振动力学4多自由度系统振动之一动力学方程

多自由度系统振动,主讲：周利东太原科技大学机械工程学院2010-10-26,建模方法1：,将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼,要求：对轿车的上下振动进行动力学建模,例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动,缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响,优点：模型简单,分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合,多自由度系统振动,建模方法2：,车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼,优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合,缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响,多自由度系统振动,建模方法3：,车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼,优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确,问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？,多自由度系统振动,教学内容,多自由度系统的动力学方程多自由度系统的自由振动频率方程的零根和重根情形多自由度系统的受迫振动有阻尼的多自由度系统,多自由度系统振动,作用力方程刚度矩阵和质量矩阵位移方程和柔度矩阵质量矩阵和刚度矩阵的正定性质耦合与坐标变换,多自由度系统的动力学方程,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,作用力方程,先看几个例子,例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力,不计摩擦和其他形式的阻尼,试建立系统的运动微分方程,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,解：,建立坐标：,设某一瞬时：,上分别有位移,加速度,受力分析：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,建立方程：,矩阵形式：,力量纲,坐标间的耦合项,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,例2：转动运动,两圆盘,转动惯量,轴的三个段的扭转刚度,试建立系统的运动微分方程,外力矩,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,解：,建立坐标：,角位移,设某一瞬时：,角加速度,受力分析：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,建立方程：,矩阵形式：,坐标间的耦合项,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同,如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。,k3,k1,k2,P1(t),P2(t),多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,小结：,可统一表示为：,例1：,例2：,作用力方程,位移向量,加速度向量,质量矩阵,刚度矩阵,激励力向量,若系统有n个自由度，则各项皆为n维,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,刚度矩阵和质量矩阵,当M、K确定后，系统动力方程可完全确定,M、K该如何确定？,作用力方程：,先讨论K,加速度为零,则：,假设外力是以准静态方式施加于系统,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,作用力方程：,假设作用于系统的是这样一组外力，它们使系统只在第j个坐标上产生单位位移，而在其他各个坐标上不产生位移,即：,代入，有：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,所施加的这组外力数值上正是刚度矩阵K的第j列,（i=1n）：在第i个坐标上施加的力,结论：刚度矩阵K中的元素kij是使系统仅在第j个坐标上产生单位位移而相应于第i个坐标上所需施加的力,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,作用力方程：,讨论M,假设系统受到外力作用的瞬时，只产生加速度而不产生任何位移,即：X=0,则有：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,使系统只在第j个坐标上产生单位加速度，而在其他坐标上不产生加速度所施加的一组外力，正是质量矩阵M的第j列,结论：质量矩阵M中的元素是使系统仅在第j个坐标上产生单位加速度而相应于第i个坐标上所需施加的力,又分别称为质量影响系数和刚度影响系数。根据它们的物理意义可以直接写出矩阵M和K，从而建立作用力方程，这种方法称为影响系数方法。,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,例：写出M、K及运动微分方程,解：,先只考虑静态,令,令,令,刚度矩阵：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,只考虑动态,令,有：,令,有：,令,有：,质量矩阵：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,运动微分方程：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,例：,每杆质量m,杆长度l,水平弹簧刚度k,弹簧距离固定端a,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,解：,令：,则需要在两杆上施加力矩,分别对两杆O1、O2求矩：,令：,则需要在两杆上施加力矩,分别对两杆O1、O2求矩：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,刚度矩阵：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,令：,则需要在两杆上施加力矩,令：,则需要在两杆上施加力矩,质量矩阵：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,运动学方程：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,例：两自由度系统,摆长l，无质量，微摆动,求：运动微分方程,x,m1,k1,k2,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,解：,先求解刚度矩阵,令：,令：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,刚度矩阵：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,求解质量矩阵,令：,令：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,质量矩阵：,刚度矩阵：,运动微分方程：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,位移方程和柔度矩阵,对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过刚度矩阵建立作用力方程来得更方便些。,柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形,物理意义及量纲与刚度恰好相反,以一个例子说明位移方程的建立,无质量弹性梁，有若干集中质量,（质量连续分布的弹性梁的简化）,以准静态方式作用在梁上,梁只产生位移（即挠度），不产生加速度,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,m1位移：,m2位移：,m1位移：,m2位移：,m1位移：,m2位移：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,同时作用时：,矩阵形式：,其中：,柔度矩阵,物理意义：系统仅在第j个坐标受到单位力作用时相应于第i个坐标上产生的位移,柔度影响系数,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,当是动载荷时,集中质量上有惯性力存在,位移方程,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,位移方程：,又可：,作用力方程：,若K非奇异,柔度矩阵与刚度矩阵的关系：,或：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统），柔度矩阵不存在,应当注意：,位移方程不适用于具有刚体自由度的系统,原因：在任意一个坐标上施加单位力，系统将产生刚体运动而无法计算各个坐标上的位移,刚度矩阵K奇异,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,例：求图示两自由度简支梁横向振动的位移方程,已知梁的抗弯刚度矩阵为,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,由材料力学知，,当B点作用有单位力时，A点的挠度为：,柔度影响系数：,柔度矩阵：,位移方程：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,例：教材P72例4.1-2，求柔度阵,（1）在坐标x1上对质量m1作用单位力,系统在坐标x1、x2、x3上产生位移为:,解：,（2）在坐标x2上对质量m2作用单位力,（3）在坐标x3上对质量m3作用单位力,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,因此：,可以验证，有：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,n阶方阵A正定,是指对于任意的n维列向量y，总有成立,根据分析力学的结论，对于定常约束系统：,动能：,势能：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,n阶方阵A正定,是指对于任意的n维列向量y，总有成立,动能：,除非,即：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,质量矩阵和刚度矩阵的正定性质,n阶方阵A正定,是指对于任意的n维列向量y，总有成立,势能：,对于仅具有稳定平衡位置的系统，势能在平衡位置上取极小值,K正定,K0,对于具有随遇平衡位置的系统，存在刚体位移,K半正定,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,振动问题中主要讨论K阵正定的系统及K阵半正定的系统，前者称为正定振动系统，后者称为半正定振动系统,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,耦合与坐标变换,矩阵中非零的非对角元元素称为耦合项,质量矩阵中出现耦合项称为惯性耦合,刚度矩阵或柔度矩阵中出现耦合项称为弹性耦合,以两自由度系统为例,不存在惯性耦合,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,如果系统仅在第一个坐标上产生加速度,可见，不出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度只在该坐标上引起惯性力；而出现惯性耦合时，一个坐标上产生的加速度还会在别的坐标上引起惯性力,同样道理，不出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移只在该坐标上引起弹性恢复力；而出现弹性耦合时，一个坐标上产生的位移还会在别的坐标上引起弹性恢复力,耦合的表现形式取决于坐标的选择,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,例：研究汽车上下振动和俯仰振动的力学模型,表示车体的刚性杆AB的质量为m，杆绕质心C的转动惯量为Ic,悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为k1和k2的两个弹簧来表示,写出车体微振动的微分方程,选取D点的垂直位移和绕D点的角位移为坐标,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,简化形式,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,车体所受外力可以向D点简化为合力PD和合力矩MD,由于微振动，杆质心的垂直位移、杆绕质心的角位移：,首先采用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程,系统的动能：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,系统的动能：,系统的势能：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,n自由度系统的拉格朗日方程：,：广义坐标,：拉格朗日函数,：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力,计算广义力Q1和Q2,设在坐标xD上有虚位移,非有势力做功,因此,非有势力做功,因此,设在坐标上有虚位移,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,代入拉格朗日方程，得：,矩阵形式：,存在惯性耦合,存在弹性耦合,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,采用振动力学方法求解,首先求刚度矩阵,令：,对D点取矩：,力平衡：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,令：,对D点取矩：,力平衡：,刚度矩阵：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,求质量矩阵,令：,质心C所受的惯性力：,力平衡：,力矩平衡：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,令：,质心C所受的惯性力矩：,力平衡：,对D点取矩：,质心C所受的惯性力：,质量矩阵：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,质量矩阵,刚度矩阵,运动微分方程,和前面采用拉格朗日方程建立的系统运动微分方程一致,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,如果D点选在这样一个特殊位置，使得：,只存在惯性耦合，而不出现弹性耦合,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,如果D点选在质心C：,只存在弹性耦合，而不出现惯性耦合,：作用在质心上的外力合力和合力矩,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,问：能否找到这样一种坐标使得系统的运动微分方程既不出现惯性耦合，也不出现弹性耦合？,即：,若能够，则有：,方程解耦，变成了两个单自由度问题,使系统运动微分方程的全部耦合项全部解耦的坐标称为主坐标,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,讨论：能对同一个系统选取两个不同的坐标，它们所描述的运动微分方程之间有着怎样的联系？,选取D点的垂直位移及角位移作为坐标,选取质心C点的垂直位移及角位移作为坐标,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,令：,令：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,D点和C点的坐标之间的关系：,写成矩阵形式：,坐标变换矩阵,和的关系,在C点加一对大小相等、方向相反的力,得：,写成矩阵形式：,T非奇异，因此：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,得：,验证：,多自由度系统振动/多自由度系统的动力学方程,结论：,假设对同一个系统所选择的两种不同的坐标X和Y有如下的变换关系：,其中T是非奇异矩阵，如果在坐标X下系统的运动微分方程为：,那么在坐标Y下的运动微分方程为：,如