《光纤通信原理》.ppt

1,光纤通信原理,主讲：陈凡,2,为了便于学习，本教材首先简单介绍必须掌握的电磁场理论和光学有关的基本概念。这部分的主要内容是：电磁场的基本方程式；电磁波的波动现象；简谐时变场的波动方程；均匀平面波的一般概念；平面波在两介质交界面的反射和折射；全反射现象；导行波的概念。,预备知识,3,第一节两种基本的研究方法,分析光纤导光的原理有两种基本的研究方法：一、几何光学方法又称射线理论法。采用这种方法的条件是，光波波长要远小于光波导（光纤就是一种光波导）的横向尺寸。这样就可以近似认为光波波长为零（0），于是，光的衍射现象可以忽略，光的发散角可近似为零。从而，可将光看成为一条射线。几何光学方法就是基于这种观点，对光射线在光波导中的传播、反射、折射等问题进行分析。显然，这种分析方法具有直观、简单的优点。,4,二、波动光学方法又称波动理论方法。这种方法的根据是：认为光波是一种波长很短的电磁波（如在第一章第一节中所述）因此，所谓波动光学方法，就是根据电磁场理论对光波导的基本问题进行求解，显然，相对于几何光学方法来讲，这种方法是一种较为严格、全面的分析方法。当然，也是一种很烦的分析方法。,5,第二节电磁场的基本方程式,光波既然是一种电磁波，那么，它必然服从电磁场的基本规律。而一切宏观电磁现象应遵循的基本规律又是麦克斯韦方程式，因此，光波在光导纤维中传播问题一定服从麦克斯韦方程即电磁场的基本方程式。,6,由物理的电磁学知识知道，麦克斯韦方程式的积分形式（即在一个范围内应满足的规律）为：（0-1）（0-2）（0-3）（0-4）,7,利用高斯散度定理和斯托克斯公式，可将上述积分形式，推导为麦克斯韦方程式的微分形式（即在一个点上应满足的规律）。它为：（0-5）（0-6）（0-7）（0-8）,8,式中E电场强度矢量，单位是V/m。H磁场强度矢量，单位是A/m。B磁感应强度矢量，单位是Wb/m2。D电位移矢量，单位是c/m2。J电流密度矢量，单位是A/m2。电荷密度，单位是c/m3。在微分形式中旋度。散度。,9,方程组中，各式的物理意义为式（0-1）与式（0-5）表示电场随时间变化将产生变化磁场，称为全电流定律。式（0-2）与式（0-6）表示变化的磁场将感应出变化电场，称为电磁感应定律，又称法拉第定律。式（0-3）与式（0-7）表示磁力线是闭合的，无头无尾的，称为磁通连续性定理。式（0-4）与式（0-8）表示电位移矢量与源之间的关系。称为高斯定理。,10,上述方程式中，对于各向同性的媒质，D和E，B和H存在如下关系D=E（0-9）B=H（0-10）式中称为介质的介电常数，是不随时间及空间变化的标量。称为介质的磁导率，是不随时间及空间变化的标量。当时变电磁场随时间作简谐（正弦或余弦）规律变化，则麦克斯韦方程式表示为复数形式。,11,复数形式麦克斯韦方程的积分形式为：（0-11）（0-12）（0-13）（0-14）,12,复数形式麦克斯韦方程的微分形式为：（0-15）（0-16）（0-17）（0-18）由上述各表达式看出，在电磁场随时间作简谐变化条件下，麦克斯韦方程式中没有时间因子t项，这样E、H场量中原来的四个变量（x，y，z，t）中时间变量t被隐去。显然，这样做对问题的分析带来了便利。,13,电磁波在各向同性、无源的均匀介质中传播时，因复数形式麦克斯韦方程的微分形式中，这时，方程式就为如下形式：（0-19）（0-20）（0-21）（0-22）（注：上述表达式中利用了及的关系)显然，光在光导纤维中传播时，光波中的E和H，应满足上述这种关系式。当然，这种关系是不便于求解的，因为在表达式中既有E又有H。还需进一步推导，这就是下一节将要讨论的问题。,14,第三节电磁波的波动现象,由麦克斯韦第一个方程式看出时变电场可以产生时变磁场；第二个方程式则是，时变磁场可以产生时变电场。