数学分析-第十九章-课件-含参变量的积分

前面：讨论过函数项级数,用来表示和研究一些,非初等函数（复杂函数）：当把求和看成连续量,求和时就是本章内容。,第十九章含参变量的积分,学习方法：强调与Ch12对应。,设函数f（x,y）在a,bc,d有意义，对a,b上任一,f(x0，y)在c,d上可积，则,这个数当然与,就确定一个数，,有关。当,在a,b变动时，这样的,积分就确定一个函数。,称积分,为含参变量的积分，参变量为x,下面讨论由积分所确定的函数的连续性，可微性，可积,性。（相当于“函数项级数的和函数的三个性质）,导言,1含参变量的正常积分,在,上连续，则,在a,b连续,证明：,，有,由于f(x,y)在,连续，因而一致连续，故对,任给的,存在,，对任意的,，只要,就有,定理19.1,若,对任意,因此只要,，就有,，对,都成立，因而,这就证明了I(x)在x点连续，由,的任意性，,知，I(x)在a,b连续。定理19.1证完。,等价于：,而,交换次序。,（积分下求导数）,即,定理19.2,证明P262,例1.求：,其中,解：对任意,存在b使得,，于是,都在,连续，由定理19.2得,当,时,令,则,因此,积分得,又由及,的连续性，得：,因此,1）函数,的范围满足Th19.2的条件,3）积分求出,，确立常数,2）求出,最后求得：,方法步骤：,例2.计算定积分,这个积分并不带参变量，但如果直接求,积不出来，,我们将通过积分求导数，再求出I=I(1)，记,为此，引入参变量，考虑含参变量积分,解：,则,它们都在,上连续，根据定理19.2，有,注意到I(0)=0，故,从而,1）引入参变量，考察含参变量积分,验证,在0,10,1,3）求,2）求出,上满足Th19.2。,方法步骤：,相应于定积分中的积分上限函数：（复习定义和结论）,考虑函数,有下面定理：,定理19.3,设函数f(x,y)在矩形区域,上连续，,则（1）,在,连续；,在,连续，则,在,有连续偏导数。,（2）若,对各变元,证明：（1）对任意,，,，则,由于f(x,y)在,连续，因而有界,，使,且一致连续，知存在,且对任意给的,，存在,，对任意的,，,，只要,，和,就有,取,，则当,时，有,，,即在,点连续，由,的任意性，便证得在,连续。,又由定理19.2，I对x也有连续的偏导数,这就是所要证明的，定理19.3证完,（2）由微积分基本定理，I对u有连续的偏导数,定理19.4：设函数f(x,y)在,c(x)，d(x)都在a,b上连续，并且,有,上连续，,当,则,在a,b连续。,定理19.4,证明:令u=d(x),v=c(x),根据定理19.3,在,连续。由复合函数的连续性知,在a,b连续。定理19.4证完。,定理19.5设函数f(x,y)，,都在,上连续，又,和,在a,b存在，且当,时，有,，则,在a,b可导，且,证明:令,定理19.5,则,，由定理19.3，H对各变,时，,故由复合函数求导数的链式法则，,在a,b可导，且,元有连续的偏导数,又在a,b可导，且当,例3.设,，求,解:这个积分积不出来，但由定理19.5有,例4.设f(x)在x=0的某邻域内连续，则微分方程,附近可表成,其中n是任意正整数。,的解在x=0,证明:利用定理19.5，则,一般地有,的可积性（积分问题）,在a,b可积.通常记,最后讨论,从而,显然,记号：若,称为先对y后对x的累次积分,（积分交换次序）,在a,b可积，且,即,设f(x,y)在a,bc,d连续，则,定理19.6,证明：,先证明：,2.确定,中的常数c=0（取u=a）,中令u=b得证.,令,3.在,例5.求,其中,解：,，令,在连续,，则积分交换次序，,在例1中已求出,故,，用变量代换，,2含参变量的广义积分,1.