常微分方程第6次课

常微分方程第二章初等积分法(4)主讲人：刘祚秋副教授,一已知曲线族的等角轨线族,2.6应用举例,求曲线族：,使,中任意一条曲线与,的所有曲线的夹角为恒定值。,，称这样的曲线族（2）,为已知曲线族（1）的等角轨线族。,1、基本概念已知曲线族：,当,时，称曲线族（2）为（1）的正交轨线族,，,，,2已知曲线族的微分方程,消去上式中的C，既得相应微分方程：,由,再利用,其中,是由,决定的函数,（4）,方程（4）在点,的线素斜率记为,，而把与它相交成,角的线素斜率记为,。,当,时，有,从而等角轨线的微分方程为,3等角轨线族的微分方程,由三角公式：,得：,当,时，有,，,即所求正交轨线的微分方程为,（6）,注意，在方程（4），（5）与（6）中的函数,是相同的。,（5）,求解微分方程（5）（或（6），就可以得到（1）的等角轨线族（或正交轨线族）（2）。需要注意的是，在推导方程（4）时，,。,这样，由,可以决定y是x的单值函数。,而,则可决定x是y的函数。然后进行类似推导。,若,将微分方程(4),(5)和(6)改变为对称形式，就不必区分上述两种情形。,应有,等角轨线族不仅在数学本身有用（例如当,它们可以取为坐标系），而且在某些物理与力学问题中也有用，例如静电场中的电力线与等势线就是互相正交的曲线族。作为一个例子，设电力线族的方程为,（K为参数），这是一个抛物线族,时，,从联立方程,（7）,中消去,，得到一个对称形式的微分方程,。因此，,与之正交的曲线族的微分方程为,，它的通积分为,。这就是所求的等势线族（同心椭圆族）。,二人口增长模型,用,表示某地区在时间,的人口总数,记,为人口增长率（出生率与死亡率之差）。,由于在,时间内的平均增长率为,，其中,为人口的增量，所以,即,（8）,这就是人口总数N所满足的微分方程。马尔萨斯人口模型：假设r为常数,初值问题,（9）,的解为,（10）,人口是按指数曲线增长的，显然不符合实际。修正模型：,（11）,假设,其中正数a和b称为生命系数。一些生态学家测得a的自值为0.029，而b的值则取决于各地区社会经济条件。方程（8）修正为,（12）,这是一个变量分离的方程。初值问题：,（13）,的解为,（14）,美国和法国曾用这个公式预报过人口的变化，结果与实际十分吻合；而比利时则不甚符合，原因是当时比利时向刚果进行着大量移民。至于我国，见书里P57，即取,t01979，,N0=9.7092*108,r0=0.0145,则由（11）式可得,利用公式（14）可以对我国大陆地区的人口总数作出估算。,（15）,食饵（甲）数量y(t),捕食者（乙）数量x(t),甲独立生存的增长率,乙使甲的增长率减小，减小量与x成正比,乙独立生存的死亡率,甲使乙的死亡率减小，减小量与y成正比,食饵-捕食者模型(Volterra),捕食者掠取食饵能力,食饵供养捕食者能力,作业,P62习题2-61(2,4),2(1,2),6,常微分方程第三章存在性和唯一性定理(1)主讲人：刘祚秋,问题的提出？,前面一章介绍了能用初等积分方法求解的一阶微分方程的几种类型，同时指出大量的一阶微分方程不能用初等积分方法求解；实际问题往往是要求满足某种初值条件的解，因此注意力集中在Cauchy问题上；解决办法：数值方法求解，但数值方法求解之前要解决两个基本问题-解的存在性和唯一性,22,需解决的问题,30存在、唯一，如何求近似解及估计误差？,40怎样求数值解？,需解决的问题,3.1解的存在性及唯一性定理与逐步逼近法,一存在性及唯一性定理,1定理考虑初值问题,证明思路,(2)构造(3.5)近似解函数列,(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法),这是为了,即,下面分五个命题来证明定理,为此先给出,积分方程的解,如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程.,积分方程,命题1初值问题(3.1)等价于积分方程,证明:,即,反之,故对上式两边求导,得,且,构造Picard逐步逼近函数列,问题:这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分是否有意义?,注,命题2,证明:(用数学归纳法),命题3,证明:,考虑函数项级数,它的前n项部分和为,对级数(3.9)的通项进行估计,于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有,现设,命题4,证明:,即,命题5,证明:,由,综合命题15得到存在唯一性定理的证明.,2存在唯一性定理的说明,三近似计算和误差估计,求方程近似解的方法-Picard逐步逼近法,这里,注:上式证明过程可见命题3,解,由于,由(3.19),解,解,与初值问题等价的积分方程为,其迭代序列分别为,取极限得,即初值问题的解为,作业,P71：2,常微分方程第三章存在和唯一性定理(2),3.2解的延拓,问题提出,对于初值问题,例如初值问题,正因为如此，上节所介绍的存在唯一性定理也叫解的局部存在唯一性定理。