当然，这个新产生的时变电场又将产生时变磁场；这个时变磁场又将产生时变电场。如此这样不断地循环下去，电场和磁场之间就这样互相激发，互相支持。显然，在这种过程中，电磁场就可以脱离最初的激发源，而由时变电场和时变磁场互相激发像波浪一样一环一环的由近及远地传播出去，形成了电磁波的传播现象。光在光导纤维中的传播，正是电磁波的一种传播现象。,15,第四节简谐时变场的波动方程亥姆霍兹方程,上一节是从物理概念来解释电磁波的传播现象。但是，如果要定量讨论电磁波的传播，正如前一节所讲，就需要根据麦克斯韦方程式推导出只用E和H表示的波动方程式。当所研究的电磁场随时间作简谐变化，则这时的波动方程就称为亥姆霍兹（Helmholtz）方程式。推导这个方程的条件是：无源空间，介质是理想、均匀、各向同性而且电磁场是简谐的。推导这个方程的根据是无源复数形式麦克斯韦方程的微分形式（0-19）（0-22）式。,16,将式（20）两边取旋度，有等式左端：根据矢量恒等式可得又因是无源，故E=0，因此等式右端：将式（0-19）代入上式，可得,17,综合上面等式左端、右端推导的结果，最后得到：若令（0-23）则有（0-24）同理，以式（0-19）为基础，经过类似的推导，可得：（0-25）式（0-24）、式（0-25）就是著名的亥姆霍兹方程式。光在光波导（如光导纤维）中传播就应满足这个方程。,18,式中k的物理意义是电磁波在自由空间传播时的相位常数，即电磁波每传播单位距离产生的相位变化。算符2称为拉普拉斯算子，它是一个运算符号，在不同坐标系中，2的展开式不同。在直角坐标系中2算子为它是一个三维、二阶、偏微分运算符号。,19,第五节均匀平面波的一般概念,在均匀介质中能够存在均匀平面波。所谓均匀平面波是指在与传播方向垂直的无限平面的每个点上，电场强度E的幅度相等、相位相同，磁场强度H的幅度也相等、相位也相同。或者说，这种波的等幅、等相位面是无限大的平面。用直角坐标系把这些含义用图画出来，即如图0-1所示。从图0-1中可以看出，E和H与坐标x，y无关，也就是在沿x和y方向上，矢量E和H是不随x和y的位置改变而改变。即,20,均匀平面波在均匀理想介质中的传播特性，可通过以下三个参量来描述。1.传播速度v平面波的传播速度是指在平面波的传播方向上，等相位面的传播速度，故又称为相速。（0-26)由前面得知所以平面波的传播速度可用介质的参量、表示,21,2.波阻抗Z由图1中所示的电场强度仅有x分量，而磁场强度仅有y分量，电场Ex和磁场Hy之比所得到的Z具有阻抗的量纲，称为波阻抗。若平面波是在自由空间中传播，则称为自由空间的波阻抗，用符号Z0来表示，它为它是个纯阻。,22,3.相位常数k由式（0-26）可得出而，于是上式可写为它代表了在单位长度上相位变化了多少，我们称之为相位常数。也称为波数。如果平面波是在折射指数为n的无限大的介质中传播，则由（0-26）式得出,23,而v是表示平面波在该介质中的传播速度，则而所以均匀平面波是一种非常重要的波形，这是因为一些复杂的波形均可由平面波的叠加而得到。,24,第六节平面波在两介质交界面的反射和折射,后面讨论光波在介质薄膜波导以及在光导纤维中的传输特性时，经常要遇到平面波向两种介质的交界面斜射的问题，所以在这一节里要首先研究一下，在这种情况下将发生什么现象？有什么规律？为后面几章的分析打下基础。如图0-2，有两个半无限大的介质，其介质参数分别为1，1，和2，2。x=0的平面为其交界面，介质交界面的法线为x方向。这两种物质都是各向同性的。,25,平面波沿k1方向由介质I射到两介质的分界面上，这时将产生反射和折射。一部分能量沿k1方向反回原来的介质，这称为反射波；一部分能量沿k2方向进入第二种介质，称为折射波。