数学建模-微分方程-讲座

常微分方程理论在数学建模中的应用,北京理工大学数学系王宏洲,1、微分方程的主要适用范围,我们所关心的研究对象的特征，会随时间(空间)的变化而变化，这种变化可以是连续的，也可以是不连续的。,一般来说，如果判断研究对象的某些特征可能会关于时间、空间连续，那么应该重点考虑利用微分方程建立模型，至少可以利用微分方程建立某些子问题的模型。,比如，问题中涉及到：(1)物体的运动、振动、受力形变(2)生物(动植物、微生物)的数量变化或密度变化(3)物质、能量的扩散、传递(4)消费品在市场上的销售过程(5)信息的扩散与传播,导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变,自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制,粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导,如果研究的是事物在一段时间内的变化情况，或者说在这个过程中发生了什么微分方程的求解和求数值解,如果研究的是事物未来的发展趋势，稳态情形，或者无法/无须获得精确的解微分方程几何理论,2、微分方程模型的分析方法,3、方程的阶数,注意不同阶方程的实际意义,表达的是某个变量的增长速度，与其当前状态和时间变量之间的关系。,从几何的角度来理解，表达的是函数的导数，与函数本身及自变量之间的关系。,表达的是某个变量的增量，与其当前状态和所处时间段之间的关系。,如果讨论的事物，有多个变量会随着时间变化，而且可以分析出这些变量的增长速度与事物当前状态和时间变量之间的关系，可以考虑建立一阶微分方程组。,3、方程的阶数,二阶、二阶以上的常微分方程通常用于有运动的物理现象。,通常经济、管理、生态系统等领域，较少有实际量会涉及到二阶导数，即所谓的加速度。,偏微分方程比较复杂，比如对于u(x,y)：u为产品销量；x为产品价格；y为广告宣传费用。,表示固定y时，u关于x的变化速度和加速度,表示u关于x的变化速度，在y变化时的变化幅度,理解为：价格变动时销量的增幅，关于广告费用的变化速度。,4、建立微分方程模型的依据,根据问题的背景资料，或者我们自己查到的资料，随着时间/空间的变化，问题中的某些指标的变化情况，与另外一些指标的数值或变化情况呈现比例关系，或其他的简单函数关系，则可以据此建立微分方程模型。,建立微分方程模型时，需要注意：所建立的方程或方程组应满足守恒定律；如果希望得到解析解进行深入分析，则尽量简化方程；注意掌握微分方程几何理论，用于做定性的讨论；如果建立的是差分方程模型，也可以粗略的转化为微分方程进行定性讨论；微分方程属于比较理想化的建模方法，适合用于定性讨论或精度要求不高的情形下。,5、案例物体的运动、振动、受力形变,导弹的运动轨迹测算，运动目标的跟踪与拦截；高层建筑、桥梁的防震、防强风设计；桥梁、微型手术器械的形变与控制，弹性杆受力形变,此类问题一般都可以参照经典的物理原理，建立微分方程模型，在此基础上再考虑一些细节问题即可。比如往年美国竞赛题中的摩托车特技飞跃问题。,其中x表示特技演员的位置向量，g表示重力加速度，k表示空气阻力系数，v表示标量运动速度，m表示演员+车的质量。,运动方程不是模型的难点，但却是一个关键的基础问题。,6、案例生物的数量变化或密度变化,自然环境中植物的生长，两种或多种生物之间的相互依赖、促进，食物链问题；动植物、微生物在环境中的扩散与增长；传染病的传播与控制,一个封闭的环境中，没有天敌的某种生物，其数量变化一般都可以假设服从Logistic规律：,或,一个封闭的环境中，两个种群竞争，其数量变化一般都可以假设满足竞争模型：,传染病或病毒的扩散，被感染者的数量变化一般可以用下面的模型表示：,如果存在退出系统的情形，则被感染者的数量变化一般可以用下面的模型表示：,涉及到状态转变时，特别注意系统的守恒问题！