流体力学第四章课件

流体力学,第四章流体动力学基础,本章是工程流体力学课程中最重要的一章。本章建立了控制流体运动的微分方程，即理想流体运动微分方程和实际流体的运动微分方程；并介绍了求解理想流体运动微分方程的伯努利积分形式；构建了工程流体力学中应用最广的恒定总流运动的三大基本方程：连续性方程、伯努利方程（即能量方程）和动量方程。通过本章的学习要培养综合运用三大基本方程分析、计算实际总流运动问题的能力。,4.1流体的运动微分方程,4.1.1理想流体的运动微分方程欧拉方程1.理想流体运动时的应力状态理想流体运动时的应力特性与静止流体完全相同，即流体中只存在压应力压强，压强的方向与作用面的内法线方向一致，其大小在同一点各方向上均相等，与作用面的方位无关。2.理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程的基本原理就是牛顿第二定律（F=ma），该方程就是在此基础之上推导而来。,从理想流体中任取一(x,y,z)为中心的微元六面体为控制体，边长为dx,dy,dz，中心点压强为p(x,y,z)，如图受力分析(x方向为例)：1.表面力因为理想流体，所以t=0左表面右表面2.质量力单位质量力在各坐标轴上分量为X,Y,Z，所以x方向的质量力为Xdxdydz,由牛顿第二运动定律x方向有：理想流体的运动微分方程（欧拉运动微分方程）适用范围：恒定流或非恒定流，可压缩流或不可压缩流体。若加速度=0则上式就可转化为欧拉平衡微分方程,4.1.2NS方程（略）,4.2理想流体运动微分方程的伯努利积分由于欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组（迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积），因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一定条件下积分。4.2.1伯努利积分该积分是对理想流体运动微分方程的积分，其限定条件是：1）理想流体；2）作用在流体上的质量力是有势力；3）为不可压缩流体（其密度为常量）；4）为恒定流；5）沿流线积分。,由理想流体运动微分方程式出发因限定为恒定流，故上式中的量均与时间无关，只是位移坐标xyz的函数。将上式中各式分别乘以沿流线的坐标增量dx，dy，dz，然后相加得：恒定流中流线与迹线重合：=,由于质量力是有势的，故左边的前三项就是力势函数W的全微分，即dw对于恒定流，P不是时间的函数，只是位置坐标x，y，z的函数，且不可压缩流体的密度为常数，故左边后三项，可写为则整理，两边积分得（4-9）,结论：在有势质量力作用下，不可压缩的理想流体恒定流动中，沿同一流线上各质点的是一个常数。但不同的流线有各自的常数，彼此并不互等。上式称为伯努利积分。下面重点介绍重力场中的形式。,4.2.2重力场中理想流体元流的伯努利方程,因为X=Y=0，Z=-g，则代入原方程，得积分，得（4-11）理想势流伯努利方程：或对同一流线，任意两个质点1和2有如下关系,2.理想流体元流伯努利方程的物理意义和几何意义,物理意义:在同一恒定不可压缩流体重力势流中，理想流体各点的总比能相等即在整个势流场中，伯努利常数C均相等。符号说明,位置水头、压强水头、速度水头之间的关系见书114页图4-2,例题4-2见书114页3.应用毕托管量测点流速当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向两边（或四周）分流时，在物体表面上受水流顶冲的A点流速等于零，称为滞止点（或驻点）。在滞止点处水流的动能全部转化为压能。毕托管就是利用这个原理制成的一种量测流速的仪器。广泛应用于测量渠道和管道中的水流点流的仪器.利用能量转化(动能转化为势能)原理。所以C为校正系数常取11.04,4.3实际流体的伯努利方程,实际流体都具有黏性，流动时由于质点之间或流层与流层之间的相对运动而产生内摩擦阻力。流体流动就要克服内摩擦阻力而做功，因而消耗能量，使流体的一部分机械能不可逆转的转化成热能而耗散，流体的机械能会沿流层而减小，表现为机械能的损失。4.3.1元流的伯努利方程实际流体元流的伯努利方程可以根据能量守恒原理，通过对理想流体元流的伯努利方程进行修正的方法而得到。现以hw代表元流中单位重量流体从过流断面1流到过流断面2所耗损的机械能。则,这就是实际流体元流的伯努利方程，其中能量损失hw0，且具有长度量纲。实际流体的水头线见书图4-71、水力坡度-重要的水力要素.用J表示.2、测压管水头线坡度JP：单位长流程上的测压管水头线降落，用测压管测量。