入射线、反射线、折射线各在k1，k1，k2方向，1，1，2为入射线、反射线、折射线与法线之间的夹角，分别称为入射角、反射角和折射角。反射和折射的基本规律是由斯奈耳定律和菲涅尔公式表示的，下面我们给出最后结果。,26,一、斯奈耳定律,斯奈耳定律说明反射波、折射波与入射波方向之间的关系。由图0-2看出，入射线、反射线、折射线在同一平面内1，1，2之间的关系为1=1，（0-27）n1sin1=n2sin2(0-28)式（0-27）叫做反射定律，式（0-28）叫做折射定律。,27,折射定律式中的n代表介质的折射指数。其物理概念是：光波在不同介质中传播时，其速度不同，在真空中的传播速度最快，而在其它介质中传播的速度要比在真空中慢。光在真空中传播的速度与在介质中传播的速度之比，定义为介质的折射指数（或称折射率)，用符号n表示。由公式可知，n越大的介质，光波在其中传播的速度越慢。反射定律确定了反射角和入射角的关系；折射定律确定了折射角和入射角的关系。这是两个十分重要的定律，分析光射线在介质波导中传播时，就要应用反射定律和折射定律。,28,二、菲涅尔公式,菲涅尔公式表明反射波、折射波与入射波的复数振幅之间的关系。如设E01，E01，E02为入射波、反射波、折射波在介质分界面的复数振幅。现引进反射系数R与折射系数T来表示E01，E02，与E01之间的关系。（0-29）（0-30）,29,式中R和T都是复数，包括大小及相位。|R|和|T|是反射系数和折射系数的模值，分别表示反射波、折射波与入射波的大小之比；21和22是反射系数和折射系数的相角，分别表示在界面上反射波、折射波比入射波超前的相位。为了分析问题方便，常将平面波分成水平极化波和垂直极化波来讨论。电场矢量与分界面平行的平面波叫做水平极化波；磁场矢量与分界面平行的平面波叫做垂直极化波。它们的入射波、反射波、折射波场矢量的极化方向如图0-3所示。水平极化波和垂直极化波的反射系数和折射系数是不同的，下面分别给出两种极化情况下的反射系数和折射系数的表示式。,30,水平极化波（0-31）（0-32）垂直极化波（0-33）（0-34）,31,根据折射定律，可用入射角1表示折射角2（0-35）结论：平面波入射到两介质分界面时，将产生反射和折射现象，它们的基本规律是由斯奈耳定律及菲涅尔公式决定的。水平极化波与垂直极化波的反射系数和折射系数不同，但是它们都是由介质参数n1,n2及入射角1决定的。,32,第七节平面波的全反射,全反射是一重要的物理现象。当光射线由折射率大的物质（n1）射向折射率小的物质（n2）时，射线将离开法线而折射，即折射光线靠近两种物质的界面传播。如图0-2所示，当n1n2时，21，如果进一步增大入射角1，则折射角2也随着增大。当入射角增加到某一值时，折射角2将可达到90o。也就是说，这时折射光将沿界面传播。若入射角1再行增大，光就不再进入第二种介质，入射光全部被反射回来。这种现象称为全反射。,33,我们把折射角刚好达到90o时的入射角称为临界角，用c表示。利用折射定律可得出（0-36）阶跃光纤所取的结构就是使入射光在光纤中反复地通过上述全反射形式，闭锁在其中向前传播。由上所述，即可得出全反射的条件是,34,第八节导行波和辐射波,由前面的概念可知，入射波投射到两种介质分界面时，将产生反射波和折射波，实际上它们是一个统一体，是一个波型的两部分。为了使后面几章内容分析方便，在这一节中将分别讨论在全反射情况下两种介质中波的传输情况，在此基础上，引出导行波和辐射波的概念。一、介质I中的波现分别讨论水平极化波和垂直极化波两种情况。1.全反射情况下，水平极化波的反射系数,35,经推导可得（0-38）化简后，即得到由于对照后，可知（0-39）（0-40）,36,这即是：全反射，在水平极化情况下，反射系数的模|R|及相角21应满足的关系式。2.