这种局部性使我们感到非常不满意，而且实际上也要求解的存在区间尽量扩大。这样就需要讨论解延拓的问题。为此先给出下列定义：,1饱和解及饱和区间,定义1,2局部李普希茨(Lipschitz)条件,定义2,对定义2也可如下定义,注,3解的延拓定理,定理,证明,定义函数,以上这种把曲线向左右两方延拓的步骤可一次一次地进行下去.直到无法延拓为止.,它已经不能向左右两方继续延拓的,即得到了(3.1)的饱和解.,最后得到一条长长的积分曲线,推论1,则它的任一非饱和解均可延拓为饱和解.,推论2,证明,推论3,例1讨论方程,解,该方程右侧函数确定在整个xy平面上且满足解的存在唯一性定理及解的延拓定理条件.其解为,例2,解,注,作业,1研究方程,常微分方程第五章高阶微分方程,74,理解高阶齐次线性方程解的性质和解的结构,理解高阶非齐次线性方程解的性质和解的结构,要求,75,高阶线性微分方程的解是否存在？,非齐与齐次方程解有何关系？,如何求非齐方程的解？,齐次方程的解有何特点？,齐次方程通解如何表达？,齐次线性微分方程,非齐次线性微分方程,一、解的存在唯一性定理,1n阶线性微分方程,定义1,5.1线性微分方程的一般理论,2解的存在唯一性定理,定理1,二、齐次线性方程的解的性质和结构,定理2,1叠加原理,证明:,故有,解:,定义2,2朗斯基(Wronsky)行列式,3函数的线性相关性与其Wronsky行列式的关系,(1)定理3,证明:,使得,由线性代数理论知,要使方程组存在非零解,则它的系数行列式必为零,注,定理3的逆定理不成立.,如函数,事实上,若有恒等式,则,推论,(2)定理4,证明:,“反证”,现以这组常数构造函数,由定理2知,又因为,由解的唯一性定理知,由定理4易得下面结论,推论1,推论2,由定理1知,方程(2)满足初始条件,又因为,由此得定理5,4齐线性方程线性无关解的存在性,定理5,5通解的结构,(1)定理6,证明:,首先,由叠加原理可知，式(4)是(2)的解,它包含有n个任意常数,又因为,故式(4)为(2)的通解.,考虑方程组,以这组常数构造,由解的唯一性定理得:,即,(2)推论,(3)基本解组:,注:,基本解组不是唯一的.,例1,因而有,证明:,由于,微分上述行列式,得,这时行列式最后一行的元素是,则,即,从而,所以,故,刘维尔公式,解:,由刘维尔公式得,由此可得,则,就是二阶方程的另一解,又因为,从而通解为,解:,由上面导出的二阶方程的通解公式可得,三、非齐次线性方程与常数变易法,非齐次线性微分方程,对应齐次线性微分方程,1非齐次线性微分方程解的性质,性质1,证明:,因为,两式相加得：,性质2,证明:,则,两式相减有：,2通解的结构,定理7,证明:,这些任意常数是相互独立的,式(3)为方程(1)的解,类似于定理6的证明过程易知,由性质1知,故方程(3)为方程(1)的通解.,它是方程(2)的解,105,高阶线性微分方程的解是否存在？,非齐与齐次方程解有何关系？,如何求非齐方程的通解？,非齐次线性微分方程,非齐通解=齐次通解+非齐特解,回顾常数变易法：,对于方程(1)的任一解，由性质2知,必为方程（2）的解，再由定理6知式（3）包含了方程（1）的全部解,3常数变易法,则,为方程(2)的通解.,此时式(4)变为,将它代入方程(1),在理论上,这些另加条件可以任意给出,但为了运算方便,我们按下面方法来给出这n-1个条件,令,得,和表达式,继续上面做法,直到获得第n-1个条件,和表达式,因而方程组的解可唯一确定,设由上面方程求得,积分得,注:,例3,解:,利用常数变易法,令,解得,因此,故通解为,例4,解:,对应的齐次线性方程为:,将该齐次方程改写成:,积分得:,所以,故方程有基本解组:,将原方程改写成:,解得,因此,故原方程的通解为,作业：1.指出下列方程的求解思路（只需把该方程化为一个可求解的类型，如可分离变量的形式、一阶线性方程、贝努里方程等）,2.已知齐次线性微分方程的的基本解组x1,x2，求下列方程对应的非齐次线性微分方程的通解,117,高阶线性微分方程的解是否存在？