第八章微分方程与差分方程简介

8.1微分方程的基本概念8.2一阶微分方程的分离变量法8.3一阶线性微分方程8.4可降阶的高阶微分方程8.5二阶常系数线性微分方程8.6差分方程的基本概念8.7一阶常系数线性差分方程及其应用,第八章微分方程与差分方程简介,一、问题的提出二、微分方程的基本概念,81微分方程的基本概念,例1一曲线通过点(1,0)，且在该曲线上任一点M(x,y)处的切线的斜率恰好与其横坐标相等，求这曲线的方程,解设所求曲线的方程为yy(x)根据导数的几何意义可知,此外，未知函数yy(x)还应满足下列条件：,x1时，y0，(2),把(1)式两端积分，得,其中C是任意常数,(3),一、问题的提出,引例：,(1),y,=,xdx,，即,，,把条件“x1时，y0”代入(3)式，得,得所求曲线方程：,微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫微分方程的阶,微分方程：,含有未知函数的导数或微分的方程，叫微分方程例如,常微分方程与偏微分方程：,未知函数是一元函数的微分方程，叫常微分方程,未知函数是多元函数的微分方程，叫偏微分方程,微分方程的阶：,x3yx2y4xy3x2，y(4)4y10y12y5ysin2x，y(n)10，,3阶微分方程,4阶微分方程,n阶微分方程,给定一个微分方程，一个函数，如果这个函数及其各阶导数代入微分方程后，这个微分方程成为恒等式，则称此函数为该微分方程的解,微分方程的解：,如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解,微分方程的通解：,当自变量取某值，要求未知函数及其导数取特定的值，这样的条件称为初始条件带有初始条件的微分方程，称为微分方程的初值问题,初始条件：,确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解即不含任意常数的解称为微分方程的特解,特解：,微分方程的解的图形是一条曲线，叫做微分方程的积分曲线,积分曲线：,例2验证：函数x=C1cost+C2sint是微分方程,的通解，并满足初始条件,解求所给函数的导数：,(C1costC2sint)(C1costC2sint)0,这表明所给函数满足所给方程，因此所给函数是所给方程的解,+,x,=,0,的特解,将条件代入和得C11C23把C1、C2的值代入xC1costC2sint中，得xcost+3sint,一、可分离变量微分方程的求解方法,8.2一阶微分方程的分离变量法,二、齐次方程,一、可分离变量微分方程的求解方法,观察与分析：,1求微分方程y2x的通解把方程两边积分，得yx2C，这就是方程的通解,2求微分方程y2xy2的通解,接积分不能求出通解,观察与分析：,2求微分方程y2xy2的通解,观察与分析：,可分离变量的微分方程：,如果一个一阶微分方程能写成的形式，那么原方程就称为可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程的解法：,第一步分离变量，将方程yf(x,y)写成的形式；,设积分后得G(y)F(x)C；第三步求出由方程G(y)F(x)C所确定的隐函数yF(x)或xY(y),以上G(y)F(x)C，yF(x)或xY(y)都是方程的通解，其中G(y)F(x)C称为隐式（通）解,第二步两端积分,解此方程为可分离变量方程，分离变量后得,两边积分得,即ln|y|x2C1，,解:,的微分方程称为齐次方程.,解法：,作变量代换,代入原式,可分离变量的方程,二、齐次方程,由上式解出,，即可得到齐次方程的通解,解原方程可写成原两端积分，得,例3求解微分方程,微分方程的解为,解原方程可写成原两端积分，得,例4求解微分方程,微分方程的解为,变量回代得所求通解,一、一阶齐次线性微分方程的解法二、一阶非齐次线性微分方程的解法,83一阶线性微分方程,齐次方程的通解为,(使用分离变量法),一、一阶齐次线性微分方程的解法,常数变易法,把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法称常数变易法.,现在是将齐次方程的通解,变易成,求并将代入线性非齐次方程,二、一阶非齐次线性微分方程的解法,积分得,因此，一阶线性非齐次微分方程的通解为:,对应齐次方程通解,非齐次方程特解,对于一阶线性非齐次微分方程的求解，有两种常用的方法：一种是在求出相应齐次方程解的基础上再用参数变易法求解；另一种是直接记住用参数变易法导出的计算公式，将给定的p(x),q(x)代入公式，得到微分方程的通解y(x),解对应齐次方程为分离变量，得两端积分，得,例1求解微分方程,用常数变易法，令带入方程得解得则原方程的通解为,解,例2,将初始条件,代入上式，可得,故所求特解为,例3求微分方程的通解.,分析：由于所给方程不是常见的已知类型的方程，即按通常的想法将x当作自变量，则方程为非线性方程。,但若将y当作因变量，即将方程改写为,此时方程变为一阶线性微分方程。