偏微分方程数值解课件

第三章椭圆形方程的有限差分法,有限差分法和有限元方法是解偏微分方程的两种,用数值微商或数值积分导出相应的线性代数方程组.,主要数值方法.,两种方法的主要差别：离散化的第二步.,有限差分法：从定解问题的微分或积分形式出发，,但基函数要按特定方式选取.,有限元方法：从定解问题的変分形式出发，用,Ritz-Galerkin方法导出相应的线性代数方程组，,差分法求解的主要步骤：,(3)差分方程的解法.,(1)对求解区域做网格剖分.,一维：将区间分成等距或不等距的小区间单元.,二维：将区域分割成一些均匀或不均匀的矩形，其边与,坐标轴平行，或分割成一些三角形或一些凸四边形等.,(2)构造逼近微分方程定解问题的差分格式：三种方法,直接差分化法、积分插值法、有限体积法(或广义差分法).,差分解的存在唯一性、差分性及稳定性的研究.,1差分逼近的基本概念,考虑二阶微分方程边值问题,将其分成等分，分点为,将方程(1.1)在节点,其中q，f为a,b上的连续函数，,为给定常数.,处再离散化.,由Taylor展开得,其中,于是在,其中,舍去,将方程(1.1)写成,点取值.,表示方括号内的函数在,得逼近方程(1.1)的差分方程为：,称,形成关于,注此方程组尽管是高阶方程组，但每个方程未知数,对方程组(1.4)(1.5)的解分析需要考虑以下几个问题：,最多有3个易于求解.,为差分方程(1.3)的截断误差.,的线性代数方程组,(a)解是否惟一？,以,定义在,对,(b)当网格无限加密时，即,时，差分解,是否收敛到真解,(c)在何种度量下收敛？,(d)收敛速度如何？,为了解决如上问题，需要给出如下说明：,内点和界点,表示网格内点,的集合，,表示网格,集合.,上的网函数.,或,上的函数,称为,上的网函数引进如下范数：,其中,定义1.1设U是某一充分光滑的函数类，,称差分算子,断误差定义的网格函数.,为相容条件.,是由截,恒有,若对任何,逼近微分算子L，并称(1.6),注当用,定义1.2当h充分小时，若(1.4)(1.5)的解,称,如果存在与网格,阶也就不同.,且按某一范数,定义1.3对于差分方程,数M和,逼近L时，选择网函数的范数不同，逼近的,存在，,有,收敛到边值问题的解u.,无关的常数,及右端,使,称差分方程关于右端稳定.,相同的收敛阶.,定理1.1若边值问题的解u充分光滑，差分方程按,满足相容条件，且关于右端稳定，则差分解,收敛到边值问题的解u，且有与,按,2两点边值问题的差分格式,考虑两点边值问题,其中,是给定的常数.,2.1直接差分法,(1)取N+1个节点将I=a,b分成N个小区间:,于是，得到I的一个网格剖分.,(2)对I=a,b进行对偶剖分,取,称为半整数点，则,的中点,构成I的一个对偶剖分.,(3)将方程(2.1)在内点,(2.3),(2.4),处离散化.,(2.5),将(2.5)减(2.4)再除以,得,于是得逼近方程(2.1)(2.2)的差分方程：,误差为,2.2积分插值法,在a,b内任一小区间,考虑守恒型微分方程,上积分得：,其中,令,取,则,或,于是,又,沿,积分，得,得守恒型差分方程：,其中,(2.6),2.3边值条件的处理,考虑第二、第三边值条件,(2.7),(2.8),由于,不妨设,(2.9),(2.10),取,得,而,故,于是逼近边值条件(2.9)(2.10)的差分方程为：,(2.11),可以证明：当网格均匀且系数光滑时，差分方程(2.6),逼近微分方程,的阶为,边界差分方程(2.11),逼近(2.9)(2.11)的阶为,作业,第3节二维椭圆边值问题的差分格式,(3.1),G的边界T为分段光滑曲线.,(第一边值条件)(3.2),(第二边值条件)(3.3),(第三边值条件)(3.4),考虑Poisson方程,在T上u满足下列边值条件之一：,3.1五点差分格式,作两族与坐标轴平行的直线:,两族直线的交点,取定沿x轴和y轴方向的步长,令,为网点或节点，记为,若,或,与T交点(也称界点)的集合；,内点；否则称为非正则内点,则称,是相邻节点.,令,表示所有属于G内部的节点,(也称内点)的集合；,表示网线,或,用,代替区域,若内点,的四个相邻点都属于,称其为正则,设,(3.5),利用Taylor展式可知,差分方程(3.5)称为五点差分格式,代替,为正则内点，沿x,y方向分别用二阶中心差商,则有,若取正方形网格，即,则差分方程(3.5),简化为,若,(3.6),(Laplace方程),则,3.2边值条件的处理,1讨论第一边值条件：,当,是非正则内点，如同正则内点，建立,不等距的差分格式，如在节点0处有,时，取,当,其截断误差阶为,如上处理边值条件缺点是破坏了对称正定性，而这一,性质是五点差分格式所固有的,为了保持对称正定性，可用,此时，其截断误差阶为,(3.7),仅讨论一种特殊情况，假设,中的节点是两族网线,针对边值条件，在ABC上对(3.8)积分，,T,B,A,C,2讨论第二、三边值条件,(3.8),的交点,公式得,而,利用Green,于是(3.9)就是逼近(3.8)的差分方程.,(3.9),于是有,4极值定理敛速估计,定理4.1设,（负的极小），除非,证明用反证法，设,中某点达到正,的极大值M.,由于,联通，必有某一内点,是,上任一网函数，若,对任意,则,不可能在内点取正的极大,使,且至少有一个相邻网点，比如,使,于是有,矛盾,（负的极小），则一定在边界上取,推论4.2若网函数,注本定理说明在定理中所给条件下，若有正的极大,推论4.1差分方程有唯一解,满足,则,定理4.2设,是两个网函数，满足,则,证明由条件可知,由Cor4.2知，结论成立,推论4.3,的解,证明设,由定理4.2知：,满足,是如下问题的解,若,则,若,由定理4.1知，,的最大值只能在,达到，因此,从而结论成立,4.2五点格式的敛速估计,设,是Poisson方程第一