,非齐与齐次方程解有何关系？,如何求非齐方程的解？,齐次方程的解有何特点？,齐次方程通解如何表达？,齐次线性微分方程,非齐次线性微分方程,118,Ax=0,非零解,零解,|A|0,|A|=0,线性相关,构造关于c的方程组系数为W(t),119,高阶线性微分方程的解是否存在？,叠加原理线性相关，线性无关朗斯基行列式解线性无关充要条件,齐次方程的解有何特点？,齐次方程通解如何表达？,齐次线性微分方程,120,高阶线性微分方程的解是否存在？,存在n个线性无关解基本解组标准基本解组,齐次方程的解有何特点？,齐次方程通解如何表达？,齐次线性微分方程,121,高阶线性微分方程的解是否存在？,非齐与齐次方程解有何关系？,如何求非齐方程的通解？,非齐次线性微分方程,非齐通解=齐次通解+非齐特解,常微分方程第五章高阶微分方程,5.2常系数线性方程的解法,一、复值函数与复值解,1复值函数,复函数的求导法则与实函数求导法则相同,2复指数函数,欧拉公式:,性质:,定义,3复值解,(1)定义:,(2)定理8,(3)定理9,若方程,和,的解.,二、常系数齐次线性方程和欧拉方程,1常系数齐次线性方程的求解方法(Euler待定系数法),考虑方程,称(3)为n阶常系数齐次线性方程.,我们知道,一阶常系数齐次线性方程,有解,受此启发,对(3)偿试求指数函数形式的解,把它代入方程(3)得,的根,方程(5)称为方程(3)的特征方程,它的根为方程(3)的特征根.,(1)特征根是单根的情形,由于,故解组(6)线性无关.,则因方程的系数为实常数,复根将成对共轭出现,相应方程(3)有两个复值解,由定理8知,它的实部和虚部也是方程的解,这样,对方程的一对共轭复根:,由此求得(3)的两个实值解为,(2)特征根是重根的情形,而对应方程(3)变为,于是方程(3)化为,方程(7)相应特征方程为,直接计算易得,因此,这样就把问题转化为前面讨论过的情形(a).,可以证明(9)和(10)构成方程(3)的基本解组（只须证明这些函数线性无关即可），证明略。,对特征方程有复根的情况:,如同单根时那样,我们也可以,(3)求方程(3)通解的步骤,第一步:,第二步:,计算方程(3)相应的解,第三步:,例1,解,特征方程为,有根,因此有解,故通解为,例2,解,特征方程为,有根,有两个实根和两个复根,均是单根,故方程的通解为,例3,解,特征方程为,有根,故方程的通解为,例4,解,特征方程为,即有特征根,故方程的通解为,即有实值解,2欧拉(Euler)方程,形如,的方程,称为欧拉方程.,(1)引进变换,由归纳法原理可知,将上述关系式代入(11),得常系数齐线性方程.,因而可以用上述方法求出(12)的通解,再代回原来的变量就可得到方程(11)的通解.,(2)(12)是常系数齐次线性微分方程,因此可直接求欧拉方程的,则(13)正好是(12)的特征方程,例5,解,上面代数方程的根为,故方程的通解为:,解,上面方程是弹性力学平面问题中一个典型方程，它可化为欧拉方程。但求解时不必化为欧拉方程的一般形式。,例6,三、常系数非齐线性方程的解法,(一)比较系数法,1类型I:,即通解为,即,这时相应地方程(14)将为,2类型II:,例7,解,对应齐次方程特征根为,故该方程的特解形式为,比较系数得,即,因此原方程的通解为,例8,解,对应齐次方程特征根为,故该方程的特解形式为,从而,于是,因此原方程的通解为,解,对应齐次方程特征方程为,故该方程有形状为,比较系数得,因此原方程的通解为,例9,有三重特征根,3类型III:,根据非齐次方程的叠加原理可知,方程,与,因此,直接应类型II的结果可知,方程有如下形式的特解,解,对应齐次方程的特征方程为,故该方程有形状为,故原方程的通解为,例10,有二个根,注:类型III的特殊情形,可用更简便的方法-,复数法求解,例12,解,对应齐次方程的特征方程为,有二重特征根,为了求非齐线性方程的一个特解,故该方程有形状为,故原方程的通解为,先求方程,的特解,属类型II,从而,分出它的实部,故,P20610（4,5）;2,3,求方程：4，求方程：,常微分方程第六章线性微分方程组,6.1线性微分方程组的一般理论,一阶线性微分方程组:,称式(2)为一阶齐次线性微分方程组.,非齐次线性微分方程组,(1),则式（1）变为,(2),称式（1）为,一齐次线性微分方程组,1叠加原理,定理1,证明:,则有,所以,如果,是方程（2）的m个解,则它们的线性组合,也是方程,(2)的解，这里,是任意常数。