第5章常微分方程数值解法

2020年5月30日,1,例如：时，,第5章常微分方程数值解法,5.1引言,微分方程：包含自变量、未知函数和未知函数导数或微分的方程。,例如：，求,定解条件：求解微分方程时，所附加的条件定解问题。,初始条件：给出积分曲线在初始时刻的值初值问题。,例如：时，,边界条件：给出积分曲线在首末两端的值边值问题。,常微分方程：未知函数为一元函数。,偏微分方程：未知函数为多元函数。,2020年5月30日,2,一阶常微分方程的初值问题：,求解,注意：,解函数、积分曲线；,微分函数。,确定初值问题的解存在而且唯一：李普希兹条件。,2020年5月30日,3,Lipschitz条件：,式中，为常量，、为任意实数。,则初值问题的解存在，并且唯一。,说明：解函数无限接近时，微分函数也无限接近，则解存在。,数值解法：在一系列离散点上，,求解近似值。,采用“步进式”：顺着节点排列顺序，一步一步地向前推进。,只要函数适当光滑,2020年5月30日,4,5.2Euler方法（尤拉方法）,5.2.1Euler格式,初值问题：,解的形式：是通过点的一条曲线,积分曲线。,特点：积分曲线上每一点的切线斜率为,2020年5月30日,5,尤拉方法：,将解区间离散化，选择步长，,得到离散点：；,由切线，,切线与交点：的近似值；,再由向前推进到，,得到折线，近似。,2020年5月30日,6,任意折线：,过点直线，,斜率，,尤拉格式,2020年5月30日,7,P106例题5.1求解初值问题,解：尤拉格式,，,2020年5月30日,8,局部截断误差：设前一步值准确，算下一步出现的误差,假设：,泰勒展开函数：,局部截断误差：,2020年5月30日,9,5.2.2后退的Euler格式,离散化：求解微分方程的关键，消除导数项，基本方法之一是用差商替代倒数项。,例如：,向前的Euler格式,2020年5月30日,10,同理：,后退的Euler格式,注意：上式隐含，采用迭代法求解。,2020年5月30日,11,迭代法求解：后退的Euler格式,先用尤拉格式，求出初值：,再将结果代入微分函数：,反复迭代，直到收敛：,2020年5月30日,12,可以证明：局部截断误差,后退的尤拉格式,向前的尤拉格式,因此：平均可减少误差梯形格式。,（注意：误差不可能消除，两公式不同。）,2020年5月30日,13,5.2.3梯形格式,向前Euler格式：,后退Euler格式：,梯形格式：两者平均,注意：梯形公式可有效减小误差，计算结果更接近实际值。,（图示表示梯形法计算结果）,2020年5月30日,14,用迭代法求解：梯形格式,（用向前格式求初值）,（即将上次结果代入）,反复迭代，直到两次迭代结果达到误差要求。,问题：每个节点，都需迭代计算，计算量太大。,2020年5月30日,15,5.2.4改进的Euler格式,先用向前Euler格式，求得一个初步的近似值,预测：,再用梯形公式，将结果校正一次,校正：,两过程合并：,平均化形式：,2020年5月30日,16,P110例题5.2用改进的Euler方法求解初值问题：,解：,2020年5月30日,17,5.2.5Euler两步格式,1.Euler两步格式,问题：改进尤拉格式,预测,精度差,校正,精度高,即：两者精度上不匹配，为提高预测精度，采用两步格式。,由导数定义：,较小时：,采用近似值：,2020年5月30日,18,尤拉两步格式：,优点：显式，可直接计算；预测和校正计算具有同等精度。,缺点：启动值需两个和。,预测校正系统：,预测,校正,2020年5月30日,19,2.局部截断误差,假设，为准确值,（1）两步尤拉公式,尤拉两步法：预测和校正计算具有同等精度。,证明：,2020年5月30日,20,将函数用泰勒级数展开：（较小，相差不大）,将、两式相减：,两步法局部截断误差,2020年5月30日,21,（2）梯形公式,将函数用泰勒级数展开：,（较小，相差不大）,2020年5月30日,22,、两式相减，并代入式：,梯形法局部截断误差,因此：两种方法局部截断误差都与、有关，相差不大。,2020年5月30日,23,由局部截断误差：,3.提高精度的计算方案误差补偿,整理得：,预测误差估计,代入上式：,校正误差估计,2020年5月3