运输问题模型

.,运输问题模型,杭州电子科技大学,数学教研室,杭州电子科技大学,沈灏二0一0年四月,.,运输问题的一般描述,设某种物资有m个产地A1,A2,Am，和n个销地B1,B2,Bn,其中Ai的产量为ai,Bj的销量为bj，产地Ai运往销地Bj的单位运价Cij,i=1,2,m;j=1,2,n.求尽可能满足销地需求且总费用最小的运输方案。,.,运输问题的数学模型可以分以下3种情况讨论：1.产销平衡问题2.销大于产问题产大于销问题,解：设产地Ai运往销地Bj的运量为,.,1.产销平衡问题的数学模型,产销平衡时，各个产地的物资总和正好满足所有销地的需求，运输问题的数学模型为,.,.,2.销大于产问题的数学模型,销大于产时，各个销地的需求不一定能够得到满足，运输问题的数学模型为,.,.,2.产大于销问题的数学模型,销大于产时，各个销地的需求一定能够得到满足，但各个产地的物资不一定全部运走。运输问题的数学模型为,.,.,运输问题本质是一个线性规划问题,运输问题变量比较多，系数矩阵为0-1矩阵，其中大部分元素为零。计算运输问题我们有比单纯形法更好的专门求解运输问题的算法。,.,产销平衡运输问题的求解,定理产销平衡运输问题一定存在最优解。,.,产销平衡运输问题的Lingo模型,MODEL:sets:row/1.m/:a;arrange/1.n/:b;link(row,arrange):c,x;endsetsdata:a=a(1)a(2)a(m);b=b(1)b(2)b(n);,.,C=c(1,1)c(1,2)c(1,n),c(2,1)c(2,2)c(2,n),c(m,1)c(m,2)c(m,n);enddataOBJmin=sum(link(i,j):c(i,j)*x(i,j);for(row(i):sum(arrange(j):x(i,j)=a(i););for(arrange(j):sum(row(i):x(i,j)=b(j););for(link(i,j):x(i,j)=0;);END,.,产销不平衡运输问题也有类似的Lingo模型,.,产销平衡运输问题的初始解,1.西北角法在运价表的西北角选择运量和销量中的较小数作为运量（初始基变量），每确定一个初始基变量后，划去需求变成零的剩余列元素或划去运量变成零的剩余行元素。,.,.,.,.,.,.,填上x33=1后,自然少去一列(第3列),这时不要再去掉第3行。,注意到每填一个数据恰好减少一行或一列。,.,.,总共填写m+n个数据,填上去的m+n个数据为基变量,.,产销平衡运输问题的初始解,2.最小元素法选择运价表中最小运价，运量和销量中的较小数作为运量（初始基变量），每确定一个初始基变量后，划去需求变成零的剩余列元素或划去运量变成零的剩余行元素。,.,.,.,.,.,.,填上x14=4后,第4列自然被去掉,记住每填一个数据减少一行或一列。,.,.,3.位势法求检验数,对每个基变量xij，计算ui和vj，使ui+vj=cij其中u1=0,.,.,.,.,再计算非基变量检验数,ij=cij-（ui+vj）,.,.,11=-4x11每增加一个单位，目标函数可以减少4个单位。,目标可以减少，说明当前解不是最优解,.,闭回路法调整,选x11进基，找到闭回路x11x144-x21x242+3-,.,闭回路法调整,为了保证所有xij非负，x11最多增加3。取x11=3x11+3x144-3x21x242+33-3,.,.,重新计算检验数,.,.,.,22=-1x22每增加一个单位，目标函数可以减少1个单位。,目标可以减少，说明当前解不是最优解,.,闭回路法调整,选x22进基，找到闭回路x125-x141+x22+x245-,.,X22最多增加5,x125-5x141+5x22+5x245-5,.,X22进基，x12和x24经过调整同时变成零。但是要注意只有一个变量出基。,例如：令x12出基得调整后的运输表为：,.,.,重新计算检验数,.,.,.,.,所有非基变量检验数均非负，当前解为最优解,最优解为：X11*=3，x14*=6，x22*=5，x32*=3，x33*=4，其余xij*=0最优目标值为Z*=32+67+53+34+42=83,.,运输问题数学模型的应用实例,设某制造企业根据合同要求，从当年起需连续三年在年末提供3套型号规格相同的大型设备，已知该厂的生产能力及生产成本如下表所示：,.,生产能力与生产成本表,年度正常生产可加班生产可正常生产完成设备数完成设备数成本(万)第一年23500第二年42600第三年13550设加班生产情况下每套设备成本比正常生产时高70万元,每套设备不及时交货积压一年的维护费用为40万元。该厂现库存有2套设备，希望第三年末完成合同要求后还能储存1台设备，问如何安排生产，才能使总成本最低。,.,解：设xj为初始存货用于第j年交货的设备数,yij为第i年正常生产用于第j年交货的设备数，zij为第i年加班生产用于第j年交货的设备数，cj为初始库存设备第j年交货时每台设备维护费，aij为第i年正常生产到第j年交货的每台设备成本费，bij为第i年加班生产到第j年交货的每台设备成本费。上述生产计划问题的数学模型为：,.,.,记A为正常生产时的费用矩阵,.,B为加班生产时的费用矩阵,C=（0，40，80）,.,生产计划问题的Lingo模型为,MODEL:sets:row/1,2,3/;arrange/1,2,3/:c,x;link(row,arrange):a,b,y,z;Endsetsdata:c=0,40,80;a=500,540,580,0,600,640,0,0,550;b=570,610,650,0,670,710,0,0,620;enddata,.,OBJmin=sum(arrange(j):c(j)*x(j)+sum(link(i,j):a(i,j)*y(i,j)+sum(link(i,j):b(i,j)*z(i,j);sum(arrange(j):x(j)=2;sum(arrange(j):y(1,j)=2;sum(arrange(j):z(1,j)=3;y(2,2)+y(2,3)=4;z(2,2)+z(2,3)=2;y(3,3)