,解：因为,由公式得原方程的通解为,所以为一阶线性微分方程,一、y(n)=f(x)型的微分方程,二、y=f(x,y)型的微分方程,三、y=f(y,y)型的微分方程,8.4可降阶的高阶微分方程,一、y(n)=f(x)型的微分方程,积分n次,解法:,例1求微分方程y=x+1的通解,解对所给方程接连积分三次，得,这就是所给方程的通解,二、y=f(x,y)型的微分方程,设y=p则方程化为p=f(x,p)设p=f(x,p)的通解为p=j(x,C1),则,解法:,原方程的通解为,例2求微分方程(1+x2)y=2xy满足初始条件y|x=0=1,y|x=0=3的特解,解设yp，代入方程并分离变量，得,两边积分，得ln|p|ln(1x2)C，即pyC1(1x2)(C1eC),二、y=f(x,y)型的微分方程,例2求微分方程(1+x2)y=2xy满足初始条件y|x=0=1,y|x=0=3的特解,解设yp，代入方程并分离变量，得,两边积分，得ln|p|ln(1x2)C，即pyC1(1x2)(C1eC),由条件y|x=0=3，得C13，所以y3(1x2)两边再积分，得yx33xC2又由条件y|x=0=1,得C21，于是所求的特解为yx33x1,三、y=f(y,y)型的微分方程,设y=p,有,解法:,原方程化为,y=p=j(y,C1),则原方程的通解为,例3求微分yy-y2=0的通解,代入方程，得,在y0、p0时，约去p并分离变量，得,两边积分得ln|p|ln|y|C，即pC1y或yC1y(C1eC)再分离变量并两边积分，便得原方程的通解为ln|y|C1xC2，,三、y=f(y,y)型的微分方程,例3求微分yy-y2=0的通解,代入方程，得,在y0、p0时，约去p并分离变量，得,85二阶常系数线性微分方程,一、二阶常系数齐次线性微分方程,二、二阶常系数非齐次线性微分方程,二阶线性微分方程的一般形式为,二阶线性微分方程：,若方程右端f(x)0时，方程称为齐次的，否则称为非齐次的,即y+P(x)y+Q(x)y=f(x),一、二阶常系数齐次线性微分方程,定理如果如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0,的两个不成比例的解，那么y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解，其中C1、C2是任意常数,齐次线性方程通解的结构：,一、二阶常系数齐次线性微分方程,二阶常系数齐次线性微分方程：,方程y+py+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p、q均为常数,如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个不成比例解，那么y=C1y1+C2y2就是它的通解,将y=erx代入方程y+py+qy=0得(r2+pr+q)erx=0由此可见，只要r满足代数方程r2+pr+q=0，函数y=erx就是微分方程的解,寻找可能的解：,方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程,特征方程及其根：,特征方程的两个根r1、r2可用公式,求出,二阶常系数齐次线性微分方程：,方程y+py+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程，其中p、q均为常数,如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个不成比例解，那么y=C1y1+C2y2就是它的通解,特征方程的根与通解的关系：,两个不相等的实根r1、r2,特征方程的根与通解的关系：,两个不相等的实根r1、r2,两个相等的实根r1=r2,特征方程的根与通解的关系：,两个不相等的实根r1、r2,两个相等的实根r1=r2,一对共轭复根r1,2=aib，,y=eax(C1cosbx+C2sinbx),这是因为是方程的解，,可以验证，y1=eaxcosbx、y2=eaxsinbx是方程的不成比例解,yeax(cosbxisinbx),第一步写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步求出特征方程的两个根r1、r2第三步根据特征方程的两个根的不同情况，按照写出微分方程的通解,特征方程的根与通解的关系：,两个不相等的实根r1、r2,两个相等的实根r1=r2,一对共轭复根r1,2=aib，,求二阶常数系数齐次线性微分方程的通解的步骤：,y=eax(C1cosbx+C2sinbx),特征方程的根与通解的关系：,两个不相等的实根r1、r2,两个相等的实根r1=r2,一对共轭复根r1,2=aib，,例1求微分方程y-5y-6y=0的通解解所给微分方程的特征方程为r25r60，其根r12，r23是两个不相等的实根，因此所求通解为yC1e2xC2e3x,y=eax(C1cosbx+C2sinbx),解,特征方程为,解得,故所求通解为,例2,解所给方程的特征方程为r22r50，其根r1,223i为一对共轭复根因此所求通解为ye2x(C1cos3xC2sin3x),特征方程的根与通解的关系：,两个不相等的实根r1、r2,两个相等的实根r1=r2,一对共轭复根r1,2=aib，,例3求微分方程y-4y+13y=0的通解,y=eax(C1cosbx+C2sinbx),二、二阶常系数非齐次线性微分方程,我们把方程y+P(x)y+Q(x)y=0叫做与非齐次方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)对应的齐次方程,定理设y*(x)是二阶非齐次线性方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解，Y(x)是对应的齐次方程的通解，那么y