高数下册第7章常微分方程

1,常微分方程,第七章,-积分问题,-微分方程问题,推广,2,微分方程的基本概念,第一节,微分方程的基本概念,引例,几何问题,物理问题,第七章,3,引例1.,一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的,解:设所求曲线方程为y=f(x),则有如下关系式:,(C为任意常数),由得C=1,因此所求曲线方程为,由得,切线斜率为2x,求该曲线的方程.,4,引例2.以初速度,将质点铅直上抛，不计阻力，,求质点的运动规律。,解:设运动开始时(t=0)质点位于,位于x(t),变量x与t的函数关系x=x(t)满足,由条件,积分得：,因此所求运动规律为,在时刻t质点,5,常微分方程,偏微分方程,含未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程。,方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程,(本章内容),(n阶显式微分方程),微分方程的基本概念,一般地,n阶常微分方程的形式是,的阶。Eg:,分类,或,6,使方程成为恒等式的函数。,通解,解中所含独立的任意常数的个数与方程,确定通解中任意常数的条件.,n阶方程的初始条件(或初值条件):,的阶数相同.,特解,通解:,特解:,微分方程的解,不含任意常数的解,定解条件,其图形称为积分曲线.,引例2,7,例1.验证函数,是微分方程,的解(k不等于零)。,解:略,例2.求初值问题的解,8,可分离变量的一阶微分方程与齐次方程,第二节,一、可分离变量方程,第七章,形如：,解法：(i)分离变量,(ii)两边积分,是隐式通解。,则,9,例1.求微分方程,的通解.,解:分离变量得,两边积分,得,即,(C为任意常数),或,说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,(此式含分离变量时丢失的解y=0),10,例2.,解法这是可分离变量的方程，改写为,分离变量,即,两边积分，得,(C为任意常数),为所求通解。,11,例3.,成正比,求,解:根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分:,得,利用初始条件,得,代入上式后化简,得特解,并设降落伞离开跳伞塔时(t=0)速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t足够大时,12,二、齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程.Eg:,令,代入原方程得,两边积分,得,积分后再用,代替u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,13,例1.求微分方程,的特解,注:,14,可得OMA=OAM=,例2.在制造探照灯反射镜面时,解:设光源在坐标原点,则反射镜面由曲线,绕x轴旋转而成.,过曲线上任意点M(x,y)作切线MT,由光的反射定律:,入射角=反射角,取x轴平行于光线反射方向,从而AO=OM,要求点光源的光线反,射出去有良好的方向性,试求反射镜面的形状.,而AO,于是得微分方程:,15,利用曲线的对称性,不妨设y0,积分得,故有,得,(抛物线),故反射镜面为旋转抛物面.,于是方程化为,(齐次方程),16,(h,k为待,*三、可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令,解出h,k,(齐次方程),定常数),17,求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注:上述方法可适用于下述更一般的方程,18,一阶线性微分方程,第三节,一、一阶线性方程,*二、伯努利方程,第七章,19,一、一阶线性微分方程,形如:,若Q(x)0,称为非齐次方程.,1.解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程;,20,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2.解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,21,例1-3.求下列方程通解,22,在闭合回路中,所有支路上的电压降为0。,例4.有一电路如图所示,电阻R和电,解:列方程.,已知经过电阻R的电压降为Ri,经过L的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,其中电源,求电流,感L都是常量,23,解方程:,利用一阶线性方程解的公式可得,由初始条件:,得,24,因此所求电流函数为,解的意义:,25,*二、伯努利(Bernoulli)方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边,得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),26,例5.求方程,的通解.,解:令,27,(雅各布第一伯努利),书中给出的伯努利数在很多地方有用,伯努利(16541705),瑞士数学家,位数学家.,标和极坐标下的曲率半径公式,1695年,版了他的巨著猜度术,上的一件大事,而伯努利定理则是大数定律的最早形式.,年提出了著名的伯努利方程,他家祖孙三代出过十多,1694年他首次给出了直角坐,1713年出,这是组合数学与概率论史,此外,他对,双纽线,悬链线和对数螺线都有深入的研究.,28,可降阶的高阶微分方程,第四节,一、型的微分方程,二、型的微分方程,三、型的微分方程,第七章,29,一、,令,因此,即,同理可得,依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.,型的微分方程,30,例1.,解:,这就是所求的通解。,31,型的微分方程,设,原方程化为一阶方程,设其通解为,则得,再一次积分,得原方程的通解,二、,32,例2.求解,解:,代入方程得,分离变量,积分得,利用,于是有,再积分得,由,因此所求特解为,33,三、,型的微分方程,令,故方程化为,设其通解为,即得,分离变量后积分,得原方程的通解,34,例3.求解,代入方程得,故所求通解为,解:,35,作业:,1.(2)(4)(6),1.(1)(3)(5)(7)2.(4)(6)(7),1.(2)(4)(11)7.(1)(3)(5),1.