线性代数 1.2行列式的性质.ppt

1,1.2行列式的性质,性质1.行列式与它的转置行列式相等.,转置：行列互换,【评注】性质1表明，行列式的行与列有相同的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立。,(详细证明见教材),2,性质2.互换行列式的两行（列）,行列式的值变号.,3,推论：如果行列式某两行（列）对应元素相同，则行列式的值为零。,例1计算,如,4,性质3.如果行列式某行(列)所有元素都乘数k，等于数k乘此行列式。,推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面,推论2行列式有一行（列）的元素全为零，行列式值为0.,5,例2计算,推论3行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零,证明,6,性质4(拆分性质).若行列式某行（列）元素为两数之和，则可拆成两行列式的和。,注：此性质可进一步推广。,7,性质5(乘加法则).把行列式的某行(列)的各元素乘以不为零的数k后加到另一行(列)的对应元素上，行列式值的不变。,8,证明：将第j行拆分,=左边,9,【分析】利用行列式性质化为三角形行列式。,例3计算四阶行列式,10,【总结】化上三角形行列式的基本步骤：如果第一行第一个元素为0，先将第一行（列）与其他行（列）交换，使得第一行第一个元素不为0，注意符号；然后把第一行分别乘以适当的数加到其它各行，使得第一列的元素除了第一个元素外其余元素全为0；再用同样的方法处理除去第一行第一列后余下的低一阶行列式，依次做下去，直到化成上三角形行列式，此时主对角线上元素乘积就是行列式的值。,练习计算行列式,11,解,12,13,14,15,利用性质计算行列式,2.手段：观察行列式的特点，元素的规律，利用行列式性质，植树造“0”，化简行列式。,16,1计算,解：,练习,17,2计算,【分析】除主对角线元素外，其他元素都相等，可以利用乘加法则化出一些0。,18,3.计算,法一：同题2的解法。法二：由于各行(列)元素之和相等，将每行(列)各元素加到第一行(列)，则第一行(列)元素相同，从而可以提取公因子。该方法具有普遍性。,19,4、计算,20,21,5、计算,【分析】相邻两行有部分相同的对应元素，而且，越往下相邻两行相同的元素越多。,22,6、计算n阶行列式,解,第i列提取,(课下练习),23,24,25,解,7、计算,【注】行列式的计算，方法不是唯一的。,(课下练习),26,性质1.行列式与它的转置行列式相等.,性质2.互换行列式的两行（列）,行列式的值变号.,性质3.如果行列式某行(列)所有元素都乘数k，等于数k乘此行列式。,推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式的外面,推论2行列式有一行（列）的元素全为零，行列式值为0.,推论3行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零,【小结】,27,性质4(拆分性质).若行列式某行（列）元素为两数和，则可拆成两行列式的和。,性质5(乘加法则).把行列式的某行(列)的各元素乘以不为零的数k后加到另一行(列)的对应元素上，行列式值的不变。,28,