《实变函数论》（基地班）第13讲+补充：+分形集及其维数(2011年).ppt

2020/5/31,数学基地班,1,第7讲,分形集及其维数（补充）,第一章集与点集,2020/5/31,数学基地班,2,一.引言,1.三个著名例子,(I).Cantor三分集,2020/5/31,数学基地班,3,Cantor三分集P0性质,(1),(2),P0是完备集,(3),P0是自相似集,(4),(5),(6),P0是疏朗集,2020/5/31,数学基地班,4,谢尔宾斯基（Sierpinski）垫,在一维的欧几里得度量中，其面积为,2020/5/31,数学基地班,5,Sierpinski三角形的面积:,所以，在传统的Euclid几何里，Sierpinski三角形不可度量,2020/5/31,数学基地班,6,(II).柯赫曲线(Kochcurve),其实在理论数学中,瑞典数学家柯赫(Koch)早在1904年就构造了如今称之为柯赫曲线(Kochcurve)的几何对象.,2020/5/31,数学基地班,7,Koch曲线在(Euclidean)中的长度,2020/5/31,数学基地班,8,Koch雪花,Koch雪花具有:有限面积,无限周长,2020/5/31,数学基地班,9,(III).数学怪物处处连续处处不可导,在一个世纪以前，相继出现了一些被称之为“数学怪物”(Mathematicalmonsters)的东西，人们无法用传统的Euclid几何语言去描述它们的局部和整体性质.,Weierstrass，他于1872年设计了如下一个函数,其中0a1b，且ab1(见下图),2020/5/31,数学基地班,10,2020/5/31,数学基地班,11,2.欣赏自然景物,大自然的景象是,绚丽多姿,鬼爷神工,复杂神奇,2020/5/31,数学基地班,12,蓝天白云下碧波荡漾,2020/5/31,数学基地班,13,碧海涌涛,2020/5/31,数学基地班,14,这种形状怪异的云总是预示着重暴风雨即将来临,我们至今仍无法完全破解它形成的秘密.,乳状云,2020/5/31,数学基地班,15,石林景观,2020/5/31,数学基地班,16,群山峻岭,2020/5/31,数学基地班,17,溶洞奇景,2020/5/31,数学基地班,18,参天古树,2020/5/31,数学基地班,19,惊心动魄,电闪雷鸣,一刹那，天地连通,雷电交加,2020/5/31,数学基地班,20,局部海岸线,2020/5/31,数学基地班,21,花菜,2020/5/31,数学基地班,22,皮蛋花,2020/5/31,数学基地班,23,2020/5/31,数学基地班,24,2020/5/31,数学基地班,25,二.,曼德勃罗特(B.B.Mandelbrot)及其分形定义,1967年曼德勃罗特(B.B.Mandelbrot)在美国科学杂志上发表论文,提出问题：“英国的海岸线有多长?”.,文章中竟然说，按照通常测量长度的方法，英国的海岸线是无穷大！,2020/5/31,数学基地班,26,莫非这位科学家的脑子出了毛病？究竟发生了什么事？,B.B.Mandelbrot,2020/5/31,数学基地班,27,他最初是在英国科学家路易斯理查逊的一篇鲜为人知的文章中遇到海岸线问题的.理查逊曾探索过大量关于自然界复杂现象的问题,并对海岸线和国境线的测量问题感到怀疑,他核查了西班牙、葡萄牙、比利时和荷兰的百科全书,发现这些国家对他们共同的边界长度的估计相差竞达20%!,2020/5/31,数学基地班,28,曼德勃罗特对这个问题发生兴趣,并进行了分析研究,提出“英国的海岸线有多长?”的问题,他对此问题的回答是:海岸线的长度是不确定的!海岸线的长度取决于测量时所用的尺度.为什么是这样呢?,他发现许多事物和现象存在一种自相似性:,局部,整体,形状相似,局部的局部,局部,形状相似,2020/5/31,数学基地班,29,克隆(Clone),7月6日我国首例克隆陕北白绒山羊降生,负责人介绍，经过近一年多努力，今年2月3日，将培育成熟的体细胞克隆胚胎植入代孕母羊子宫内，经过155天发育，于7月6日晚8时58分顺利降生。