,由于,是方程（2）的m个解,2函数向量组线性相关与线性无关,定义设,是一组定义在区间a,b上,的函数列向量，如果存在一组不,全为零的常数,使得对所有,，有恒等式,则称,在区间a,b上线性相关；,否则就称这组向量函数在区间a,b上线性无关。,证明:,证明:,要使,则需,因为,所以,故,线性无关.,3函数向量组线性相关与无关的判别准则,(1)Wronsky行列式,由这n个向量函数所构成的行列式,称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式,(2)定理2,证明:,(3)定理3,证明:,“反证法”,则,现在考虑函数向量,由定理1知,如果（2）的解,线性无关，,则它们的Wronsky行列式,由(3)知,因此,由解的存在唯一性定理知,即有,矛盾,注1:,注2:,(4)定理4,一阶微分方程组(2)一定存在n个线性无关的解.,证明:,由解的存在唯一性定理知,(2)一定存在满足初始条件,且,4通解结构及基本解组,定理5,证明:,由已知条件,又因为,即它们构成n维线性空间的基,现在考虑函数向量,由定理1知,由(4)知,因此,由解的存在唯一性定理,应有,即,推论1,(2)的线性无关解的最大个数等于n。,基本解组:,一个基本解组。,注1:,齐次微分方程组(2)的基本解组不唯一。,注2:,齐次微分方程组(2)的所有解的集合构成一个n维线性空间。,注3:,由n阶线性微分方程的初值问题与线性微分方程组的初值问题的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去。,推论2,5解矩阵与基解矩阵及性质,(1)定义,则称这个矩阵为齐次微分方程组(2)的解矩阵。,则称该解矩阵为(2)的基解矩阵。,基解矩阵,以基本解组为列构成的矩阵。,注:,这里C是确定的N维向量空间,解:,由于,又由于,证明:,证明:,于是有,由此可得,即有,解:,又由于,其通解为,二非齐次线性微分方程组,1非齐线性微分方程组解的性质,性质1,性质2,性质3,2通解结构定理,定理6,这里C是确定的常数列向量。,证明:,由性质2知,即,这里C是确定的常数列向量。,3常数变易公式,则(2)的通解为,其中C是任意的常数列向量,下面寻求(1)形如,的解,把(7)代入(1),得,(1)一阶线性微分方程组的常数变易公式,从而,反之,可验证(8)是方程组(1)满足初始条件,的特解。,因此,(7)变为,定理7,向量函数,是(1)的解,且满足初始条件,方程组(1)的通解为,注1:,注2:,公式(8)或(9)称为(1)的常数变易公式。,解:,由例4知,是对应齐次方程的基解矩阵,由(8)得方程的特解为,所以,原方程的通解为,解:,由例3知,是对应齐次方程的基解矩阵,(2)n阶线性微分方程的常数变易公式,则线性微分方组的初值问题的基本解组为,从而其基解矩阵为,推论3,的基本解组,那么非齐线性方程,的满足初始条件,解为,公式(13)称为(12)的常数变易公式.,方程(12)的通解可表为,但是,而通解是,解:,易知对应齐线性方程的基本解组为,由(15)求方程的一个解,这时,故,所以,也是原方程的一个解。,210,作业：,1.对非齐次线性方程组,(1)试验证,是齐次方程的基解矩阵；,(2)试求非齐次方程满足初值条件,的解(t)。,6.1线性微分方程组解的存在唯一性定理,掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系理解线性微分方程组解的存在唯一性定理掌握解的逐次逼近序列的构造方法,本节要求,一阶线性微分方程组,(6.1),1.记号与定义,.(6.2),(6.3),.(6.4),矩阵形式,可定义矩阵与向量函数,在区间,连续:,连续。,在区间,可微:,可微。,在区间,几个概念,可积:,可积。,在区间,性质：,上的连续维向量，方程组,上连续且满足,定义1,设,是区间,上的连续,矩阵，,是区间,.(6.4),在某区间,的解就是向量,在区间,定义2,初值问题(CauchyProblem),.(6.5),的解就是方程组(6.4)在包含,使得,例1验证向量,是初值问题,在区间,上的解。,解,因此是给定初值问题的解。,n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系,引例,令,解,化成一阶方程组,等价！,满足,解,构造向量,2.n阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价,以2阶为例,解,满足,2阶线性微分方程与一阶线性微分方程组等价,令,同理，有,(6.6),等价,(6.7),例2,令,将初值问题,化为与之等价的一阶方程组的初值问题。