数学分析第一章课件

主讲：杜毅副教授联系方式：duyidy,数学分析,第一章实数集与函数,1实数,2数集确界原理,3函数的概念,4复合函数与反函数,1.1实数,一.实数及其性质,二.绝对值与不等式,记号与术语,一.实数及其性质：,1.回顾中学中关于有理数和无理数的定义.,2.两个实数的大小关系,定义2设,为实数x的n位不足近似，而有理数,称为x的n位过剩近似，n=0,1,2,.,为非负实数.,称有理数,命题1设,为两个实数，则,说明：任何两个不相等实数（无论它们之差是多小），总能在其间插入一个实数,（1）实数的四则运算,实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）亦是,有理数集Q对加、减、乘、除（除数不为0）是,封闭的.,封闭的.,实数的性质,三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立.,即大小关系具有传递性.,（4）实数的阿基米德性,（5）实数的稠密性,数又有无理数.,（6）实数与数轴上的点一一对应,实数集R与数轴上的点可建立一一对应关系.,例1,证,二.绝对值与不等式,绝对值定义：,绝对值的一些主要性质*,推论,几个重要不等式:,均值不等式:,(算术平均值),(几何平均值),(调和平均值),有平均值不等式:,等号当且仅当时成立.,Bernoulli不等式:,1.2数集确界原理,一、区间与邻域二、上确界、下确界,记号与术语,一、区间与邻域,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,数集分类:,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数集,R-实数集,数集间的关系:,例如,不含任何元素的集合称为空集.,例如,规定,空集为任何集合的子集.,2.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,称为半开区间,称为半开区间,有限区间,无限区间,区间长度的定义:,两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.,3.邻域:,二有界集确界原理,1有（无）界数集:定义(上、下有界,有界)数集S有上界数集S无上界数集S有下界数集S无下界数集S有界数集S无界,2确界:,直观定义:若数集S有上界，则它有无穷多个上界，其中最小的一个上界称为数集S的上确界,同样，有下界数集S最大的一个下界称为数集S的下确界,确界的精确定义,例3设数集S有上确界.证明,例4,证:,故有确界原理知,数集A有上确界,数集B有下确界.,是数集A的一个上界,而由上确界的定义知,由假设,数集B中任一数都是数集A的上界,A中任一数都是B的下界,是数集A的最小上界,故有,而此式又表明数是数集B的一个下界,故由下确界的定义证得,例5,为非空数集,试证明:,证:,有,或,由,和,分别是,的下界,有,或,即,是数集,的下界,和,3.数集与确界的关系:确界不一定属于原集合.请举例？,4.确界与最值的关系:设E为数集.E的最值必属于E,但确界未必,确界是一种临界点.非空有界数集必有确界(见下面的确界原理),但未必有最值.若存在,必有对下确界有类似的结论.,5确界原理定理1(确界原理).设E为非空数集，若E有上界，则E必有上确界；若E有下界，则E必有下确界。,证明略.,请注意：任何理论都有一个前提基础，极限引入也需要在一个基础上得到，本教材的极限基础便是确界存在定理。,设A,B为非空有限数集,.证明:,例6,证:,故得,所以,综上,即证得,例7证明实数空间满足阿基米德原理.,证明,假设结论不成立，即,1.3函数的一般概念,映射函数的概念几个特殊的函数举例函数的性质,一、映射,定义1：,设X与Y是两个非空集合，若对X,中的每一个元素x，均可找到Y中唯一确定的,元素y与之对应，则称这个对应是集合X到集合,Y的一个映射，记为f，或者更详细地写,将x的对应元y记作,1.映射的概念,并称y为映射f下x的像，而x称为映射f下y的原像(或称为逆像).,集合X称为映射f的定义域，,记作,，而X的所有元素的像f(x)的集合,称为映射f的值域，记为,概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素：,有唯一确定的y=f(x)与之对应.,需要指出的是：,（1）映射要求元素的像必须是唯一的.,（2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的.,定义2：,设f是集合X到集合Y的一个映射，,若f的逆像也是唯一的，即对X中的任意两个不同元素x1x2，它们的像y1与y2也满足y1y2，则称f为单射；,如果映射f满足Rf=Y，则称f为满射；,如果映射f既是单射，又是满射，则称f为双射（又称一一对应）.,2.