“亮亮”出生体重为3.4公斤，生理指标均正常，是一只健康的小羊。课题组选择一只产绒量大且绒质好的优秀成年陕北白绒山羊种公羊，在其耳部采集少量皮肤纤维细胞作为供核细胞.,2020/5/31,数学基地班,30,B.B.Mandelbrot.于1973年在法兰西学院讲学期间提出分形几何学思想，认为分形几何学可以处理自然界中那些极“不规则的、支离破碎的不光滑（凹凸不平）”物体，指出分形几何学将成为研究许多物体和现象的有力工具。,1975年冬天创造一个新词fractal.1977年，曼德布罗特出版了奠基性的著作：分形：形、机遇与维数（FractalForm,ChanceandFreeman,Dimension)提出了分形的三要素，即构形、机遇和维数，,2020/5/31,数学基地班,31,1982年又出版大自然的分形几何学（TheFractalGeometryofNature）。,这两部著作的发表标志着分形理论成为一门独立的新兴学科。曼德布罗特的持续奋斗，获得了巨大的成就，赢得了崇高的荣誉。他是IBM公司的高级研究员，哈佛大学应用数学教授，美国国家科学院院士，美国艺术与科学研究院院士。近年来，他获得了许多荣誉奖，获1985年巴纳德奖，以表彰他以科学造福于人类取得新成就；1986年获富兰克林奖；1988年获科学与艺术奖等.2010年去世.,2020/5/31,数学基地班,32,分形定义,K.Falconner对分形F的描述：,1）F具有精细的结构，即是说在任意小的尺度之下它总有复杂的细节；2）F是如此地不规则，以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述；3）F通常具有某种自相似性，这种自相似性可以是近似的，也可能是统计意义上的；4）F在某种意义下的分形维数通常都大与它的拓扑维数；5）F以非常简单的方法定义，或许以递归过程产生.,2020/5/31,数学基地班,33,在理解理分形概念时还需要区别“规则分形”与“随机分形”的不同。尽管在理论上分形对象具有无穷细节，但在现实世界中我们看到的大多是随机分形和近似分形。,2020/5/31,数学基地班,34,三.溯源分形思想,实际上，分形的自相似思想可以追溯到遥远的古代。周易中记载：,无极而太极太极生两议两议生四象四象变八卦,2020/5/31,数学基地班,35,老子在道德经中说：,天下万物生于有，有生于无。道生一，一生二，二生三，三生万物。,2020/5/31,数学基地班,36,古代哲学中记载：,这些都是分形的原始思想,一沙一世界,一花一天国,袖里有乾坤,壶中有日月,2020/5/31,数学基地班,37,山西五台山南山寺的影壁上的诗句,2020/5/31,数学基地班,38,四.分形的测度与维数,从前面的例子可知，若用单位线段的长度去量Cantor集,由于太稀疏，测得的值只能是0.这说明一维尺度对Cantor集来说“太粗”了.同样对于Koch曲线,用一维尺度去量，得到的值将是无穷大，而用单位正方形的面积（二维尺度）去量得到的值却是0，这意味着一维尺度又“太细”了,而二维尺度又“太粗”了.究其原因,不难发现,这里使用的都是整数维的尺度,这对于一些分形集是不合适的.我们为什么不用非整数维的尺度去试试呢?,2020/5/31,数学基地班,39,1.Huasdorff测度,称A是E的一个覆盖,使得,2020/5/31,数学基地班,40,令,显然，若,H,H,则,可证：,且,称为S维Huasdorff测度,2020/5/31,数学基地班,41,命题1,Hn(E)=,特别，,则,2020/5/31,数学基地班,42,命题2,其中,注：,众所周知，长度面积和体积，当比例放在到倍时，它们将相应地,命题2告诉我们，当比例放在到倍时，s维Huasdorff测度则相应放大至,这个比例性质正是分形理论的基础。