,解,练习,将下列问题化为与之等价的一阶方程组,例3,将下列方程组化为高阶方程,解,令,则,故,注意：不是所有方程组都可化为高阶方程！,将下列方程组化为高阶方程,不可以,3.存在唯一性定理,初值问题(CauchyProblem),.(6.5),定理1,f(t)是n维列向量，,上连续，则对于区间,上的任何数,及任一常数向量,方程组(6.5)存在唯一解,定义于整个区间,上，且满足初始条件,如果,矩阵，,它们都在区间,线性微分方程组解的存在唯一性证明与一阶微分方程解的存在唯一性证明相仿！,等价积分方程,构造解函数列,极限是连续、唯一解,函数列收敛于一极限,现取,，构造皮卡逐步逼近向量函数序列：,向量函数,称为(6.4)的第k次近似解。,4.构造法求解,例4,求方程组的初值问题,的二次近似解。,解,令,二次近似解!,作业:1.将下列高阶微分方程化为一阶微分方程组并求其通解.,(1),(2),2.使用逐步逼近法求下列方程组满足初值条件的第三次近似解.,239,拉普拉斯变换法/LaplaceTransform/,240,拉普拉斯变换,含义：简称拉氏变换从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换用途与优点对一个实变量函数作拉氏变换，并在复数域中进行运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域计算容易得多。应用：求解线性微分方程在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合,241,拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路：对常微分方程进行拉氏变换法，得代数方程，求解再反变换获取原方程的解,问题：1.什么是拉氏变换2.拉氏变换的基本性质3.什么是拉氏逆变换4.如何用拉氏变换求解微分方程,242,若,1拉普拉斯变换定义(简称拉氏变换),对于在,上有定义的函数,对于已给的S（一般为复数）存在，则称,为函数,的拉普拉斯变换，记为,f(t)称为LaplaceTransform的原函数，F(s)称为f(t)的象函数.,243,拉普拉斯变换法存在性,244,例1,当,即,拉普拉斯变换实例,245,例2(是给定的实数或复数),246,常用函数拉氏变换表利用拉氏变换进行计算时，可直接查变换表得结果,247,2拉普拉斯变换的基本性质,1线性性质,如果,是原函数,和,是任意两个常数(可以是复数)，则有,248,2原函数的微分性质,如果,都是原函数，则有,或,249,3象函数的微分性质,250,3拉普拉斯逆变换,已知象函数，求原函数,也具有线性性质,251,由线性性质可得,如果,的拉普拉斯变换,可分解为,并假定的拉普拉斯变换容易求得，即,则,252,例3求的Laplace反变换,解,拉普拉斯逆变换实例,253,例4求,的Laplace反变换,解,254,4拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解),步骤：,255,4拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解),为常数,令,256,给(4.32)两端施行LaplaceTransform,257,解令,例5,满足初始条件,求,的特解,用拉氏变换求微分方程实例,258,令,例6求,满足初始条件,的特解,解,259,260,例7求,满足初始条件,的特解,令,解,261,作业求下列初值问题的解：,常微分方程第六章线性微分方程组,6.2常系数线性方程组,一阶常系数线性微分方程组:,本节主要讨论(6.33)的基解矩阵的求法（一）。,1expAt的定义,定义,注1:,矩阵级数(6.34)是收敛的.,由于,而数项级数,收敛.,注2:,级数,在t的任何有限区间上是一致收敛的.,由于,而数项级数,收敛.,2矩阵指数的性质,3常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵,(1)定理,矩阵,是(6.33)的基解矩阵,且,证明:,又因为,解,由(6.34)得,例2,解,因为,而后面两个矩阵是可交换的,故,(2)基解矩阵的一种求法,则,其中,注1:,定理(Jordan标准型