一一对应,3.逆映射,逆映射：,如果映射f既是单射，又是满射，则,逆映射，,二、函数概念函数是数学分析中最基本的研究对象,可以说数学分析就是研究函数的.因此我们对函数的概念以及常见的一些函数应有一个清楚的认识.,因变量,自变量,D称为定义域，记作Df，即Df=D.,函数值的全体构成的数集称为值域，记为：,对应法则f,函数的两要素:,定义域与对应法则.,自变量,因变量,约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,定义:,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数,表示函数的主要方法有三种:列表法、图形法、解析法(公式法).用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的,函数的表示法,单值函数与多值函数在函数的定义中,对每个xD,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个xD,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.,例如,由方程x2y2r2确定的函数是一个多值函数:,此多值函数附加条件“y0”后可得到一个单值分支,此函数称为绝对值函数,其定义域为D=(-,+),其值域为Rf=0,+).,(2),(1)常值函数y=c.其定义域为D=(-,+),其值域为Rf=c.,三、几个特殊的函数举例,(3)符号函数,其定义域为D=(-,+),其值域为Rf=-1,0,1.,(4)取整函数y=xx表示不超过的最大整数,阶梯曲线,其定义域为D=(-,+),其值域为=Z.,（5）“非负小数部分”函数,它的定义域是,(6)狄利克雷函数,其定义域为D=(-,+),其值域为=0,1.,(7)黎曼函数,(8)取最值函数,y,x,o,x,o,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.,分段函数,课后练习（一）,解答,故,四：复合函数、反函数、初等函数,二.反函数,三.初等函数,四.双曲函数与反双曲函数,一.复合函数,一、复合函数,在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较简单的函数“叠置”而成的，如在简谐振动中位移y与时间t的函数关系,就是由三角函数,和线性函数,“叠置”而成的，,定义:,注意:,1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,复合条件,复合函数的定义域,复合条件在实际应用时常取形式,内层函数的值域落在外层函数的定义域之内,2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,二、反函数,反函数.,的反函数，记为,反函数的定义域和值域恰为原函数的值域和定义域,显然有,(恒等变换）,(恒等变换),。,这样直接函数与反函数的图形关于直线对称.,从方程角度看，函数和反函数没什么区别，作为函数，习惯上我们还是把反函数记为.,严格单调函数是1-1对应的，所以严格单调函数有反函数。但1-1对应的函数（有反函数）不一定是严格单调的，看下面例子,它的反函数即为它自己.,实际求反函数问题可分为二步进行：(1).确定,的定义域,和值域,，考虑1-1对应条件。固定,，解方程,得出,。(2).按习惯，自变量,、因变量,互换，得,.,三初等函数,、基本初等函数,（1）.幂函数,（2）.指数函数,（3）.对数函数,(4)三角函数,周期为2p的周期函数,有界函数|sinx|1,特殊值：,周期为2p的周期函数,有界函数|cosx|1,特殊值：,周期为p的周期函数,无界函数：,渐进线：,特殊值：,周期为p的周期函数,无界函数：,渐进线：,特殊值：,正割函数,余割函数,(5)反三角函数的图象,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,2.初等函数,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,例3,解,综上所述,四、双曲函数与反双曲函数*,1.双曲函数,奇函数.,偶函数.,奇函数,有界函数,*,函数的分类:,函数,初等函数,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),代数函数,超越函数,有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),思考题,思考题解答,不能,1函数的有界性:,四、函数的性质,f(x)=sinx在(-,+)上是有界的:|sinx|1.,所以函数无上界.,有界函数举例,证,课堂练习1,证,因此,课堂练习2,2函数的单调