数学分析函数极限

Chap22,函数的极限,一、函数极限的定义,1.x无穷大情形,定义1设f：(a,+)R(a0).若存在常数A，使得,则称当x时，f(x)的极限为A,或f(x)收敛于A，记为,与数列极限定义比较！,试一试,简称“X”定义，三者之间的关系是：,命题,例1.用“X”定义验证,例2.下列极限存在吗？,2.xx0情形,定义2设f：,则称当xx0时，f(x)的极限为A,或f(x)收敛于A，记为,“”定义,f(x)在x0点的极限与f在x0点的定义无关;,适当放大法仍然有效（解关于|xx0|的不等式）.,例3.用“”定义验证,试一试证明,3.单侧极限,定义3.设f:(x0,x0+)R.,则称f(x)在x0点的右极限为A,记为,试一试左极限的定义？,单侧极限左、右极限的统称！,极限和左、右极限的关系,命题,可用于判断分段函数在分段点处的极限.,例4.问函数sgnx当x0时是否存在极限？,4.无穷小和无穷大,定义4若,极限过程为xx0,x或x的情形;,有限个无穷小的和为无穷小；无穷小乘有界量为无穷小；有限个无穷小的乘积为无穷小;常数乘无穷小为无穷小.,极限与无穷小的关系,定理limf(x)=Af(x)=A+(x),其中(x)为无穷小.,例5求,定义5若,试一试xx0,x或x;以及正无穷大,负无穷大,无穷小(不取零值)与无穷大互为倒数关系,无穷大必定无界，反之不成立.如x0时为无界量，但不是无穷大.,例6函数在x=0处有极限吗？,1.Heine定理,定理1,定理揭示了函数极限与函数值数列极限之间的关系.可用于判定函数极限不存在.,例7.问函数,问题Dirichlet函数D(x)在x0处存在极限吗？,二、函数极限存在准则,推论1,思考推论1与Heine定理本身的区别何在？,推论2,推论3,思考推论2与推论3的区别何在？,2.Cauchy收敛准则,定理2,试一试其它5种极限过程的Cauchy收敛准则！,3.单调函数极限,定理3设f在单调，则,1)当f递增有上界时，,当f递增无上界时，,2)当f递减有下界时，,当f递减无下界时，,试一试f在单调时，的情形！,例8试证,1)唯一性,2)局部有界性,3)局部保号性,1.函数极限性质,三、函数极限性质和运算法则,4)局部不等式性,5)夹逼性,2.函数极限运算法则,6)有理函数极限公式,7)复合函数极限,注意条件g(x)u0.变量代换形式,两种免检情形:,若ug(x)在严格单调,若,例9求极限,例10求极限,例11,例12,四、两个重要极限,先证不等式,等价形式:,再令x0,注意由夹逼性即得证.,例13求极限,例14证明,(C)幂指数函数极限,公式1,公式2设,公式3设,五.无穷小的比较,两个无穷小的和、积仍为无穷小，那么两个无穷小的商会是什么样呢？,两个无穷小的商实际上反映了在变化过程中趋于零的速度快慢程度。为此引入定义,例15求极限,定义6设,1)当l=0,则称(x)是(x)的高阶无穷小，记为(x)=o(x)；,2)当l0,则称(x)是(x)的同阶无穷小，记为(x)=O(x)；,3)当l=1,则称(x)是(x)的等价无穷小，记为(x)(x)；,命题(x)(x)(x)(x)=o(x),定义7设,则称(x)是(x)的k阶无穷小,而ck(x)称为(x)的主部.,(x)ck(x),即lim(x)/k(x)=c0,注意c存在且不等于0.,问题当x0时,无穷小xsin(1/x)对x有阶数吗？,例16当x0时,分析若能把所给无穷小化为xf(x)的形式,其中limf(x)存在且不为零,则该无穷小对x的阶数就是.,等价无穷小替换定理,原则极限式分子或分母的无穷小因式可以用等价无穷小替换,而和式中的无穷小,不能轻易替换！当x0时,常用等价无穷小有,公式中,x可为自变量,也可为极限为零的函数!如ln(1+2x2)2x2.,例17证明当x0