全反射情况下，垂直极化波的反射系数同上所述，把（37）式代入（33）式，可得出此时反射系数的模值|R|=1（0-41）反射系数的相角（0-42）可以看出，垂直极化波在全反射情况下，反射系数的模值与水平极化波反射系数的模值相同，但其相角不同。,37,3.介质I中的合成波介质I中既有入射波，又有反射波，合成应为二者的叠加。下面以水平极化波的电场分量为例，讨论合成波的特点。（1）合成波表达式的推导。设入射波、反射波、折射波的电场强度表示式各为式中k波矢量，它既有数量|k|，又有方向，如在均匀介质中传输，则为一常矢量。r矢径，代表某点的位置矢量。其方向是从坐标原点到该点的方向，其模值表示介质中某点到原点间的距离。,38,入射波的波矢量k1在x和z方向的分量为k1x和k1z，反射波的矢量k1在x和z方向的分量为-k1x和k1z如图0-4所示。而且在全反射条件下E01=E01，由此，可将上式写为（0-43）（0-44）式中E01入射波或反射波的复数振幅。k1x入射波的波矢量在x方向的分量。（0-45）k1z入射波的波矢量在Z方向的分量，通常可用轴向相位常数来表示。,39,由于我们分析的是水平极化情况，E01和E01都是处在垂直于入射平面的，因此，合成波应为二者的叠加。E=E01+E01将式（43）、式（44）代入上式，得根据欧拉公式，将上式中方括号内的指数表达式化为余弦形式，得（0-47）此式即为在全反射情况下，介质I中合成波的表达式。,40,（2）合成波表达式的分析。式（0-47）中包含两项：第一项cos(k1xx+1)是合成波表达式的幅度中的一部分，由物理的波动学知道，这是一种驻波的形式，说明合成波沿X方向按三角函数规律变化，呈驻波分布；第二项，在表达式中是相位成分，可看出相位随z增加而落后，即相位随传播距离Z的增大而越落后。显然表示是一个沿Z传播的成份。即沿Z是呈行波状态。结论：在全反射情况下，介质I中的波是沿Z方向传播的。,41,二、全反射情况下，介质II中的波1.介质II中波的表达式的推导现仍以水平极化波为例来进行分析。由图0-2可知，在介质II中只有折射波E2。折射波的复数振幅E02，可从式（30）中得出将此式代入E2，并将k2分解成k2x、k2z，得（0-48）下面对式中各项分别进行讨论。,42,（1）T为折射指数。将式（0-37）代入式（0-30），可得全反射时T的表示式为将上面的复数形式写为模和幅角的指数形式对照式（0-40）可写为,43,又根据三角函数关系及式（36），可得将这种关系代入上式，有（0-49）从式（0-49）中看出，折射系数的模值为折射系数的相角1，恰好等于反射波相移的一半。,44,（2）k2x为折射波的波矢量在x方向的分量。将式（0-37）代入上式将提到根号外面，得（0-50）,45,（3）k2z为折射波的波矢量在Z方向的分量根据折射定律上式可写为对照式（0-46）得到（0-51）（4）将式（0-50）代入式（0-48）中的第一项。令（0-52）则（0-53）,46,（5）将式(0-53)代入式（0-48），（0-54）此式即为在全反射情况下，介质II中水平极化波电场分量的表示式。2.介质II中波的表达式的分析从式中可得出以下两个结论：（1）式中包含两个因子，随Z方向变化的相位因子为，它说明沿Z方向呈行波状态，其相位常数k2z与介质I中的相位常数相同。说明介质I中的波和介质II中的波是一个统一波型的两部分，它们用同样的速度沿Z方向传播。,47,（2）随x方向变化的因子是，它是描述幅度情况的因子。说明介质II中波的幅度随离开界面的距离越远而呈指数式的减少，减小的速度以参量a来决定，称为x方向的衰减常数。三、导行波通过上面讨论看出，在全反射的情况下，介质I和介质II中的波，是由两部分构成的，或者说，是一个波型的两部分。