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第十八章曲面积分,20080524,18.1第一型曲面积分,一、曲面的表示,特殊地：,特殊地：,一、第一型曲面积分的概念与性质,引例:设曲面形物质具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想,采用,可得,求质,“大化小,常代变,近似和,求极限”,的方法,量M.,其中,表示n小块曲面的直径的,最大值(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,二、第一型曲面积分,则第一型曲面积分存在.,对积分域的可加性.,则有,线性性质.,在光滑曲面S上连续,第一型曲面积分与第一型曲线积分性质类似.,积分的存在性.,若S是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理:设有光滑曲面,f(x,y,z)在上连续,存在,且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,证明:由定义知,而,(光滑),说明:,可有类似的公式.,1)如果曲面方程为,2)若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS,的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分.,特殊地：,解,解,例3.计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,思考:,若是球面,被平行平面z=h截,出的上下两部分,则,例4.计算,其中是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解:设,上的部分,则,与,原式=,分别表示在平面,例5.,设,计算,解:锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在xoy面上的,投影域为,则,思考:若例3中被积函数改为,计算结果如何?,例6.计算,其中是介于平面,之间的圆柱面,分析:若将曲面分为前后(或左右),则,解:取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,例7.求椭圆柱面,位于xoy面上方及平面,z=y下方那部分柱面的侧面积S.,解:,取,内容小结,1.定义:,2.计算:设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧.,设,一卦限中的部分,则有().,(2000考研),三、小结,作业(习题集)
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