高数常微分方程-微分方程及初等积分法

1,解,一、问题的提出,第一节微分方程的基本概念,2,解,3,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,4,微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的定义,5,微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称微分方程的阶.,分类1:常微分方程,偏微分方程.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,6,分类3:线性与非线性微分方程.,分类4:单个微分方程与微分方程组.,7,代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称微分方程的解.,微分方程的解的分类：,三、主要问题-求方程的解,(1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,8,(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象:微分方程的积分曲线.,通解的图象:积分曲线族.,初始条件:用来确定任意常数的条件.,9,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.,10,解,11,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法:初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),12,微分方程；,微分方程的阶；,微分方程的解；,通解;,初始条件；,特解；,初值问题；,积分曲线,小结,本节基本概念：,思考题,13,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,14,练习题,15,练习题答案,16,一、变量分离方程,变量分离（微分）方程.,解法,为微分方程的解.,分离变量法,(隐式通解),17,例1求解微分方程,解,分离变量,两端积分,18,通解为,解,19,解,由题设条件,衰变规律,20,例4,有高为1米的半球形容器,水从它的底部小孔流出,小孔横截面积为1平方厘米(如图).开始时容器内盛满了水,求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.,解,由力学知识得,水从孔口流出的流量为,21,设在微小的时间间隔,水面的高度由h降至,比较(1)和(2)得:,22,即为未知函数的微分方程.,可分离变量,所求规律为,23,解,设鼓风机开动后时刻的含量为,在内,的通入量,的排出量,24,6分钟后,车间内的百分比降低到,25,思考题解答,为所求解.,思考题,求解微分方程,26,练习题,27,28,练习题答案,29,二、齐次方程,的微分方程称为齐次方程.,2.解法,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,1.定义,30,31,例1求解微分方程,微分方程的解为,解,32,例2求解微分方程,解,33,微分方程的解为,34,例3抛物线的光学性质,实例:车灯的反射镜面-旋转抛物面,解,如图,35,得微分方程,由夹角正切公式得,36,分离变量,积分得,37,平方化简得,抛物线,38,补充、可化为齐次的方程,为齐次方程.,（其中h和k是待定的常数）,否则为非齐次方程.,2.解法,1.定义,39,有唯一一组解.,得通解代回,未必有解,上述方法不能用.,40,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程.,可分离变量.,41,解,代入原方程得,42,分离变量法得,得原方程的通解,方程变为,43,例5求解微分方程,解,令,再令,两边积分后得,变量还原得,44,例6求解微分方程,解,令,45,令,令,46,两边同时积分得,变量还原后得通解,47,利用变量代换求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解为,48,思考题解答,方程两边同时对求导:,原方程是齐次方程.,思考题,方程,是否为齐次方程?,49,练习题,50,练习题答案,51,一阶线性微分方程的标准形式:,上方程称为齐次的.,上方程称为非齐次的.,例如,线性的;,非线性的.,三、一阶线性方程,52,齐次方程的通解为,1.线性齐次方程,一阶线性微分方程的解法,(使用分离变量法),53,2.线性非齐次方程,讨论,两边积分,非齐次方程通解形式,与齐次方程通解相比:,54,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.,实质:未知函数的变量代换.,作变换,55,积分得,一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,56,解,例1,57,例2如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,两边求导得,解,解此微分方程,58,所求曲线为,59,伯努利(Bernoulli)方程的标准形式,方程为线性微分方程.,方程为非线性微分方程.,伯努利方程,解法:需经过变量代换化为线性微分方程.,60,求出通解后，将代入即得,代入上式,61,解,例3,62,例4用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,63,解,分离变量法得,所求通解为,64,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,65,思考题解答,思考题,求微分方程的通解.,66,练习题,67,68,69,练习题答案,70,71,四、全微分方程,1.定义:,则,若有全微分形式,例如,全微分方程或恰当方程,所以是全微分方程.,72,2.解法:,通解为,(2)凑全微分,全微分方程,(1)通解公式,73,解,是全微分方程,原方程的通解为,例1,74,解,是全微分方程,将左端重新组合,原方程的通解为,例2,75,五、积分因子,定义:,问题:如何求方程的积分因子?,76,1.公式法:,求解不容易,特殊地:,77,78,2.观察法:,凭观察凑微分得到,常见的全微分表达式,79,可选用的积分因子有,解,例3,则原方程为,80,原方程的通解为,(公式法),可积组合法,81,解,将方程左端重新组合,有,例4求微分方程,原方程的通解为,82,解,将方程左端重新组合,有,原方程的通解为,可积组合法,例5求微分方程,解1,整理得,A常数