大学高等数学-22微分方程基本概念及其一般解法

微分方程,第十二章,积分问题,微分方程问题,推广,微分方程的基本概念,机动目录上页下页返回结束,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第十二章,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,机动目录上页下页返回结束,引例2.列车在平直路上以,的速度行驶,制动时,获得加速度,求制动后列车的运动规律.,解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,由前一式两次积分,可得,利用后两式可得,因此所求运动规律为,说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才,能停住,以及制动后行驶了多少路程.,即求s=s(t).,机动目录上页下页返回结束,常微分方程,偏微分方程,含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),(n阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地,n阶常微分方程的形式是,的阶.,分类,或,机动目录上页下页返回结束,使方程成为恒等式的函数.,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,机动目录上页下页返回结束,例1.验证函数,是微分方程,的解,的特解.,解:,这说明,是方程的解.,是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:,故所求特解为,故它是方程的通解.,并求满足初始条件,机动目录上页下页返回结束,求所满足的微分方程.,例2.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q,解:如图所示,令Y=0,得Q点的横坐标,即,点P(x,y)处的法线方程为,且线段PQ被y轴平分,第二节目录上页下页返回结束,P263(习题12-1),1;2(3),(4);3(2);4(2),(3);6,思考与练习,转化,可分离变量微分方程,机动目录上页下页返回结束,第二节,解分离变量方程,可分离变量方程,第十二章,分离变量方程的解法:,设y(x)是方程的解,两边积分,得,则有恒等式,当G(y)与F(x)可微且G(y)g(y)0时,说明由确定的隐函数y(x)是的解.,则有,称为方程的隐式通解,或通积分.,同样,当F(x),=f(x)0时,上述过程可逆,由确定的隐函数x(y)也是的解.,机动目录上页下页返回结束,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),机动目录上页下页返回结束,例2.解初值问题,解:分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得C=1,(C为任意常数),故所求特解为,机动目录上页下页返回结束,例3.求下述微分方程的通解:,解:令,则,故有,即,解得,(C为任意常数),所求通解:,机动目录上页下页返回结束,练习:,解法1分离变量,即,(C0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),机动目录上页下页返回结束,顶到底的距离为h,说明:,则将,这时旋转曲面方程为,若已知反射镜面的底面直径为d,代入通解表达式得,机动目录上页下页返回结束,(h,k为待,*二、可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令,解出h,k,(齐次方程),定常数),机动目录上页下页返回结束,求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注:上述方法可适用于下述更一般的方程,机动目录上页下页返回结束,例4.求解,解:,令,得,再令YXu,得,令,积分得,代回原变量,得原方程的通解:,机动目录上页下页返回结束,得C=1,故所求特解为,思考:若方程改为,如何求解?,提示:,作业P2761(1),(4),(6);2(2),(3);3;4(4),第四节目录上页下页返回结束,一阶线性微分方程,机动目录上页下页返回结束,第四节,一、一阶线性微分方程,二、伯努利方程,第十二章,一、一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,机动目录上页下页返回结束,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,机动目录上页下页返回结束,例1.解方程,解:先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,机动目录上页下页返回结束,例2.求方程,的通解.,解:注意x,y同号,由一阶线性方程通解公式,得,故方程可,变形为,所求通解为,机动目录上页下页返回结束,在闭合回路中,所有支路上的电压降为0,例3.有一电路如图所示,电阻R和电,解:列方程.,已知经过电阻R的电压降为Ri,经过L的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,其中电源,求电流,感L都是常量,机动目录上页下页返回结束,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,机动目录上页下页返回结束,因此所求电流函数为,解的意义:,机动目录上页下页返回结束,二、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),伯努利目录上页下页返回结束,例4.