动力系统建模

动力系统建模唐云（清华大学数学科学系）ytang,引言1。动力系统的基本概念与方法：从蝴蝶泉到蝴蝶效应2。机械与电力系统中的数学模型3。生命科学的数学建模4。分形模型,目录,引言,动力系统是关于系统演化规律的数学学科。数学建模是连接动力系统理论与应用的桥梁。特点：（1）广泛的应用前景；（2）深刻的数学理论基础；（3）计算技术。动力系统建模作用：（1）教学：数学建模；（2）科学研究：与国民经济及科学前沿关系密切。,从蝴蝶泉到蝴蝶效应1.1蝴蝶的生态问题,云南大理蝴蝶泉，是影片五朵金花里阿鹏和金花对歌的地方，也有名的游览胜地。泉内蝴蝶种类繁多，每年农历4月15日白族的“蝴蝶会”前后，蝴蝶大的大如巴掌，小的小如蜜蜂，成串悬挂于泉边的合欢树上，盛况空前。明代徐霞客在其“游记”中称：“真蝶万千，连须钩足，自树巅倒悬而下及于泉面”。郭沫若在1961年游蝴蝶泉时也曾留下“首尾联接数公尺，自树下垂疑花序”的诗句。,令人惋惜的是，近十数年，人们已经很难看到美丽的蝴蝶盛会，有时，虽有蝴蝶聚集，但数量已少。据当地父老传言：蝴蝶泉边，原有一蓬枝叶茂密、开白花、发清香的茨蓬，花枝缠在横斜泉面的树干上，蝴蝶沿着这些下垂的花枝连成串。如今，茨蓬已除，泉面树干叶枯，加上周围自然环境受到破坏，田野大量使用农药，误伤不少蝴蝶，那连须钩足悬于泉面的奇观，久已不见。,1.2数学模型:Logistic映射,f(x)=ax(1-x)，x在0,1内变化,xn+1=f(xn),从0,1内点x0出发，由Logistic映射的迭代形成,xn=fn(x0),n=0,1,2,序列xn称为x0的轨道。由轨道迭代的极限集可组成分岔图,种群数的模型简化：,相应的迭代为,了一个序列，即,Logistic映射,Logistic映射分岔图,关于吸引子,吸引子是动力系统相空间中的一类特殊集合，它能把周围的轨道都“吸引”（收敛）过来。吸引子分类：（1）平衡点（2）周期轨（3）拟周期轨（4）混沌吸引子,当0a1时，由于,当1a3时，任何(0,1)中初始值的轨道趋于,两个不动点x1*,x2*,一个稳定(吸引),另一个,xn0物种逐渐灭亡,x*=1-1/a,其中x*是方程f(x)=x的解，为映射f的不动点,（周期1点)例：a=1.5时,xn1/3.,不稳定，轨道xn趋向稳定点。,数值迭代：倍周期分岔,当1+61/2a3.5440903506时,从任意的点x0出,也称为周期2点,对应轨道称周期2轨道.(原来周期,点失稳),发的轨道将逐渐沿着四个数值振动，它们满足,称为周期4点，对应轨道称周期4轨道(原有周期点,若a再增大，周期4点又会失稳，而产生新的稳定,又失稳),周期8点，这个周期不断加倍的过程将重复无限次，,会依次出现周期16点，周期32点，.，,这种过程称为倍周期分岔.相应的分岔值,c1=3,c2=1+61/2构成一个单调增加的数列ck.,其极限值为c*=3.569945557391。,当c*a4时，Logistic映射进入混沌区域.反映出,遍历性：点x0的轨道不趋向任何稳定的周期,性,即不同初始值，即使它们离得非常近，它们的,的是：,轨道,它的轨道在(0,1)(或其中某些区间)内的任何,一个子区间(a,b)内都会出现无数次.,敏感性：轨道表现出对初始条件的强烈敏感,轨道也终将以某种方式分离.,混沌的特点,Feigenbau常数,(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k趋于无穷时，趋于常数,q=4.6692016,这常数的意义在于普适性，例如周期3窗口，还有,存在周期窗口：混沌区域内某些地方仍有倍,周期分岔，例如a3.835附近,其他映射,任取(0,1)中的点x0,可以通过作图来取得迭代,在以xn为横坐标、xn+1为纵坐标的第一象限作,抛物线弧：,xn+1axn(1-xn),的数值序列xn,从而也通过图象直观地看出由,x0出发的轨道的变化.这作图的过程颇象蜘蛛,织网,故称为蛛网迭代.,图像方法：蛛网迭代,1a3从(0,1)中任何初值出发的轨道趋向不动点(周期1点),3a61/2+1从任何初值出发的轨道趋向周期2点,61/2+1a3.54409035从任何初值出发的轨道趋向周期4点,a=3.58轨道进入浑沌状态,a=4轨道的浑沌性表现充分,蛛网迭代的优点是轨道非常直观形象.缺点是当周期数较大时不易看清轨道变化细节密度分布图：,从密度：从一个初始点x0出发，由迭代所产生的序列xn(n一般很大)在区间0,1上的概率分布密度.,将具体算法：将0,1区间分成m个长度为h=1/m的小区间，序列xnnN=0落在各个小区间ih,(i+1)h的个数为ki,则该序列落在各小区间的概率（即密度)为,pi=ki/Ni=0,1,2,m,密度图：横轴为区间0,1,纵轴为概率p.每个小区间上的细柱线的高度等于该区间上密度,a=3.2(m=100N=10000 x0=0.1),(这是周期2情况),a