第八章-常微分方程的数值解法 1

第八章常微分方程数值解法(NumericalMethodsforOrdinaryDifferentialEquations),引言,引言,考虑一阶常微分方程的初值问题(Initial-ValueProblem):,只要f(x,y)在xa,b上连续，且关于y满足Lipschitz条件，即存在与x,y无关的常数L使对任意定义在a,b上的y1(x)和y2(x)都成立，则上述常微分方程存在唯一解。,引言,数值解法就是要计算出解函数y(x)在一系列节点a=x0x1xn=b处的近似值y0y1yn,节点间距称为步长，通常采用等距节点，即取hi=h(常数)。,解决：数值解法的一个基本特点是“步进式”，即求解时顺着节点排列的次序一步步地向前推进。,注意：与“迭代法”区别,第八章常微分方程数值解法,欧拉方法（EulersMethod）,显式Euler公式,由两点公式求导数，在xj,xj+1子区间上有：,其中jxj,xj+1,代入方程有,显式Euler公式,显式Euler公式的误差,局部截断误差,显式Euler公式,（P230）例1：取h=0.1，分别用显式Euler法、显隐结合的预测校正系统求解初值问题,依次下去计算结果见P231,隐式Euler公式,由两点公式求导数，在xj,xj+1子区间上有：,其中jxj,xj+1,代入方程有,局部截断误差,隐式Euler公式,是一个关于yj+1的方程,要从中解出yj+1,显隐结合的预测校正系统避免求解方程（predictor-correctormethod）,Step1:先用显式欧拉公式作预测，算出预测值,Step2:再用隐式欧拉公式作校正，得到校正值,写成一个公式为：,计算顺序：,（P230）例1：取h=0.1，分别用显式Euler法、显隐结合的预测校正系统求解初值问题,计算过程见P231,解：,用预测校正系统求解，有：,y0=1,p阶精度,欧拉法的局部截断误差：,欧拉法具有1阶精度。,显式：,隐式：,梯形公式（trapezoidformula）,注：的确有局部截断误差，即梯形公式具有2阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是隐式公式。,从显式、隐式Euler法和Euler局部截断误差来看似乎可以有如下式子梯形公式：,隐式Euler,显式Euler,基于数值积分的求解思想,求出积分的近似表达，也就求出了y(xk),h,xk,x,f(x,y),f(x,y),xk-1,f(xk,yk),f(xk-1,yk-1),基于数值积分的求解思想,用矩形求积公式代替,左矩形显式Euler公式,右矩形隐式Euler公式,基于数值积分的求解思想,用梯形求积公式代替,注：梯形公式是隐式公式显式、隐式Euler的平均梯形公式具有2阶精度,余项,Cantyougivemeaformulawithalltheadvantagesyetwithoutanyofthedisadvantages?,Letmetry！,Euler公式及梯形公式总结,改进的Euler法预测校正系统（modifiedEulersmethod）,注：可以证明该算法具有2阶精度，同时可以看到它是个单步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。它的稳定性高于显式欧拉法。误差比较：梯形法改进Euler法yk,应用simpson求积公式：,Simpson公式,4阶精度,习题八1，2,第八章作业,欧拉方法（EulersMethod）,第八章常微分方程数值解法,龙格库塔法（RungeKuttaMethod）,二阶RungeKutta法改进的Euler法,考察改进的欧拉法，可以将其改写为：,K1,K2,xi+h,步长一定是一个h吗？,斜率一定取K1K2的平均值吗？,龙格-库塔法（RungeKuttaMethod）,首先希望能确定系数1、2、p，使得到的算法格式有2阶精度，即在的前提假设下，使得,Step1:将K2在(xi,yi)点作Taylor展开,龙格-库塔法（RungeKuttaMethod）,Step2:将K1K2代入第1式，得到,Step3:将yi+1与y(xi+1)在xi点的泰勒展开作比较,要求，则必须有：,龙格-库塔法（RungeKuttaMethod）,这里有个未知数，个方程。,3,2,存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格-库塔格式。,注意:就是改进的欧拉法,也就是2阶R-K法。,:为获得更高的精度，应该如何进一步推广？,三阶龙格-库塔法,三、四阶R-K法思想：利用各种显化方法，对以上公式显化,xi,xi+h,xi+h/2,三阶龙格-库塔法,K1,K2,K3,显Euler,要计算3个函数可以证明(Taylor展开K1，K2，K3）e(h)=O(h4)具有3阶精度,四阶龙格-库塔法(经典R-K法)/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/,e(h)=O(h5)4阶精度,优缺点：优点是：(1)都是一步法，因此只要给定一个初始值就可以一直计算下去；(2)精度相对较高，如经典R-K法为四阶精度缺点是：(特别是三阶和四阶法)计算量较大。,其他问题讨论：R-K法推导基于Taylor展式，因而要求y(x)有较好的光滑性（即有高阶导数）。最常用的是四阶公式，它适用于一般的问题，准确、稳定、易于编程。步长h减小，局部误差O(h5)减小但步数增加，舍入误差积累增加,四阶龙格-库塔法(经典R-K法)/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/,例：取h=0.2，用四阶龙格库塔法求解初值问题,举例,解：,这里，经典的四阶龙格-库塔公式为,举例,表中列出了计算结果，同时列出了相应的精确解.比较本章第一个例子的计算结果，显然龙格-库塔方法的精度高.,(Matlab)习题八3，7,第八章作业,龙格库塔法（RungeKuttaMethod）,第八章常微分方程数值解法,线性多步法（MultistepMethod）,线性多步法（MultistepMethod）,对应xk：a=x0x1积分区间的内部节点,方程形式变化：,闭型求解Milne公式,推导：(1)取xk-1,xk-2,xk-3,xk-4为节点作三次Newton前插公式代替f(x,y(x)：f(x,y(x)=N3(x)+R4(x)(2)xxk-4+th则xxk-4,xk时，t0,4作x-t替换(3)计算积分及误