函数在上的最大值为 14，求实数的值) 10( 12 2 aaaay xx 且1 , 1a 12/16 12已知) 1, 0)( 1 )( 2 aaaa a a xf xx （1）判断的奇偶性；)(xf （2）讨论的单调性；)(xf （3）当时，恒成立，求 b 的取值范围 1 , 1xbxf)( 13 （2006 重庆文）已知定义域为 R 的函数 a b xf x x 1 2 2 )(是奇函数 （1）求 a,b 的值； （2）若对任意的Rt ，不等式0)2()2( 22 ktfttf恒成立，求 k 的取值范围 【参考答案参考答案】 一、巩固练习答案一、巩固练习答案 1、选D 2、选原式 A 2 1 3 1 ) 2 1 1( 22 3、选由得，从而A021 x 12 x 0x 4、选注意先确定定义域D 13/16 5、设，把代入得， 27 1 x ay )3 , 1( 3 1 a 27 1 3 1 )3( 3 f 6、，得，所以1a1) 1(12 22 aaaa01a1a 7、100原式100 48 37 3 16 9 100 3 5 8、由得 2 1 0)0(f 2 1 a 9、解：令，由于为减函数，所以在单调递4) 1(52 22 xxxu u y 3 1 2 25 1 3 xx y 1,( 增，在单调递减，当时，取到最大值，所以值域为), 11xy 81 1 81 1 , 0( 10、 （1）证明：任取，使， Rxx 21、21 xx )22)( 2 1 1 ()22(22)()( 21 21 2121 21 xx xx xxxx xfxf 因为，所以，又，所以，0 21 xx1 2 1 21 xx 0 2 1 1 21 xx 022 21 xx 0)()( 21 xfxf 所以在上是增函数)(xf), 0( （2）解：由得，即，得或32522 xxxxx 2351)2( 2 0423)2( 2 xx 42 x ，得12 x 2x 二、课后作业答案二、课后作业答案 1、选 D 2、选原式 C b a ba ab baba 3 7 3 4 3 2 3 5 3 2 3 7 2 1 23 3 2 3 1 )( 3、选，由指数函数单调性C 8 . 19 . 02 1 22 y 44 . 1 48. 03 2 22 y 5 . 1)5 . 1()1( 3 22 y 得 132 yyy 4、选 D 5、选 B 6、选是增函数，所以在上单调递增，所以，C u uf2)(1) 1(2 2 xaxu), 5 5 2 ) 1(2 a 解得6a 14/16 7、8 8 2 4 5 )5( 5 22 2 y x yx 8、5原式5 2 1 1 2 1 2 3 2 5 2 1 1 16 1 8 27 4 25 43 9、根据指数函数恒过点可得出)4 , 3( x ay ) 1 , 0( 10、由得，得 2 1 0)()(xfxf0 14 1 14 1 xx aa02 41 14 a x x 2 1 a 11、解：令，则， x u 2 1 8 , 4 1 u 在上单调递减，在上单调递增， 4 3 ) 2 1 (1 22 uuuy 2 1 , 4 1 8 , 2 1 当，即时