,2020/5/31,数学基地班,43,2.Huasdorff维数,维数是几何学和空间理论的基本概念，是几何对象的一个重要的特征量。,欧氏几何学的维数,点是0维的;,线段是1维的;,平面图是2维的;,立体图是3维的。,整数维,整维数,坐标,独立变量的数目,2020/5/31,数学基地班,44,要问像雪花、云彩、山脉、江河、树木、花朵、湍流等复杂的自然形态的维数是多少？,回顾前面：,H,2020/5/31,数学基地班,45,H,2020/5/31,数学基地班,46,因此，作为s的函数,Hs（E）只能是如下形式的,分段函数：,Hs（E）,记为,2020/5/31,数学基地班,47,“分数维”也可以从整数维推演出来。,n=4,r=2,先考察整数维：,2020/5/31,数学基地班,48,n=9,r=3,2020/5/31,数学基地班,49,一般地讲，若对长度为1的线段n等分，每段长为r，则,对面积为1的立方体作n等分，每个小立方体的边长为r，则,对面积为1的正方形作n等分，每个小正方形的边长为r，则,2020/5/31,数学基地班,50,上面三个等式中，r的幂次实际上就是该几何体能得到定常度量的空间维数，于是我们有如下公式,两边取对数，我们得到空间维数D的表达式：,2020/5/31,数学基地班,51,3.一些例子,目前已研究出了许多自然分形和人工分形的分数维数（自相似维数）有,Cantor三分集的维数:,Koch雪花曲线的维数:,海岸线的维数:,山地表面维数:,1D1.3,2.1D2.9,2020/5/31,数学基地班,52,河流水系维数:,1.1D1.85,云的维数D=1.35金属断裂的维数D=1.270.02人肺的维数D2.17血管直径分布维数D2.3人脑表面维数2.73D2.79人的脑电图维数1.9D2.4,2020/5/31,数学基地班,53,五.欣赏分形图,1.欣赏一组分形动态图,2020/5/31,数学基地班,54,2.人工描制的美丽分形图,蕨叶,2020/5/31,数学基地班,55,2020/5/31,数学基地班,56,2020/5/31,数学基地班,57,2020/5/31,数学基地班,58,2020/5/31,数学基地班,59,2020/5/31,数学基地班,60,2020/5/31,数学基地班,61,2020/5/31,数学基地班,62,2020/5/31,数学基地班,63,上帝的指纹”曼德勃罗集,曼德勃罗特集是人类有史以来做出的最奇异,最瑰丽的几何图形.这个点集均出自公式,这是一个大千世界,从他出发可以产生无穷无尽美丽图案,他是曼德勃罗特教授在二十世纪七十年代发现的.,2020/5/31,数学基地班,64,2020/5/31,数学基地班,65,2020/5/31,数学基地班,66,2020/5/31,数学基地班,67,2020/5/31,数学基地班,68,2020/5/31,数学基地班,69,2020/5/31,数学基地班,70,六.分形的研究对象、应用及其发展前景,1.研究对象,分形的研究对象是具有自相似性的无序系统，其维数的变化是连续的。,自然界中存在着大量不规则、形态各异的自然形状：,山脉、云彩、树皮、森林、雪花、山岭、地表、河流水系、闪电、电击、火山尘埃岩流、小麦根系、材料断口、冻豆腐、皮蛋图纹、花菜、海绵、蛋糕等等,2020/5/31,数学基地班,71,人体中:人的血脉、肺叶、小肠绒毛、大脑皮层、支气管.,分形指具有多重自相似的对象，它可以自然存在的，也可人造的。毫不夸张地说，人间处处有分形。根据英国儿歌改编的一首小诗可以说明分形的普遍性：,2020/5/31,数学基地班,72,一个分形的人，穿过分形的森林，走过分形的一英里，分形地捡到了一枚分形的六便士。买了一只分形的猫，抓了一只分形的老鼠。,2020/5/31,数学基地班,73,分形的人，分形的猫，分形的老鼠，都挤在分形的小屋里。