第8讲-常微分方程数值解法

OrdinaryDifferentialEquations,ODE,一阶常微分方程的初值问题：节点：x1x2xn步长为常数,一欧拉方法（折线法）yi+1=yi+hf(xi,yi)(i=0,1,n-1)优点：计算简单。缺点：一阶精度。二改进的欧拉方法,改进的欧拉公式可改写为它每一步计算f(x,y)两次，截断误差为O(h3),精确解：,functiont,y=Heun(ode,tspan,h,y0)t=(tspan(1):h:tspan(end);n=length(t);y=y0*ones(n,1);fori=2:nk1=feval(ode,t(i-1),y(i-1);k2=feval(ode,t(i),y(i-1)+h*k1);y(i)=y(i-1)+h*(k1+k2)/2;end,三龙格库塔法(Runge-Kutta)欧拉公式可改写为它每一步计算f(xi,yi)一次，截断误差为O(h2),标准四阶龙格库塔公式每一步计算f(x,y)四次，截断误差为O(h5),对于两个分量的一阶常微分方程组,用经典4阶Runge-Kutta法求解的格式为,n级显式Runge-Kutta方法的一般计算格式：,其中,Adams外插公式（Adams-Bashforth公式）是一类k+1步k+1阶显式方法三步法（k=2）,四步法（k=3）,Adams内插公式（Adams-Moulton公式）是一类k+1步k+2阶隐式方法三步法（k=2）,Adams预估-校正方法（Adams-Bashforth-Moulton公式）一般取四步外插法与三步内插法结合。,#include#include#include#defineTRUE1main()intnstep_pr,j,k;floath,hh,k1,k2,k3,k4,t_old,t_limit,t_mid,t_new,t_pr,y,ya,yn;doublefun();printf(nFourth-OrderRunge-KuttaSchemen);while(TRUE)printf(Intervaloftforprinting?n);scanf(%f,dofor(j=1;j=nstep_pr;j+)t_old=t_new;t_new=t_new+h;yn=y;t_mid=t_old+hh;yn=y;k1=h*fun(yn,t_old);ya=yn+k1/2;k2=h*fun(ya,t_mid);ya=yn+k2/2;k3=h*fun(ya,t_mid);ya=yn+k3;k4=h*fun(ya,t_new);y=yn+(k1+k2*2+k3*2+k4)/6;printf(%12.5f%15.6en,t_new,y);while(t_new=t_limit);printf(-n);printf(Maximumtlimitexceededn);printf(Type1tocontinue,or0tostop.n);scanf(%d,doublefun(y,t)floaty,t;floatfun_v;fun_v=-y;return(fun_v);,四误差的控制我们常用事后估计法来估计误差，即从xi出发，用两种办法计算y(xi+1)的近似值。记为从xi出发以h为步长得到的y(xi+1)的近似值，记为从xi出发以h/2为步长跨两步得到的y(xi+1)的近似值。设给定精度为。如果不等式成立，则即为y(xi+1)的满足精度要求的近似值。,自适应：使用2个不同的h。如果一个大的h和一个小的h得到的解相同，那么减小h就没有意义了；相反如果两个解差别大，可以假设大h值得到的解是不精确的。使用相同的h值，2种不同的算法。如果低精度算法与高精度算法的结果相同，则没有必要减小h。,Ode23非刚性,单步法,二三阶Runge-Kutta,精度低Ode45非刚性,单步法,四五阶Runge-Kutta,精度较高,最常用Ode113非刚性,多步法,采用可变阶(1-13)AdamsPECE算法,精度可高可低Ode15s刚性,多步法,采用Gears(或BDF)算法,精度中等.如果ode45很慢,系统可能是刚性的,可试此法Ode23s刚性,单步法,采用2阶Rosenbrock法,精度较低,可解决ode15s效果不好的刚性方程.Ode23t适度刚性,采用梯形法则,适用于轻微刚性系统,给出的解无数值衰减.Ode23tb刚性,TR-BDF2,即R-K的第一级用梯形法则,第二级用Gear法.