实变函数论第4讲连续势的集合、P进位表数法

第4讲连续势的集合、P进位表数法,目的：掌握连续势及其基本性质，了解连续统假设；熟悉P进位表数法。重点与难点：连续势的性质。,一.连续势的例问题1：有限集或可数集的一切子集构成的集具有大于该集的势，由此我们可以作出何种猜测？,第4讲连续势的集合、P进位表数法,问题2：给定一个集合，如何构造一个集合，使其具有比给定集合更大的势?,第4讲连续势的集合、P进位表数法,定理9（i）假设M是由两个元素作成的元素序列全体，则。（ii）若是可数集，则的子集全体所构成的集合F有连续势。,第4讲连续势的集合、P进位表数法,证明：如果我们将对应到0，对应到1，那么，排成的任何序列便对应到一个二进制表示的数。由此就有可能作出M与直线上子集间的一一对应。且体做法如下：对任意，令，其中时，；时，这样便建立了到（0,1）内的一个对应关系，然而，和前面讨论的势一样，这里也涉及到小数的表示法,第4讲连续势的集合、P进位表数法,是否唯一的问题。在二进制中。0,100也可以表为0.01111因此，我们在这里也应作一规定，即小数表示排队仅有有限个不为零的情形。可是作了这种规定后，前面的定义又出现了问题，假如序列中只有有限个为，其余均为，则将对应到只有有限位数不为零的小数。其实，克服这一困难并不难，我们可以从中将这种情况暂时排除。即记，,第4讲连续势的集合、P进位表数法,显然是有限集，令，到最多可数，于是，只就讨论的话，便是到（0,1）之间的一一对应关系，从而。进一步。,第4讲连续势的集合、P进位表数法,（ii）的证明与（i）有些类似，由于可数，故可设，对任意，令，其中当时，否则，不难验证，只要象（i）那样去掉有限位数不为0的情况，便可知建立了（是的可数子集）与（0,1）之间的一一对应关系，进而。证毕。,第4讲连续势的集合、P进位表数法,定理10设是一集合，的一切子集所构成的集合记作，则。,第4讲连续势的集合、P进位表数法,二不存在最大势,定理10说明不存在最大势。,第4讲连续势的集合、P进位表数法,证明：记，则，且显然是与之间的一个一一对应，故。往证，若不然，存在与之间的一个一一对应，记为，则对任意，记，则，由于,第4讲连续势的集合、P进位表数法,是一一对应，故存在，使，若，则，得到矛盾，若，即，则依的定义，应有，再次得矛盾。由此可见的确不能与对等。证毕。,第4讲连续势的集合、P进位表数法,三P进位表数法问题3：回忆十进制表数法，除此以外，我们常见的进制还有哪些？它们有什么异同？,第4讲连续势的集合、P进位表数法,问题4：根据这些熟悉的进制，启发我们如何定义一般的进位制？,第4讲连续势的集合、P进位表数法,定理9的证明中，我们采用了二进制表数法，后面还要用到其它进制的表数法，因此这里简单介绍一下进制表数法。进位制对我们来说并不陌生，比如，一小时等于六十分钟，一分钟等于六十称，采用的就是六十进制，又如，在过去的度量中，一斤等于十六两，用的是十六进制，平常我们说“半斤对八两”便由些而来。对任何正整数，我,第4讲连续势的集合、P进位表数法,们都可以定义进位制，进位制在很多情况下会给我们带来极大的方便，计算机逻辑代数中采用的就是二进制数。现在我们来看一看，如何用进位制表示0,1之间的点。设，将等分，其分点为。若不是等分,第4讲连续势的集合、P进位表数法,点，则一定包含在某个内，这时，我们称的第一位小数是，如果是某个分点，则的第一位小数的取法就有两种，因为这时既在中，又在中，我们既可说的第一位小数为，又可说第一位小数为，如果是前者，则,第4讲连续势的集合、P进位表数法,可记为如果是后者，则可记（这就好比在十进制下，0.8可写成0.8000，也可写成0.7999）。,第4讲连续势的集合、P进位表数法,假定我们已取定了其中一种，再来考虑小数的第二位，假设位于，再将等分，则分点为,第4讲连续势的集合、P进位表数法,仿照上述做法可定义小数的第二位，此时仍然有是不是某个分点的问题，处理方法同前一步。即当好是分点时，（注意此时不可能是第一步的分点，故第一位是唯一确定的），则既可写成又可写成，仍然取定,第4讲连续势的集合、P进位表数法,其中一种，这里需注意的是，只要是前一步等分的分点，就不可能是下一步的等分点，因此，不可能发生同时属于下一步等分区间中两个的情形，进而，下一位的表示一定是唯一的。继续这个过程，如果到第步，是某个等分点，则既可写成：,第4讲连续势的集合、P进位表数法,又可写成假如永远不是分点，则可记作且表示法是唯一的。,综上所述，如果永远不是分点，的表示法唯一，如果是第次等分的第个分点，则有两种表示法：,第4讲连续势的集合、P进位表数法,第4讲连续势的集合、P进位表数法,从等分过程可以看出，表示成也就是指可以表成级数和形成：这和我们将表成是一个道理。,第4讲连续势的集合、P进位表数法,我们已经知道，（0,1）中任一点可以表成上述形式，那么反过来，是否每个小于的非负整数“序列”一定也表示（0,1）上的点呢？而且，若上面的序列不是从某个之后全是或全是零的形式，这种对应是否是一对一的呢？换言之，不同的“序列”是否对应不同的点？其实，要看清楚这一点是很容易的，一个办法是，我们将对应到，对应到，,第4讲连续势的集合、P进位表数法,由此可以挑出一个闭区间套，其长度，由闭间套定理，有唯一的属于所有这些区间，按前面的定义方法，对应的表示就是。而且，只要不是从某个之后，全是，或全是0，则这种对应是唯一的。另一个办法是，将与级数对应，由于，故上述级数显然收敛到（0,1）之间的唯一的数。记此数为，仍按前面定义,第4讲连续势的集合、P进位表数法,的表示法过程不难看出，对应的表示法一定是。此时，应该考虑到一点；如果与对应位置的数不全相同（仍排除某项后全为0或全为情形）。级数与会不会代表同一个数？简单分析一下便很容易发现结论是否定的。（事实上，如果给一个几何解释，它实际上表示对（0,1）按前述办法作等分，第步等分取分,第4讲连续势的集合、P进位表数法,点，第步取