求方程,的通解.,解:令,则方程变形为,其通解为,将,代入,得原方程通解:,机动目录上页下页返回结束,内容小结,1.一阶线性方程,方法1先解齐次方程,再用常数变易法.,方法2用通解公式,化为线性方程求解.,2.伯努利方程,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,判别下列方程类型:,提示:,可分离变量方程,齐次方程,线性方程,线性方程,伯努利方程,机动目录上页下页返回结束,P2811(3),(6),(9);2(5);6;7(3),(5),作业,第五节目录上页下页返回结束,备用题,1.求一连续可导函数,使其满足下列方程:,提示:,令,则有,利用公式可求出,机动目录上页下页返回结束,2.设有微分方程,其中,试求此方程满足初始条件,的连续解.,解:1)先解定解问题,利用通解公式,得,利用,得,故有,机动目录上页下页返回结束,2)再解定解问题,此齐次线性方程的通解为,利用衔接条件得,因此有,3)原问题的解为,机动目录上页下页返回结束,(雅各布第一伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(16541705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.,全微分方程,机动目录上页下页返回结束,第五节,一、全微分方程,二、积分因子法,第十二章,判别:,P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,为全微分方程,则,求解步骤:,方法1凑微分法;,方法2利用积分与路径无关的条件.,1.求原函数u(x,y),2.由du=0知通解为u(x,y)=C.,一、全微分方程,则称,为全微分方程(又叫做恰当方程).,机动目录上页下页返回结束,例1.求解,解:因为,故这是全微分方程.,则有,因此方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,例2.求解,解:,这是一个全微分方程.,用凑微分法求通解.,将方程改写为,即,故原方程的通解为,或,机动目录上页下页返回结束,二、积分因子法,思考:如何解方程,这不是一个全微分方程,就化成例2的方程.,使,为全微分方程,在简单情况下,可凭观察和经验根据微分倒推式得到,为原方程的积分因子.,但若在方程两边同乘,若存在连续可微函数,积分因子.,例2目录上页下页返回结束,常用微分倒推公式:,积分因子不一定唯一.,例如,对,可取,机动目录上页下页返回结束,例3.求解,解:分项组合得,即,选择积分因子,同乘方程两边,得,即,因此通解为,即,因x=0也是方程的解,故C为任意常数.,机动目录上页下页返回结束,作业,P2851(2),(4),(7);2(2),(5);4,习题课1目录上页下页返回结束,备用题解方程,解法1积分因子法.,原方程变形为,取积分因子,故通解为,此外,y=0也是方程的解.,机动目录上页下页返回结束,解法2化为齐次方程.,原方程变形为,积分得,将,代入,得通解,此外,y=0也是方程的解.,机动目录上页下页返回结束,解法3化为线性方程.,原方程变形为,其通解为,即,此外,y=0也是方程的解.,机动目录上页下页返回结束,可降阶高阶微分方程,机动目录上页下页返回结束,第六节,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,第十二章,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,机动目录上页下页返回结束,例1.,解:,机动目录上页下页返回结束,例2.质量为m的质点受力F的作用沿ox轴作直线,运动,在开始时刻,随着时间的增大,此力F均匀地减,直到t=T时F(T)=0.,如果开始时质点在原点,解:据题意有,t=0时,设力F仅是时间t的函数:F=F(t).,小,求质点的运动规律.,初初速度为0,且,对方程两边积分,得,机动目录上页下页返回结束,利用初始条件,于是,两边再积分得,再利用,故所求质点运动规律为,机动目录上页下页返回结束,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,机动目录上页下页返回结束,例3.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,两端再积分得,利用,因此所求特解为,机动目录上页下页返回结束,例4.,绳索仅受,重力作用而下垂,解:取坐标系如图.,考察最低点A到,(:密度,s:弧长),弧段重力大小,按静力平衡条件,有,故有,设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?,任意点M(x,y)弧段的受力情况:,两式相除得,机动目录上页下页返回结束,则得定解问题:,原方程化为,两端积分得,则有,两端积分得,故所求绳索的形状为,悬链线,机动目录上页下页返回结束,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,机动目录上页下页返回结束,例5.求解,代入方程得,两端积分得,(一阶线性齐次方程),故所求通解为,解:,机动目录上页下页返回结束,M:地球质量m:物体质量,例6.,静止开始落向地面,求它落到地面时的速度和所需时间,(不计空气阻力).,解:如图所示选取坐标系.,则有定解问题:,代入方程得,积分得,一个离地面很高的物体,受地球引力的作用由,机动目录上页下页返回结束,两端积分得,因此有,注意“”号,机动目录上页下页返回结束,由于y=R时,由原方程可得,因此落到地面(y=R)时的速度和所需时间分别为,机动目录上页下页返回结束,说明:若此例改为如图所示的坐标系,解方程可得,问:此时开方根号前应取什么符号?