常微分方程6.1课件

第六章非线性微分方程和稳定性,在19世纪中叶,通过刘维尔的工作,人们已经知道绝大多数的微分方程不能用初等积分方法求解.这个结果对于微分方程理论的发展产生了极大影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而是从微分方程本身来推断其解的性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家庞加莱(Poincar,1854-1912)在19世纪80年代所创立，后者由俄国数学家李雅普罗夫(Liapunov,1857-1918)在同年代所创立.,6.1引言,它们共同的特点就是在不求出方程的解的情况下,直接根据微分方程本身的结构和特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.,注意：n阶微分方程可化为一阶微分方程方程组。如,向量形式为,其中,自治系统（或驻定方程组）：右端不显含t,6.1.1常微分方程组解的存在唯一性定理,解的存在唯一性定理：,解的延拓与连续性定理：,考虑微分方程,其中函数,对,t,(-,+),满足局部李普希兹条件.设,连续，对,方程(6.1)对初值,存在唯一解,的解记作,现在的问题是：当,很小时，差,的变化是否也很小?,过,6.1.2李雅普诺夫稳定性,如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性,第2章的定理2.7已有结论.现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性(见下面的例3)，这就产生了李雅普诺夫意义下的稳定性概念.,假设,是稳定的，而且存在,，使得只要,满足,就有,则称(5.1)的解,是渐近稳定的.,为了简化讨论，通常把解,的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记,作如下变量代换:,令,(6.2),则,于是在变换(6.2)下，将方程(6.1)化成,(6.3),其中,.这样关于(6.1)的解,的稳定性问题就化为(6.3)的零解y=O的稳定性问题了.因此，我们可以在下文中只考虑(6.1)的零解x=O的稳定性，且假设,并有如下定义:,定义1若对任意,对给定的,，存在,使当,时有,对所有的,成立，则称(6.1)的零解是稳定的.,，,反之是不稳定的.,(6.4),定义2若(6.1)的零解是稳定的，且存在10,使当,时有,则称(6.1)的零解是渐近稳定的.,如图,o,y1=0,y,t,(a)A0,B0,y,t,o,y1=0,(a)A0,y,t,o,y1=0,(a)A0,所以驻定解不稳定,对于奇点(0,2),令X=x,Y=y-2,得,=-1,同理可知,对于奇点(1,0),驻定解渐进稳定对于奇点(1/2,1/2),驻定解渐进不稳定,=-1/2,所以驻定解渐进稳定。,由原方程得A=,旧版：练习P2681(1),2,新版：练习P2603(1),4(1)（2）,5提示：4(1)用定理3，,4(2)用定理1，,（7）驻定与非驻定方程,如果方程组右端不含之变量t,则称为驻定的。,（8）相空间、奇