机电系统动力学第七章第1、2、3、4节

振动分析的方法很多，数值仿真方法是进行振动分析的最直接的一类方法，它们可以应用于包括非线性振动在内的各种振动问题，这类方法是用以研究动态响应有效手段之一。,第七章振动的仿真,从数学的观点来看，数值仿真方法是解微分方程边值问题和初值问题的逐步方法。在结构动力学响应计算方面采用实用有效的数值仿真方法，可以对系统在任意激励下的动态响应进行分析。,数值仿真方法的特点：在时间域内对响应的时间历程进行离散，把运动微分方程分为各离散时刻的方程；将某时刻的速度和加速度用相邻时刻的各位移的线性组合表示，于是系统的运动微分方程就化为一个由位移组成的某离散时刻的代数方程组；对耦合的系统运动微分方程进行逐步数值积分，从而求出在一系列离散时刻上的响应值。这种数值仿真方法称为逐步积分法(或直接积分法)。,目前用于求解多自由度线性振动系统的常用方法有：中心差分法；侯博特(Houbolt)法；威尔逊(Wilson-)法；纽马克(Newmark-)法等数值方法。对于高频分量和低频分量混合的问题，若采用无条件稳定的解法，可以提高计算效率。,中心差分法是直接积分法的一种。它是将系统的运动微分方程在时间域内离散，化成对时间的差分格式，然后根据初始条件，利用逐步积分求出在一系列离散时刻上的响应值。,7.1中心差分法,离散系统的运动微分方程为,(7.1-1),式中M，C，K分别为系统的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵；,，x分别表示系统的加速度，速度和位移；R(t)是外力向量。,假定在t=0时，位移、速度和加速度分别为已知的x0,，。为了求解系统的运动微分方程在时间区间0，T的解，把时间全程T划分为n等份，即：,在中心差分法中，是按中心差分将速度和加速度向量离散化为,(7.1-2),由以上两式可见，t时刻的速度和加速度是以相邻时刻的位移表示的。考虑在t时刻的动力方程为,(7.1-5),将式(7.1-3)和式(7.1-4)代入式(7.1-5)，有,(7.1-6),求解方程式(7.1-6)，可得xt+t。但由式(7.1-8)可以看出，为求xt+t必须使用xt和xt-t的值。可见开始计算时，即t=0时，要计算xt的值，就需要未知的x-t值。因此应该有一个起始技术，因而这种算法不是自起步的。由于x0，,是已知的，由t=0时的式(7.1-3)和式(7.1-4)可得,(7.1-9),表7.1-1中心差分法的计算机实施格式,中心差分法是一种显式积分方法。需要特别指出的是，使用中心差分法必须考虑积分的时间步长t不能大于临界值tcr，即,式中Tn为离散系统的最小周期。,(7.1-10),如果不满足式(7.1-10)，数值解将出现发散现象，表明这种算法不是无条件稳定的。,侯博特(Houbolt)法是Houbolt为研究飞机振动所提出的方法。该方法是以三级位移插值为基础的，通过四点的位移建立三次式，用两个向后差分公式表示在时刻t+t的速度和加速度，即,7.2侯博特法,(7.2-1),(7.2-2),于是，在tt时刻的动力方程为,将加速度和速度的向量形式(7.2-1)式和式(7.2-2)代入式(7.2-3)，即得关于xt+t的求解方程,式中,(7.2-3),(7.2-4),(7.2-5),(7.2-6),由式(7.2-4)-式(7.2-6)可以看出，要计算xt+t时刻的解，必须使用前三步的位移xt,xt-t和xt-2t。由于该方法不是自起步的，要用其它方法由x0，起步，例如可用中心差分法求出xt和x2t后，才能使用Houbolt法的方程(7.2-4)逐步求解。,表7.2-1Houbolt法的计算机实施格式,Houbolt法和中心差分法的根本不同之处是刚度矩阵K出现在方程(7.2-4)的左端，因此Houbolt法是隐式积分格式，其舍入误差与步长t的大小无关，所以Houbolt法是无条件稳定的。,图7.3-1Wilson-法模型,7.3威尔逊-法,威尔逊-(Wilson-)法是假定在t,t+t(1)时间间隔内，加速度呈线性变化，如图7.3-1所示。令为自t时刻开始的时间变量，适用于0t，根据线性加速度的假设可得在此范围内的加速度为,(7.3-1),若=t，由以上两式可得t+t瞬时的速度和位移,积分后得,(7.3-2),(7.3-3),(7.3-4),(7.3-5),于是，在t+t时刻的动力方程为,式中,根据以上两式，可将t+t时刻的加速度和速度用位移来表示，即,(7.3-6),(7.3-7),(7.3-8),(7.3-9),将加速度和速度的向量形式的式(7.3-6)和式(7.3-7)以及外力关系式(7.3-9)代入式(7.3-8)，即得关于xt+t的求解方程为,式中,(7.3-10),(7.3-11),(7.3-12),同样取=t，将式(7.3-1)分别代入式(7.3-2)和式(7.3-3)，有,这样就完成了一步的积分。,求解方程式(7.3-10)，可得xt+t。求出t+t瞬时的位移xt+t后，代入式(7.3-6)就可获得。而后在式(7.3-1)中取=t，并将式(7.3-6)代入，有,(7.3-13),(7.3-14),(7.3-15),本方法的物理意义是：假定加速度在时刻tt+t内为线性变化，首先计算t,tt区间的近似解，但仅取其中前半部分(到时刻tt)作为正式的近似解而舍去后半部分(时刻tt以后)。这种巧妙的处理并非出于物理的原因，而主要是数学的(计算技术的)理由。,在Wilson-中，只要值取1.37以上，不管t取怎样的值都是稳定的(即这种算法是无条件稳定的)。实际上，最好不要太大，否则精度会下降(截断误差增加)。因此，Wilson推荐的合理值为1.4。,表7.3-1Wilson-法的计算机实施格式,Wilson-是一种隐式积分方法，即每计算一步，必须解一个线性代数方程组。此外，Wilson-算法是自起步的，tt时刻的位移，速度和加速度都可由t时刻的变量表示，不需要特别的起动技术。,纽马克-(Newmark-)法同样也是假定在时间间隔t,tt内加速度呈线性变化，它的基本假定为,7.4纽马克-法,式中和为按积分的精度和稳定性要求可以调整的参数，研究表明，当1/2，1/4(1/2+)2时，Newmark-法是无条件稳定的。,(7.4-1),(7.4-2),Newmark-法每步积分应满足tt时刻的动力方程,根据式(7.4-1)和式(7.4-2)可给出和用xt+t和表示的表达式，即,(7.4-4),(7.4-5),(7.4-3),代入方程式(7.4-3)，就得到关于xt+t的方程为,式中,求解方程(7.4-6)就可得到xt+t，然后根据式(7.4-4)和式(7.4