一致收敛,广义积分有两种情形，一种是无穷限积分，另一种为瑕积分.,回忆函数项级数的情形，在和函数分析性质的研究中，一致收,敛的概念起了关键作用.通过一致收敛，把无穷和的性质化为有,限和的研究.在含参变量广义积分的讨论中，我们也引入一致收敛的概念.,本章主要讨论无穷限的情形，但是所有的结果都可以平行地,推广到瑕积分的情形.一致收敛的概念起了关键作用.,他们都是含参变量正常积分的极限，这与函数项级数十分类似.,设f(x,y)定义在a,bc,，且对任意x,都成立，则称含参变量的广义积分,在a,b一致收敛.,a,b,无穷积分,或,定义19.1,对x,a,b,例1.证明：含参变量的广义积分,一致收敛.其中a0；,而,所以对任给的,存在,当A,时有,从而当,时，对任意的,有,这就证明了,（1）在,不一致收敛.,证明:(1)因为,（2）在,含参变量的广义积分在a,b一致收敛的,充要条件是对任给的,，存在正数,，当,时，对任意的,a,b，有,定理19.7(一致收敛的柯西准则),一致收敛判别法：,定理19.8,（魏尔斯特拉斯判别法，或M判别法，或控制收敛判别法）,与常数Bc，使得当,与,a,b时，有,而广义积分,是收敛的，则,在a,b一致收敛。,设存在函数,设（1）含参变量的正常积分,在,与,a,b有界，即存在M0，,(2)对每个固定的,a,b，函数g(x,y)关于y是单调的，,时，g(x,y)在,a,b一致地趋向于0。则,在a,b一致收敛。,对任意的Ac及任意,a,b有,且当,含参变量广义积分,定理19.9,（狄利克雷判别法）,设（1）,在a,b一致收敛；,a,b，函数g(x,y)关于y单调，,a,b,则含参变量广义积分,在a,b一致收敛。,（2）对每一个固定的,且g(x,y)在,有界。,定理19.10,（阿贝尔判别法）,例2.证明,在,一致收敛,对,与,成立，而广义积分,收敛，因此,在,一致收敛。,证明:用魏尔斯特拉斯判别法由于,例3.证明,在,一致收敛.,在,若含参变量广义积分,在a,b上一致收敛，,设,则I(x)在a,b连续。,2含参变量广义积分的分析性质,定理19.11,（积分号下取极限）,上连续，,设,在,在a,b上一致收敛，则,即,定理19.12,（积分交换次序）,上连续。若含参变量广义积分,设,和,都在,上连续，,在a,b上收敛，,在a,b上一致收敛，,在a,b可导，且,即,交换x,y结论依然成立,则,定理19.13,（积分号下求导）,若,例4.求狄利克雷积分,例6.计算积分,解：令,，则,例5.计算积分,解：利用例4.,解：注意到,定理19.14,(迪尼)设f(x,y)在,连续，非负.若,在,收敛，且作为y的,函数在连续，则,在,是一致收敛的.,定理19.15,设,在,连续且非负,都收敛，且分别在,和,连续，,，,，,中有一个存在，则另一个也存在，且两者相等.,若,例7.计算概率积分,含参变量广义积分,它的定义域就是积分的收敛域：易知,（二）性质,在其定义域,内连续且,（一）定义：,1.它为无穷限广义积分,2.当,时又是瑕积分,有任意阶连续导数：,3欧拉积分,1.函数：,函数,(三)递推公式,特别：,为正整数时,可见函数是阶乘n!的延拓,称,（一）定义：含参变量的广义积分,（二）性质：,2.B函数,1.它的定义域就是积分的收敛域,2.当a1,b1时积分是正常积分,3.当a1或b1时积分是瑕积分,为B函数，定义域为a0,b0,对称性,（a0,b0),（四）与函数的关系（狄利克雷公式）,(三)递推公式：,（a0,b1）,（a1,b0）,内容小结,含参变量的正常积分的定义及其性质含参变量广义积分的判别法、性质及其计算欧拉积分的计算,习题,1.记,.则,2.求,，其中,解：,.,再对,积分，得,，,，得,又,故,3.应用对参数求导法计算积分,（不必定常数，若计算时出现无界情况，取极限计算）