精度较低,对于误差允许范围比较差的情况,比ode15s好.,Matlab函数,Matlabsode23(Bogacki,Shampine),Runge-Kutta-Fehlberg方法(RKF45),4阶Runge-Kutta近似,5阶Runge-Kutta近似,局部误差估计,Matlabsode45isavariationofRKF45,VanderPol:,functionxdot=vdpol(t,x)xdot(1)=x(2);xdot(2)=-(x(1)2-1)*x(2)-x(1);xdot=xdot;%VDPOLmustreturnacolumnvector.%xdot=x(2);-(x(1)2-1)*x(2)-x(1);%xdot=0,1;-1,-(x(1)2-1)*x;t0=0;tf=20;x0=0;0.25;t,x=ode45(vdpol,t0,tf,x0);plot(t,x);figure(101)plot(x(:,1),x(:,2);,Lorenz吸引子functionxdot=lorenz(t,x)xdot=-8/3,0,x(2);0,-10,10;-x(2),28,-1*x;x0=0,0,eps;t,x=ode23(lorenz,0,100,x0);plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3);plot(x(:,1),x(:,2);,functionyp=examstiff(t,y)yp=-2,1;998,-998*y+2*sin(t);999*(cos(t)-sin(t);y0=2;3;tic,t,y=ode113(examstiff,0,10,y0);toctic,t,y=ode45(examstiff,0,10,y0);toctic,t,y=ode23(examstiff,0,10,y0);toctic,t,y=ode23s(examstiff,0,10,y0);toctic,t,y=ode15s(examstiff,0,10,y0);toctic,t,y=ode23t(examstiff,0,10,y0);toctic,t,y=ode23tb(examstiff,0,10,y0);toc,刚性方程,向后差分方法（Gearsmethod）隐式Runge-Kutta法,functionf=weissinger(t,y,yp)f=t*y2*yp3-y3*yp2+t*(t2+1)*yp-t2*y;t0=1;y0=sqrt(3/2);yp0=0;%guessy0,yp0=decic(weissinger,t0,y0,1,yp0,0);%求出自洽初值。保持y0不变t,y=ode15i(weissinger,1,10,y0,yp0);ytrue=sqrt(t.2+0.5);plot(t,ytrue,t,y,o),线性隐式ODE:,完全隐式ODE(Matlab7):,Weissinger方程:,functionyp=ddefun(t,y,Z)yp=zeros(2,1);%definelags=1,3yp(1)=Z(1,2)2+Z(2,1)2;yp(2)=y(1)+Z(2,1);functiony=ddehist(t)y=zeros(2,1);y(1)=1;y(2)=t-2;,lags=1,3;sol=dde23(ddefun,lags,ddehist,0,1);holdon;plot(sol.x,sol.y(1,:),b-);plot(sol.x,sol.y(2,:),r-);,延迟微分方程,Sol=dde23(ddefun,lags,ddehist,tspan),初值:,有限差分法二阶线性边值问题,差分离散：,bvp4c,线性边值问题的打靶法：二阶线性边值问题(11)的可以通过求解下面两个初值问题获得。,原来边值问题的解可以表示为：,非线性边值问题的打靶法,(IVP1),(IVP2),符号计算y=dsolve(D2y=-a2*y,x)%求通解y=dsolve(D2y=-a2*y,y(0)=1,Dy(pi/a)=0,x)x,y=dsolve(Dx=4x-2y,Dy=2x-y,t),Pdetool求解区域,定义边界,网格划分,计算,画图,保存文件求解,边条,解析解,演示求解过程,Stokes问题,Q1-P0有限元离散,Navier-Stokes问题,MAC差分离散,物理问题的控制方程：,前台阶流（AMach3WindTunnelwithaStep）模拟放置在风洞中的前台阶流动。风洞尺寸：宽1.0，长3.0，台阶高0.2，放置在距风洞左边界0.6个单位长度处。,Sod问题Sod问题是在激波