,4.3.2总流的伯努利方程,习惯上用总流的断面平均流速v以及高度z和压强p的断面平均值表示总流的运动要素。为了用断面平均流速v代替各元流的流速u，需要引入动能修正系数的概念；为了得到（z+p/r）的断面平均值，需要区别渐变流与急变流这两种不同流动的特性。1.渐变流及其特性渐变流过水断面近似为平面，即渐变流是流线接近于平行直线的流动。均匀流是渐变流的极限。动压强特性：在渐变流同一过水断面上，各点动压强按静压强的规律式分布，即注：上述结论只适用于渐变流或均匀流的同一过水断面上的各点，对不同过水断面，其单位势能往往不同。选取：控制断面一般取在渐变流过水断面或其极限情况均匀流断面上。,2.恒定总流伯努利的推导,设元流的流量为dQ=u1dA1=u2dA2，则在上述元流伯努利方程的等式两端同乘以gdQ可得单位时间内元流两过水断面的重量能量关系式：然后沿总流过水断面上积分可得总流能量关系：由此可分别确定式中三种类型的积分如下：（1）势能积分：在渐变流断面或均匀流断面上，有则：,（2）动能积分：动能修正系数是无量纲数，它的大小取决于总流过水断面上的流速分布，分布越均匀，值越小，越接近于1.0。为简化计算，我们就取1.（3）损失积分：实际流体恒定总流的能量方程（对单位重流体而言）（4-19）,则（4-19）还可以表示为H1=H2+hw（4-20）式中：z位能（位置水头）压能（压强水头）平均总势能（测压管水头）平均动能（流速水头）平均总机械能（总水头）平均机械能损失（水头损失）,单位重流体克服流动阻力所做的功。,3.能量方程的几何表示水头线见书123页,注意：1.理想流动流体的总水头线为水平线；2.实际流动流体的总水头线恒为下降曲线；3.测压管水头线可升、可降、可水平。4.若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即J=JP。5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。6.如果测压管水头线在总流中心线以上，压强就是正职；如相反，则压强为负值，则有真空。,4.总流能量方程在推导过程中的限制条件,（1）不可压缩流体；（2）恒定流；（3）质量力只有重力，所研究的流体边界是静止的（或处于平衡状态）；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流；（5）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。（6）总流的流量沿程不变。各断面流速之间的关系应符合连续性公式v1A1=v2A2，此外大多数我们可以认为均为1,5.能量方程的解题步骤,三选一列1.选择基准面:基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。例如选过水断面形心（z=0），或选自由液面（p=0）等。2.选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。3.选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同的压强标准。4.列能量方程解题注意与连续性方程的联合使用。,例题4-4、4-5、4-6,例4-7文丘里流量计为确定管道流量，常用如图所示的文丘里流量计测量。它由渐变管和压差计两部分组成。压差计中的工作液体与被测液体或相同（图a），或不同（图b），测量大压差常用水银作为工作液体（图b）。图a图b,设已知管流流体为水，管径d1,d2及压差计的水头差h。则可确定通过的流量Q。取管轴0-0为基准面，测压管所在断面1,2为计算断面（符合渐变流），断面的形心点为计算点，对断面1,2写能量方程（4-15），由于断面1，2间的水头损失很小，可视，取1=2=1，得由此得：故可解得：,式中,K对给定管径是常量，称为文丘里流量计常数。实际流量：文丘里流量计系数，随流动情况和管道收缩的几何形状而不同。对水银压差计有：,4.3.3总流的伯努利方程应用的扩展,1.不可压缩气流的伯努利方程总流的能量方程式（4-15）是对不可压缩流体导出的，气体是可压缩流体，但是对流速不很大（ua），此时相当于液体总流，式（4-26）中a可忽略不计，认为各点的当地大气压相同，式（4-26）化简为除以g，即由此可见，对于液体总流来说，压强p1,p2不论是绝对压强，还是相对压强，能量方程的形式不变。,2.能量的输入与输出的伯努利方程,在同一流动中，若另有机械能输出（如水轮机），或输入（如泵或风机），则能量方程形式为：（4-28）式中：+Hs输入流体的能量，Np泵输入功率（轴功率），单位：Nm；p泵效率。-Hs输出流体的能量Np水轮机输出功率，单位：Nm；水轮机效率。