(1)(3)(5),36,高阶线性微分方程,第五节,二、线性微分方程的解的结构,*三、常数变易法,一、二阶线性微分方程举例,第七章,37,一、二阶线性微分方程举例,当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:,阻力的大小与运动速度,下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向,物体在弹性力与阻,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻t物位移为x(t).,(1)自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比,方向相反.,建立位移满足的微分方程.,38,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,(2)强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外力,则得强迫振动方程:,39,求电容器两极板间电压,例2.,联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.,提示:设电路中电流为i(t),上的电量为q(t),自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串,极板,在闭合回路中,所有支路上的电压降为0。,40,串联电路的振荡方程:,如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得,化为关于,的方程:,故有,41,n阶线性微分方程的一般形式为,方程的共性,为二阶线性微分方程.,例1,例2,可归结为同一形式:,时,称为非齐次方程;,时,称为齐次方程.,复习:一阶线性方程,通解:,非齐次方程特解,齐次方程通解Y,42,证毕,二、线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边,得,(叠加原理),定理1.,43,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,44,定义:,是定义在区间I上的,n个函数,使得,则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在(,)上都有,故它们在任何区间I上都线性相关;,又如，,若在某区间I上,则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见,在任何区间I上都线性无关.,若存在不全为0的常数,45,两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:,线性相关,存在不全为0的,使,线性无关,常数,思考:,中有一个恒为0,则,必线性,相关,(伏朗斯基),线性无关,46,定理2.,是二阶线性齐次方程的两个线,性无关特解,则,数)是该方程的通解.,例如,方程,有特解,且,常数,故方程的通解为,(自证),推论.,是n阶线性齐次方程,的n个线性无关解,则方程的通解为,47,线性非齐次方程解的结构情形：,是二阶非齐次方程,的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.,则,是非齐次方程的通解.,证:将,代入方程左端,得,48,是非齐次方程的解,又Y中含有,两个独立任意常数,例如,方程,有特解,对应齐次方程,有通解,因此该方程的通解为,证毕,因而也是通解.,故,49,定理4.,分别是方程,的特解,是方程,的特解.(非齐次方程之解的叠加原理),定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.,50,定理5.,是对应齐次方程的n个线性,无关特解,给定n阶非齐次线性方程,是非齐次方程的特解,则非齐次方程,的通解为,齐次方程通解,非齐次方程特解,51,*三、常数变易法,复习:,常数变易法:,对应齐次方程的通解:,设非齐次方程的解为,代入原方程确定,对二阶非齐次方程,情形1.已知对应齐次方程通解:,设的解为,由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:,52,令,于是,将以上结果代入方程:,得,故,的系数行列式,53,积分得:,代入即得非齐次方程的通解:,于是得,说明:,将的解设为,只有一个必须满足的条件即方程,因此必需再附加一,个条件,方程的引入是为了简化计算.,54,情形2.,仅知的齐次方程的一个非零特解,代入化简得,设其通解为,积分得,(一阶线性方程),由此得原方程的通解:,55,第六节,常系数线性齐次微分方程,基本思路:,求解常系数线性齐次微分方程,求特征方程(代数方程)之根,转化,第七章,56,二阶常系数齐次线性微分方程:,和它的导数只差常数因子,代入得,称为微分方程的特征方程,1.当,时,有两个相异实根,方程有两个线性无关的特解:,因此方程的通解为,(r为待定常数),所以令的解为,则微分,其根称为特征根.,57,2.当,时,特征方程有两个相等实根,则微分方程有一个特解,设另一特解,(u(x)待定),代入方程得:,是特征方程的重根,取u=x,则得,因此原方程的通解为,58,3.当,时,特征方程有一对共轭复根,这时原方程有两个复数解:,利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:,因此原方程的通解为,59,小结:,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,60,例1.,的通解.,解:特征方程,特征根:,因此原方程的通解为,例2.求解初值问题,解:特征方程,有重根,因此原方程的通解为,利用初始条件得,于是所求初值问题的解为,61,若特征方程含k重复根,若特征方程含k重实根r,则其通解中必含对应项,则其通解中必含,对应项,特征方程:,推广:,62,例3.,例5.,例4.,例6.,63,常系数线性非齐次微分方程,第七节,一、,第七章,二、,64,二阶常系数线性非齐次微分方程:,根据解的结构定理,其通解为,求特解的方法,根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.,待定系数法,65,一、,为实数,设特解为,其中为待定多项式,代入原方程,得,(1)若不是特征方程的根,则取,从而得到特解,形式为,为m次多项式.,Q(x)为m次待定系数多项式,66,(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为,(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为,综上,对方程,注：推广到n阶常系数线性非齐次方程的情形.,即,即,当是特征方程的k重根时,可设,特解,67,例1.