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解,二阶非齐次线性方程解的结构：,证明提示：Y(x)+y*(x)+P(x)Y(x)+y*(x)+Q(x)Y(x)+y*(x)=Y+P(x)Y+Q(x)Yy*+P(x)y*+Q(x)y*0f(x)f(x),定理设y*(x)是二阶非齐次线性方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的一个特解，Y(x)是对应的齐次方程的通解，那么y=Y(x)+y*(x)是二阶非齐次线性微分方程的通解,二阶非齐次线性方程解的结构：,定理设非齐次线性微分方程y+P(x)y+Q(x)y=f(x)的右端f(x)是两个函数之和y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)+f2(x)，而y1*(x)与y2*(x)分别是方程y+P(x)y+Q(x)y=f1(x)与y+P(x)y+Q(x)y=f2(x)的特解，那么y1*(x)+y2*(x)的是原方程的特解,证明提示：y1*+y2*+P(x)y1*+y2*+Q(x)y1*+y2*=y1*+P(x)y1*+Q(x)y1*y2*+P(x)y2*+Q(x)y2*f1(x)f2(x),f(x)=Pn(x)型,下面求方程y+py+qy=Pn(x)，的特解y*，其中Pn(x)是n次多项式,因为一个多项式的导数仍是多项式，而且每求导一次，其次数将降低一次，所以它应该有多项式形式的特解，其特解y*特定如下，其中Qn(x)是与Pn(x)同次数的多项式,解这是二阶常系数非齐次线性微分方程，且f(x)是Pn(x)型,例4求微分方程的特解,把它代入所给方程，得比较两端x同次幂的系数，得,Q=10，所以应设特解为,得所给方程的一个特解为,由此求得,A,=,1,，,B,=4,C=6,于是求,二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=Pn(x)elx有形如y*=xkQn(x)elx的特解，其中Qn(x)是与Pn(x)同次的多项式，而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2,f(x)=Pm(x)elx型,解这里f(x)是Pn(x)elx型(其中Pn(x)x，l2),例5求微分方程y+2y-3y=ex的通解,所给方程对应的齐次方程为y+2y-3y=0，特征方程为：r2+2r-3=0，,特征方程的根为：r11，r2-3齐次方程的通解为：YC1exC2e-3x,把它代入所给方程，比较两端x同次幂的系数，得,求得所给方程的一个特解为,由于l1是特征方程的单根，所以应设方程的特解为y*Bxex,从而所给方程的通解为,f(x)=elxAcoswx+Bsinwx型,我们有如下结论：如果f(x)=elxAcoswx+Bsinwx，则二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f(x)的特解可设为y*=xkelxCcoswx+Dsinwx，其中k按l+iw(或l-iw)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1,例6求微分方程y+y=sinx的通解,解f(x)是elxAcoswx+Bsinwx型的，其中l0，w1，A0，B1与所给方程对应的齐次方程为yy0，它的特征方程为r210liwi是特征方程的根，所以应设特解为,把它代入所给方程，得2Dcosx2Csinxsinx比较两端同类项的系数，得,一、差分的概念和性质二、差分方程的概念,86差分方程的基本概念,一、差分的概念和性质,微分方程是自变量连续取值的问题,但在很多实际问题中,有些变量不是连续取值的.例如,经济变量收入、储蓄等都是时间序列,自变量t取值为0,1,2,数学上把这种变量称为离散型变量.通常用差商来描述因变量对自变量的变化速度.,一般地，在连续变化的时间的范围内，变量,关于时间,的变化率是用,来刻画的；,对离散型的变量,我们常用在,规定时间区间上的差商,来刻画变量,的变化率.如果取,，则,可以近似表示变量,的变化率.由此我们给出差分的定义.,定义,设函数,，称改变量,为函数,的差分，也称为函数,的一阶差分，记为,，即,或,一阶差分的差分,称为二阶差分，即,类似地可定义三阶差分，四阶差分，等等.,一般地，函数,的,阶差分的差分称为,阶差分，记为,，即,二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.,解:(1),结论（1）常量的差分为零。（2）幂函数的差分次幂降低一次。（3）指数函数的差分为原指数函数的若干倍,例1求下列函数的差分,例2设,，求,，,，,解,差分满足以下性质：,（2）,（3）,（4）,（1）,例3求,解由差分的运算性质，有,.,的差分.,二、差分方程的概念,定义含有未知函数,的差分的方程称为差分方程.,或,差分方程中所含未知函数下标的最大差数称为该差分方程的阶,差分方程的一般形式：,定义满足差分方程的函数称为该差分方程的解.,例如，对于差分方程,，将,代入方程有,故,是该方程的解，易见对任意的常数,都是差分方程,的解.,如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好,等于方程的阶数，则称这个解是差分方程的通解.根据系统在初始时刻所处的状态，对差分