数学模型姜启源第五章微分方程模型.ppt

动态模型，描述对象特征随时间(空间)的演化过程，分析对象特征的变化规律，预测对象特征的未来行为，研究控制对象特征的手段，根据函数之间的关系及其变化率确定函数，建立微分方程，根据建模目的和问题分析进行简化假设，根据内部规律或类比建立微分方程，5.1传染病模型，问题，描述传染病的传播过程。 分析了感染者的变化规律，预测了传染病高潮的到来时间，建立了预防传染病传播的手段。 根据扩散过程的一般规律，采用机理分析方法建立模型。受感染者(患者)的数量i(t)，每个患者每天有效接触(足以使人生病)的数量是，模型1，假设如果有效接触是患者，患者的数量不能增加，模型、模型2，区分受感染(患者)和未受感染(健康人)，假设1)总人数n是常数，患者与健康人的比率分别是，2)每个患者的有效每日接触数量是， 并使健康人接触了SiX，建模，日接触率，si模型，模型2，tm传染病高潮的到达时间，(日接触率)tm，病人就可以痊愈了！ 什么？t=tm，di/dt最大值，模型3，传染病免疫例患者治愈后成为健康人，健康人可再次感染，增加假说，SIS模型，3)患者每日治愈率为，日治愈率，建模，日接触率，1/感染期，每个患者在一个感染期内的有效接触数，称为接触数。在模型3中，接触者的数量=1 阈值，在感染期间有效暴露于感染的健康人的数量不超过患者的数量，模型2(SI模型)如何能被视为模型3(SIS模型)的特殊情况，以及模型4，具有免疫的传染病患者在被治愈后立即从感染系统中移除，称为转移者，SIR模型，假设1)总数n不变， 患者、健康人和转移者的比例分别为，2)患者的每日接触率、每日治愈率、接触次数=/、建模、待建立的两个方程、模型4、SIR模型、模型4、SIR模型、相轨迹域、相轨迹在D中的图形、分析、模型4、SIR模型、相轨迹及其分析、s(t)方向单调相轨迹减少，P 1:1/I(t)先上升后下降到0。 P2:s01/i(t (t)单调下降到0，1/阈值，模型4，SIR模型，意味着防止传染病传播，(每日接触率)卫生水平，(每日治愈率)医疗水平，传染病不传播的条件s0T，c1(t)和c2(t)根据指数规律趋于零。3.口服或肌肉注射相当于药物(剂量D0)首先进入吸收室。吸收后，吸收室中的药物量x0(t)、参数估计、不同给药模式下的C1 (t)和C2 (t)取决于快速静脉注射D0的参数k12、k21、k13、V1、V2、t=0。C1(t1)在t1(I=1，2，n)测量。较大的一个使用最小二乘法a，较小的一个使用最小二乘法b，参数估计，过滤器的效果与其材料和长度有什么关系，哪些因素与人体吸入的有毒物质的量有关，哪些因素影响它，模型分析，分析吸烟时有毒物质进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型。想象一个“机器人”在典型的环境中吸烟。吸烟方式和外部环境被认为没有变化。，问题，5.5香烟过滤嘴的功能，模型假设，定性分析，1)l1烟草长度，l2过滤嘴长度，l=l1 l2，中毒量M均匀分布，密度w0=M/l1，2)点燃时进入空气中并随香烟传播的中毒量的比率为a:a，a=1，3)未点燃的烟草和过滤嘴对随烟传播的中毒的吸收率(单位时间)分别为b和b，4)烟沿香烟传播的速度为常数v， 香烟燃烧速度是一个常数u，vu，Q进入人体的香烟毒物总量，建立模型，t=0，x=0，香烟点燃，q(x，t)毒物流速，w(x，t)毒物密度，1) q (x，0)=q (x)，在时间t，香烟燃烧到x=ut，1) q(x，0)=q(x)，2) q(l，t)，3) w(ut，t)，4) q被计算，并且2)过滤因子，L2 负指数效应，是吸入量的毒物集中在x=l1，3)(R)-烟草吸收效应，b，l1线性效应，有过滤和无过滤，结果分析，4)与另一根没有过滤的香烟相比，w0，b，a，v，l都一样，吸到x=l1并扔掉。 增加-B和延长l2具有相同的效果，5.6人口预测和控制，年龄分布对于人口预测的重要性，仅考虑自然出生和死亡，不包括迁移，人口发展方程，人口发展方程，一阶偏微分方程，人口发展方程，已知函数(人口调查)，生育率(人口控制手段)，生育率分解，总生育率，H-生育率模式，人口发展方程和生育率。总生育率控制生育数量，生育率控制生育的时机和密度，正反馈系统，滞后效应很大，人口指数1)总人口，2)平均年龄，3)平均寿命，按(r，t)计算的平均生存时间为出生时间t，4)老化指数，生育率控制，N(t)不太大，控制(t)不太高，5.7烟雾扩散和消失，现象和问题，炮弹在空气中爆炸，烟雾四处扩散，不透明区域继续扩大，然后该区域的边界逐渐变亮，该区域缩小，最后烟雾消失。建立了描述烟雾扩散和消失过程的模型，分析了消失时间与各种因素的关系。二阶偏微分方程用于描述烟气浓度的变化。观察到的烟雾消失与烟雾对光的吸收以及仪器对光线和阴影的敏感度有关。该模型假设1)烟雾在无限空间中扩散，不受地球和风的影响；扩散遵循热传导定律。(2)穿过烟雾的光强度的降低与烟雾的浓度成正比；无烟环境不影响光线强度。(3)穿过烟雾进入仪器的光只能分为明暗两种，明暗界限由仪器的灵敏度决定。，建模，1)烟气浓度变化规律，热传导规律：单位法向面积单位时间内的流量与浓度梯度成正比，欧拉公式的表面积分，1)烟气浓度变化规律，初始条件，Q炮弹释放的烟气总量，单位强度点源函数，任意t的等效表面，C是球面x2 y2 z2=R2；RC，仅当t，对于任何一点(x，y，z)，C0，1)烟雾浓度的变化规律，2)光强度通过烟雾的变化规律，光强度的降低与烟雾浓度成正比，3)仪器的灵敏度与烟雾的明暗边界成正比，烟雾浓度不断变化，烟雾中的光强度不断变化， 如果光源设置在Z=-，仪器设置在Z=，观察到的明暗边界是，不透明区域的边界，4)不透明区域边界的变化规律，对于任何T，不透明区域边界是圆周，不透明区域边界半径，结果分析，观察到的不透明区域边界达到最大时间t1，烟雾消失时的预测时间T2，58000重力定律的发现，背景，航海工业的发展，精确的天文观测，“地心说”动摇， 哥白尼：“日心说”，伽利略：落体运动，开普勒：行星运动的三个定律，变速运动的计算方法，牛顿：所有运动都有力学原因，牛顿的三个运动定律，牛顿：研究变速运动，微积分的发明(流数法)，开普勒的三个定律，牛顿第二运动定律，万有引力定律，自然科学之数学原理 (1687)，模型假设，极坐标系统(R)，孙(0，