分形人分形的大脑皮层里，构思着分形猫分形地吞下分形老鼠,2020/5/31,数学基地班,74,连曼德勃罗特本人也叹道：“我们不可避免地引进分形维数的概念，直到现在，这一概念只是一小群数学家的财富，他们都相信它不可能有具体的应用。”然而就是这个“不可能具体应用”的概念，很快被更多的科学家所接受，不仅被应用了，而且形成了一门新学问碎片几何。,2020/5/31,数学基地班,75,B.B.Mandelbrot的开创性工作导致分形理论的建立分形理论具有极强的概括力和解释力，是一个非常深刻、有价值、让人着迷的理论，是近四十年来科学前沿领域最重要的概念之一。她的价值和魅力激发了各个领域科学家的极大兴趣.,2.发展前景,2020/5/31,数学基地班,76,根据美国科学情报研究所的计算机的统计显示，世界上1257种权威学术刊物，在八十年代后期发表的论文中与分形有关的文献占37.5。分形这一概念涉及哲学、自然科学和社会科学，并对各学科产生重大的影响，以新的驱动力有效地推动各学科的新发展。这项关系重大的研究工作在我国发展的特点是理论与应用齐头并进，一开始就注意到理论基础研究与实际应用问题相结合，因而更显示出巨大的生命力。,2020/5/31,数学基地班,77,分形几何的诞生才不过30多年，但它对多种学科的影响是极其巨大的.卷入分形狂潮的除数学家和物理学家外，还有化学家、生物学家、地貌学与地震学家、材料科学家等，在社会科学与人文科学方面，大批哲学家、经济学家、金融学家乃至作曲家、画家和电影制作家都蜂拥而入.著名的电影“星球大战”就是用分形技术创作的.由于分形的最重要特征是自相似性，所以信息科学家对其情有独钟，分形图像压缩被认为是最具前景的图像压缩技术之一，分形图形被认为是描述大自然景色最诱人的方法,2020/5/31,数学基地班,78,正如美国著名物理学家惠特勒（Whitler）所说：“可以相信，明天谁不熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人！”在某些分形网站，赫然写着：“分形学，21世纪的数学”，这并不是什么无稽之谈.总之，在世界正经历着深刻而巨大变化的当今，分形理论将为满足人们开拓视野，启迪思维，更新观念，激发智慧的强烈愿望作出应有的贡献。,2020/5/31,数学基地班,79,3.分形有哪些应用?,应用领域遍及数学、物理、化学、生物、医学、冶金、材料、信息、天文、地震、地理、气象、地质、经济、管理、社会科学等，甚至在艺术领域（电影、美术、音乐）也有其应用。分形理论之所以有这么广泛的应用，关键在于提供了一种崭新的研究方法和思维方式。,2020/5/31,数学基地班,80,既然人间处处有分形，那么也就有极其广泛的应用。在物理学方面的应用：各种凝聚状模型；表面界面生长动力学；湍流;材料力学：断裂;在天文学方面的应用星云的分布；月亮上的“火山口”；电击穿中的分形特征:雷闪电;其它绝缘体；电击穿时所形成的图案在生命科学和医学方面的应用,2020/5/31,数学基地班,81,人的肺；生物血管的分布；肿瘤的边界;人体科学的经络理论由主动脉到动脉到毛细血管，形成了一种分形结构。它们分枝再分枝，由于生理上的需要，血管必须进行维数的变化，正像“科和雪花”可以把无限长的曲线挤入一个小的面积中，循环系统必须把巨大的面积挤入有限的体积中。分形结构所设计的工作是如此有效，血管和血液只占了极少的空间，还不到人体的5%。,2020/5/31,数学基地班,82,人的肺；生物血管的分布；肿瘤的边界;人体科学的经络理论由主动脉到动脉到毛细血管，形成了一种分形结构。它们分枝再分枝，由于生理上的需要，血管必须进行维数的变化，正像“科和雪花”可以把无限长的曲线挤入一个小的面积中，循环系统必须把巨大的面积挤入有限的体积中。分形结构所设计的工作是如此有效，血管和血液只占了极少的空间，还不到人体的5%。,2020/5/31,数学基地班,83,在地球科学方面的应用：地形地貌；河流山川;树木树林；地质勘探;地震在信息论方面的应用：分形编码与