偏微分方程的数值离散方法课件

1,（三）偏微分方程的数值离散方法,3.1有限差分法3.2有限体积法(有限元，谱方法，谱元，无网格，有限解析，边界元，特征线）,2,3.1有限差分法,3.1.1模型方程的差分逼近3.1.2差分格式的构造3.1.3差分方程的修正方程3.1.4差分方法的理论基础3.1.5守恒型差分格式3.1.6偏微分方程的全离散方法,3,3.1.1模型方程的差分逼近,4,3.1.2差分格式的构造,5,3.1.3差分方程的修正方程,差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。Warming-Hyett方法：差分方程(2)写成算子的形式：,6,3.1.3差分方程的修正方程(续),7,3.1.3差分方程的修正方程(续),8,3.1.4差分方法的理论基础,相容性，稳定性，收敛性等价性定理Fourier稳定性分析,9,3.1.4差分方法的理论基础（续）,Fourier(VonNeumann)稳定性分析,10,3.1.4差分方法的理论基础（续）,Fourier(VonNeumann)稳定性分（续）称为CFL条件(Courant,Friedrichs,Levy),11,3.1.5守恒型差分格式,流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：定义,12,3.1.5守恒型差分格式（续）,守恒性质：非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的“离散守恒律”。,13,3.1.5守恒型差分格式（续）,守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理：如果守恒型差分格式是和守恒律相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。用途:(加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用例如：Lax-Friedrichs格式，Lax-Wendroff格式，MacCormack格式,14,3.1.6偏微分方程的全离散方法,对差分格式的一般要求：有精度、格式稳定、求解效率高特殊要求物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性(正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等)主要指非定常方程的时间离散,15,3.1.6偏微分方程的全离散方法(续）,两层格式Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack格式Runge-Kutta方法时空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法多层格式Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三点隐格式,16,3.1.6.1两层格式,Crank-Nicolson格式Predictor-Corrector格式Lax-Wendroff格式MacCormack格式Runge-Kutta方法,17,3.1.6.1两层格式(cont.）,Lax-Wendroff格式一步LW格式,18,3.1.6.1两层格式(cont.）,Lax-Wendroff格式两步LW格式常系数Jacobian时与单步LW等价。但计算更简单，不涉及矩阵相乘。,19,3.1.6.1两层格式(cont.）,MacCormack格式(1969)两步格式比LW更简单，不需要计算函数在半点上的值。LW两步格式和MC各式的缺点：定常解的误差依赖于时间步长。,20,MacCormack格式的构造,21,3.1.6.2三层格式,Leap-Frog格式Adams-Bashforth格式,22,第二课后阅读提示,傅德薰计算流体力学，3.13.3水鸿寿一维流体力学数值方法3.1ComputationalMethodsforFluidDynamics,FerzigerandPeric,SpringerChap.6,23,作业2,1.用Fourier法分析3.1.6.1节中Crank-Nicolson格式的稳定性。2.分析前面3.1.6节中MacCormack格式是几阶精度。,24,3.2有限体积法,出发方程为积分型守恒方程（直角坐标、柱坐标、球坐标）以控制体为离散量计算体积分和面积分需要适当的插值公式和积分公式(quadratureformula)适用于任意形状的网格，复杂几何形状缺点：难以构造大于二阶以上的格式,25,3.2.1定常守恒型方程和控制体,26,3.2.2面积分的逼近,面积分用积分点的值表示(quadrature)积分点的值用CV的值表示(interpolation)对于Simpson公式,对积分点的插值需要四阶精度,27,3.2.4体积分的逼近,当被积函数为某种型函数时，可以得到精确的积分，逼近精度取决于型函数的精度。,28,3.2.4体积分的逼近,四阶精度：2D直角坐标网格最后一式可以四阶精度逼近3D的面积分,29,3.2.5插值和微分,积分点的函数值和其法向梯度1stUDS:取上风点的值,30,插值,2ndorder:向积分点线性插值等价于中心差分(CDS),31,插值,当积分点的函数是线性插值时Secondorder,32,插值,QUICK(quadraticupwindinterpolationforconvectivekinematics)插值三阶精度，但积分（差分）往往只有二阶精度。,33,插值,高精度：N阶精度的quadrture需要N-1阶多项式插值公式。界面上导数可以用插值公式的微分求出。,34,3.2.5有限体积法的边界条件,用边界条件替代面积分入口：通常给定对流通量(mass,momentum,energy,etc.)壁面和对称面：通量为零边界上函数值给定：和内部CV的值共同构建边界上的导数,35,FV例子,36,3.2.6守恒律的有限体积方法Godunov格式,37,38,3.2.6.1Godunov方法的思想,39,一阶迎风格式(CIR格式),40,用Godunov思想说明CIR格式=Godunov格式,41,42,Riemann解图示,43,44,3.2.6.11DEuler方程组的Godunov格式,Godunov格式是基于积分形式的方程组,间断关系自动满足，不需要另外考虑间断线上的间断关系,45,移动网格上的积分回路,46,移动网格上的Godunov格式,47,固定网格上的Godunov格式,48,Lagrange网格上的Godunov格式,49,Euler方程组的Riemann问题的解理想气体的5种解,50,51,二维Euler方程组的Riemann问题,52,53,仅是局部化的1DRP,