,3.两断面间有分流或汇流的伯努利方程分流：,4.4实际流体恒定总流的动量方程,流体运动除了必须遵循质量守恒、能量守恒与转化的普遍规律外，还必须遵循动量守恒原理。动量方程就是自然界动量守恒定律在流体运动中的具体表现，它反映了流体运动的动量变化与作用力之间的关系。总流的动量方程是继连续性方程、伯努利方程之后，第三个积分形式的基本方程。它们是工程流体力学的三个重要方程。能量方程和连续性方程对于分析流体运动和解决实际工程问题是极为有用的。但是，它们没有反映出流体与边界上作用之间的关系，而工程实际中往往要求分析、计算急变流段的流体与固体边界间的相互作用力；同时，能量方程中包含有水头损失一项，对于有些流动，一时难以确定水头损失的大小，应用受到限制，动量方程则弥补了这些不足，因而在分析流体运动问题时得到了广泛应用。,4.4.1恒定总流的动量方程,动量定理：质量系的动量对时间的变化率等于作用于该质点系的所有外力之矢量和，即：如图从恒定总流中任取一束元流为控制体积，dt时间内，流体从1-2处流至1-2处。dt时间内元流的动量变化（恒定流）为由动量定律得：(1)不可压缩流体恒定元流动量方程不可压缩流体恒定流，有则有,（2）不可压缩流体恒定总流动量方程,（4-35）或（4-36）动量修正系数，是指实际动量与按断面平均流速计算的动量的比值，1。计算时可取为1.0。式中：作用于控制体积内流体的所有外力矢量和。该外力包括：（1）作用在该控制体内所有流体质点的质量力(重力G)；（2）作用在该控制体面上的所有表面力（动水压力P1、P2）；（3）四周边界对水流的总作用力（R）。,适用范围：（1）理想流体、实际流体的不可压缩恒定流。（2）选择的两个过水断面应是渐变流过水断面，而过程可以不是渐变流。（3）质量力只有重力。（4）沿程流量不发生变化；若流量变化，则方程为：,动量方程的解题步骤,1.选隔离体根据问题的要求，将所研究的两个渐变流断面之间的水体取为隔离体；2.选坐标系选定坐标轴的方向，确定各作用力及流速的投影的大小和方向；3.作计算简图分析隔离体受力情况，并在隔离体上标出全部作用力的方向；4.列动量方程解题将各作用力及流速在坐标轴上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强采用相对压强计算。注意与能量方程及连续性方程的联合使用。,例1图为一滚水坝，上游水位因坝的阻挡而抬高，测得断面1-1的水深为1.5m，下游断面2-2水深为0.6m。略去水头损失，求水流对1m坝宽（垂直纸面方向）的水平作用力F。,解在坝前一段距离处，取渐变流断面1-1；在坝下游水流较平直处，取断面2-2。以坝基底部为基准面0-0，设1=2=1，写出总流能量方程（4-15）：利用连续方程取宽度为1m，得代入（1）式：得1m坝宽的单宽流量,作用在断面1-1上的水压力作用在断面2-2上的水压力坝对水流作用力的合力为R，取断面1-1和2-2之间的水流为隔离体（图b),写出总流动量方程得：则水流对1m坝宽的作用力方向与R相反。,本章小结,一.恒定总流能量方程1.能量方程各项物理意义和几何意义：2.能量方程的应用条件（1）恒定流；（2）不可压缩流体；（3）质量力只有重力；（4）所选取的两过水断面必须是渐变流断面，但两过水断面间可以是急变流；（5）总流的流量沿程不变；（6）两过水断面间除了水头损失以外，总流没有能量的输入或输出。,3.应用能量方程时的注意事项（1）沿流动方向在渐变流处取过水断面列能量方程；（2）基准面原则上可任取，但应尽量使各断面的位置水头为正；（3）在同一问题上必须采用相同的压强标准。一般均采用相对压强，而当某断面有可能出现真空时，尽量采用绝对压强；（4）由于=常数，所以计算点在断面上可任取，但对于管道流动常取断面中心点，对于明渠流动计算点常取在自由液面上；（5）应选取已知量尽量多的断面，如上游水池断面v1=0，p=0，下游管道出口断面p2=0处，其中一个断面应包括所求的未知量。（6）当一个问题中有23个未知量时，需和连续方程、动量方程联立求解；（7）对于有分叉的流体流动能量方程仍可应用，因为上述能量方程是对单位重量流体而言的。（8）当两断面有能量输入、输出时，能量方程应为：能量输入时，H为“+”，能量输出时，H为“-”。,4.水头线各断面的总水头连线称为总水头线或总能线。对于理想流动流体的总水头线为水平线；对于实际流动流体的总水头线恒为下降曲线或直线，其下降值等于两断面的水头损失hw。各断面的测压管水头连线称为测压管水头线。测压管水头线与总水头线的间距是流速水头，若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线，即