隐函数与参数方程求导法则

5.3 隐函数与参数方程求导法则1、 隐函数求导法则 表示函数（对应关系）有多种不同的方法，其中有这样一种方法，自变量x与因变量y的对应关系是由二元方程F（x，y）=0所确定。定义 设有两个非空数集A与B.若，由二元方程F（x，y)=0对应唯一一个，则称此对应关系（或写为y=（x)是二元方程F(x，y)=0确定的隐函数。由隐函数的定义看到，二元方程F(x，y)=0确定的隐函数y=（x)（，）必是二元方程F(x，y)=0的解，因此，有 Fx，f(x)=0 (或Fx，f(x)0 ）.例如，二元方程F(x，y)=2x-3y-1=0在R确定（从中解得）一个隐函数。事实上，由二元方程对应唯一一个,且 F（x , )=2x-3-10.二元方程F(x，y)=x+y-a=0(a0)在A=-a ，a确定两个连续的（B=0 ，+)与B=（- ，0)隐函数。事实上，由二元方程对应唯一一个=,且 与，且 于是，二元方程F(x，y)=x+y-a=0在A=-a ，a确定了两个连续的隐函数。 与。 这两个隐函数的图像是以原点为心以a为半径的在区间的上半圆周与下半圆周，如图5.5由此可见，所谓隐函数就是对应关系不明显的隐含在二元方程之中，相对隐函数来说，对应关系“明显”的函数，例如， ， ，等等，就是显函数。在本节之前，所遇到的函数绝大多数都是显函数。值得注意的是，有些二元方程确定的隐函数并不能用代数方法从中解出来，换句话说，隐函数不是初等函数或不能化为显函数。关于隐函数的存在性、连续性和可微性等理论问题将在第十一章介绍。本节所讨论的隐函数都是存在的，可导的。直接对隐函数所满足的方程求导，往往更便利些。由于二元方程确定的隐函数，有 .应用复合函数求导法则对恒等式两端求导数，即可求得隐函数的导数。下面举例说明隐函数的求导法则：例1 求方程确定的隐函数的导数。解 方程两端对求导数，由复合函数的求导法则（注意，是的函数），有 ， ， ，解得隐函数的导数.例2 求方程确定的隐函数的导数。解 方程两端对求导数，由复合函数的求导法则（注意，是的函数），有 ，解得隐函数的导数 .例3 证明过双曲线上一点的切线方程是 . （1）证明 首先求过点 的切线斜率 ,即求双曲线确定的隐函数 的导数在点的值. ，.解得.在点的切线斜率.从而，切线方程是 或 .因为点在双曲线上，所以.于是，所求得切线方程是 .当时，有.过双曲线上点的切线方程是，也满足（1）式.例4 证明抛物线 上任意点的切线在两个坐标轴上截距的和等于.证明 在抛物线上任取一点，即.求抛物线在点的切线斜率.由隐函数求导法则，有 或.从而斜率.在点的切线方程是 .它在轴与轴上的截距分别是与.于是，二截距之和是 （ ）+（） =.求某些显函数的导数，直接求它的导数比较繁琐，这时可将它化为隐函数，用隐函数的求导法则求其导数，比较简单些。将显函数化为隐函数常用的方法是在等号两端取绝对值再取对数，这就是对数求导法。适用于幂指函数以及其他一些函数.现举例如下：例5 求函数的导数。解 等号两端取绝对值的对数，有 .由隐函数的求导法则，有 ，即 .例6 求幂指函数的导数。解 将幂指函数等号两端取对数，有 .按隐函数求导法，对上式等号两端求导，有 ，由此得到 . 例7 求函数的导数. 解 等号两端取绝对值的对数，有 由求导数法则，有 ，即 .2、 参数方程求导法则 参数方程的一般形式是 若与都可导，且，又 存在反函数，则是的复合函数，即 ， .由复合函数与反函数的求导法则，有 .这就是参数方程的求导公式。 例8 求椭圆上一点的切线斜率. 解法一 点 在上半椭圆上，从椭圆方程中解出上半椭圆方程是 ， .则 解法二 由隐函数求导法，有 或 ，则 . 解法三 将椭圆化为参数方程 .点对应的参数.由参数方程求导法，有 则 . 例9 设炮弹的弹头初速度是，沿着与地面成角的方向抛射出去，求在时刻时弹头的运动方向