说明道理.,则定解问题为,机动目录上页下页返回结束,例7.解初值问题,解:令,代入方程得,积分得,利用初始条件,根据,积分得,故所求特解为,得,机动目录上页下页返回结束,为曲边的曲边梯形面积,上述两直线与x轴围成的三角形面,例8.,二阶可导,且,上任一点P(x,y)作该曲线的,切线及x轴的垂线,区间0,x上以,解:,于是,在点P(x,y)处的切线倾角为,满足的方程.,积记为,(99考研),机动目录上页下页返回结束,再利用y(0)=1得,利用,得,两边对x求导,得,定解条件为,方程化为,利用定解条件得,得,故所求曲线方程为,机动目录上页下页返回结束,内容小结,可降阶微分方程的解法,降阶法,逐次积分,令,令,机动目录上页下页返回结束,思考与练习,1.方程,如何代换求解?,答:令,或,一般说,用前者方便些.,均可.,有时用后者方便.,例如,2.解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题?,答:(1)一般情况,边解边定常数计算简便.,(2)遇到开平方时,要根据题意确定正负号.,例6,例7,机动目录上页下页返回结束,P2921(5),(7),(10);2(3),(6);3;4,作业,第七节目录上页下页返回结束,速度,大小为2v,方向指向A,提示:设t时刻B位于(x,y),如图所示,则有,去分母后两边对x求导,得,又由于,设物体A从点(0,1)出发,以大小为常数v,备用题,的速度沿y轴正向运动,物体B从(1,0)出发,试建立物体B的运动轨迹应满,足的微分方程及初始条件.,机动目录上页下页返回结束,代入式得所求微分方程:,其初始条件为,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,高阶线性微分方程解的结构,第七节,二、线性齐次方程解的结构,三、线性非齐次方程解的结构,*四、常数变易法,一、二阶线性微分方程举例,第十二章,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻t物位移为x(t).,(1)自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比,方向相反.,建立位移满足的微分方程.,机动目录上页下页返回结束,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2)强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,机动目录上页下页返回结束,求电容器两两极板间电压,例2.,联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.,提示:设电路中电流为i(t),上的电量为q(t),自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串,极板,机动目录上页下页返回结束,在闭合回路中,所有支路上的电压降为0,串联电路的振荡方程:,如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得,机动目录上页下页返回结束,化为关于,的方程:,故有,n阶线性微分方程的一般形式为,方程的共性,为二阶线性微分方程.,例1,例2,可归结为同一形式:,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,复习:一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,机动目录上页下页返回结束,证毕,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),定理1.,机动目录上页下页返回结束,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,机动目录上页下页返回结束,定义:,是定义在区间I上的,n个函数,使得,则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间I上都线性相关;,又如，,若在某区间I上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见,在任何区间I上都线性无关.,若存在不全为0的常数,机动目录上页下页返回结束,两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为0的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为0,则,必线性,相关,(证明略),线性无关,机动目录上页下页返回结束,定理2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是n阶齐次方程,的n个线性无关解,则方程的通解为,机动目录上页下页返回结束,三、线性非齐次方程解的结构,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,复习目录上页下页返回结束,是非齐次方程的解,又Y中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而也是通解.,机动目录上页下页返回结束,定理4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.,机动目录上页下页返回结束,定理5.,是对应齐次方程的n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解