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43 极坐标中的应力函数与相容方程 极坐标系中的一切公式，可以如同直角坐标系中一样从头导出，但是也可以简化公式的推导，直接通过坐标变换关系，将直角坐标系中的各种物理量和公式转换到极坐标系中。 变换1坐标变量的变换：反之： 变换2函数的变换：只需将上述坐标变换式（a）或（b）代入函数即可。 变换3位移的变换：如图，通过投影的方法，可得位移的坐标变换式如下：反之： 变换4导数的变换：由坐标变量的变换，可得导数的变换式由得，对x，y的导数。 变换5应力函数的一阶导数的变换：由复合函数的求导法则将函数x,y看成是而，又是x，y的函数。因此，可以认为是通过中间变量，的关于x，y的复合函数。即按照复合函数的求导公式，可得一阶导数的变换公式 变换6应力函数的二阶导数的变换可从一阶导数得出，因为：（a）（b）（c） 应力分量表达式由左图可知，当x轴和y轴分别转到轴和轴时，有 =0，由直角坐标中应力分量的表达式（2-24） （2-24）当不计体力时，极坐标中应力分量可由应力函数表达如下： （4-5） 将(a)和（b）式相加，得到应力函数的拉普拉斯算子运算式如下： 根据上式及直角坐标系下的相容方程，当不计体力时，可得极坐标中的相容方程为 （4-6）综上所述，当不计体力时，在极坐标中按应力求解平面问题时，归结为求解一个应力函数，它必须满足：（1）在区域内满足极坐标中的相容方程（4-6）；（2）在边界上满足应力边界条件（假定全部为应力边界条件）；（3）如为多连体，还须满足单值连续条件； 求解应力函数的方法与直角坐标系下一样，仍可采用逆解法和半逆解法； 求得上述条件的应力函数后，由
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