,sir,这里的不同之处在于，物质或能量是一定的，不会有新的物质或能量产生。比如不考虑重力影响时，空间中不同位置粉尘、烟雾的浓度变化可以用下面的扩散方程描述：,7、案例物质、能量的扩散与传递,粉尘、烟雾、化学物质在空气、水、土壤中的扩散与沉积，化学反应过程的描述，热量在同种或不同物质间的传导。,中心室,周边室,给药,排除,药物在体内的传递与排出问题,8、案例消费品在市场上的销售过程,新产品入市之后，如果对销量进行预测？或者说，如何描述新产品占领市场的过程？,设需求量有一个上界，并记此上界为K，记t时刻已销售出的产品数量为x(t)，则尚未使用的人数大致为Kx(t)，则基于阻滞增长模型，可以认为：,记比例系数为k：,研究机构预测某种商品近期的销量时，一般采用线性估计办法给出销量区间。如果希望预测较长时间内的销量，则可以采用上面的形式。,在预测商品的销量时，连续性模型一般不便于使用，采用离散形式的阻滞增长模型更方便一些。,如果考虑更复杂一些的情形，比如部分早期用户更新对销量的影响，可以采用时滞微分方程。,考虑早期用户更新的因素，可以采用时滞微分方程。,搜集数据，计算方程中的参数，即可得到销量的递推公式,求解时滞微分方程,求解需要初始条件！,求解需要初始条件！,已知过去一段时间的情况，希望了解将来。,根据已知的数据，推算过去发生了什么。,9、微分方程稳定性分析方法,不求解，直接分析解的一些性态。,1、x只能取正值；2、x0时平衡点P0稳定；,p0或q1(11(21),不稳定,10,2.2平衡点的稳定性根据前面的方法不能给出各个平衡点全部的稳定性条件。,下面对1和2分情况讨论平衡点的稳定性条件。,考虑转到相平面上，即在x1-x2平面上研究方程解沿着t增加所表现出的趋势。,x1(t)=r1x1(1-x1/N1-1x2/N2)x2(t)=r2x2(1-2x1/N1-x2/N2),可知，在任意时刻，x1(t)和x2(t)是增是减由=1-x1/N1-1x2/N2和=1-2x1/N1-x2/N2决定。,1、11,S1,S2,S3,这时=0和=0将相平面分为三个区域：,S1：x10,x20;,S2：x10,x20;,S3：x10,x21，21，P2稳定3、11，方程的解不存在统一的发展趋势。,生态模型食饵捕食者模型,种群甲靠丰富的天然资源生存，种群乙靠捕食甲为生，形成食饵-捕食者系统，如食用鱼和鲨鱼，美洲兔和山猫，害虫和益虫。,模型的历史背景一次世界大战期间地中海渔业的捕捞量下降(食用鱼和鲨鱼同时捕捞)，但是其中鲨鱼的比例却增加，为什么？,生态系统、农业病虫害研究市场经济管理企业经营策略,食饵（甲）数量x(t),捕食者（乙）数量y(t),甲独立生存的增长率r,乙使甲的增长率减小，减小量与y成正比,乙独立生存的死亡率d,甲使乙的死亡率减小，减小量与x成正比,方程(1),(2)无解析解,食饵-捕食者模型(Volterra),a捕食者掠取食饵能力,b食饵供养捕食者能力,Volterra模型的平衡点及其稳定性,平衡点,稳定性分析,P点稳定性不能用近似线性方程分析,p=0,q0P:临界状态,q0P不稳定,用数学软件MATLAB求微分方程数值解,xy平面上的相轨线,计算结果（数值，图形）,x(t),y(t)是周期函数，相图(x,y)是封闭曲线,x(t),y(t)的周期约为9.6,xmax65.5,xmin6,ymax20.5,ymin3.9,用数值积分可算出x(t),y(t)一周期的平均值：x(t)的平均值约为25,y(t)的平均值约为10。,平衡点稳定性分析,用相轨线分析点稳定性,c由初始条件确定,在相平面上