沿Z方向：它们都是以同样的相位常数在传播；,48,沿X方向：介质I中电磁波的幅度按三角函数规律变化，呈驻波分布；而在介质II中则按指数规律衰减。其衰减速度决定衰减常数a，如式（0-52）所示。a越大,衰减越快。也可用穿透深度d来说明衰减的快慢，它说明电磁波渗入介质II中的程度。（0-55）当衰减常数a足够大时，d很小，介质II的波将只存在于介质I表面的附近，所以称为表面波。又因为它是沿与界面平行的方向传播，又被介质表面所导行，因而也叫导行波，简称为导波。,49,导波在光纤通信中是重要研究的波型。因为各种光波导的传导波都属于这一类。四、辐射波平面波入射到两介质分界面，当n1n2，而1n2，这样使得纤芯和包层中的场有一定差别。,80,对于导波：则在纤芯中：包层中：因此，纤芯中的方程可化为标准的贝塞尔方程，而包层中的方程，可化为标准的虚宗量的贝塞尔方程，得出R(r)的解答式为（3-10）（d）得出Ey的表示式将（3-10）式代入式（3-8），得出（3-11）,81,如令则常数A1和A2可根据边界条件求出，为将以上关系代入式（3-11），得出（3-12）此式即为横向电场Ey的解答式。,82,此式表明：Ey是沿z方向传播，其相位常数为，沿圆周方向按cosm规律变化（或按sinm),沿半径方向，在纤芯中按贝塞尔函数规律振荡，在包层中按第二类修正的贝塞尔函数规律衰减。4）根据麦氏方程中E和H的关系，可得出横向磁场Hx的解答式。由麦氏方程中可知为自由空间波阻抗。芯子和包层中的波阻抗，分别为和，则Hx的表示式为,83,将（3-12）代入，经过推导后可得出（3-13）式中均省略了e-jz因子。5）根据电场和磁场的横向分量，可用麦氏方程求出轴向场分量Ez和Hz的解答式。由麦氏方程可得出,84,将式（3-12）和式（3-13）代入上面Ez式和Hz式中，经过整理，得出以下四个解答式。纤芯中轴向电场分量Ez1的表示式为（3-14a）纤芯中轴向磁场分量Hz1的表示式为（3-14b）,85,包层中轴向电场分量Ez2的表示式为（3-14c）包层中轴向磁场分量Hz2的表示式为（3-14d）到此，一共推导出了标量解的六个场分量（Ey，Hx，Ez1，Hz1，Ez2，Hz2）的表示式。,86,（3）场方程中参量符号的含义。1）导波的径向归一化相位常数U。它定义为（3-15）表明在纤芯中，导波沿径向场的分布规律。2）导波的径向归一化衰减常数W。它定义为（3-16）表明在光纤包层中，场的衰减规律。3）光纤的归一化频率V。由U和W可引出光纤的一个比较重要的参量V。,87,U和W的平方和为由于所以令则（3-17）,88,它是一个直接与光的频率成正比的无量纲的量，通常称为归一化频率。它决定于光纤的结构参数，纤芯半径a，纤芯及包层的折射指数n1和n2，以及自由空间波数。3.标量解的特征方程要确定光纤中导波的特征，就需要确定参数U，W和。式（3-15）和式（3-16），已给出了有关U，W和之间的两个关系式，还需要再找出另一个关系式，这就是特征方程。用波动理论去求特征方程，就是利用边界条件，令场的表示式满足边界条件，即可得到特征方程。下面利用边界条件之一，即在纤芯和包层的交界r=a处，电场的轴向分量连续，来求出特征方程。,89,由于Ez1=Ez2，将式（3-14a）和式（3-14c）代入此边界条件，得出此式要在任意值上成立，就必须使等式两端包含sin(m+1)的项和包含sin(m-1)的项的系数分别相等，于是可得到下面两个等式,90,对于弱导波光纤，n1n2，可以忽略它们之间微小的差别，则上式可写为（3-18a）（3-18b）此式即为弱导波光纤标量解的特征方程。利用第一类贝塞尔函数与第二类修正的贝塞尔函数的递推公式，可证明这两个式子相等。这样，可任选其中之一，取式（3-18b）为标量解的特征方程。,91,4.阶跃光纤标量模的特征（1）标量模的定义。上面用标量近似解法推导出了阶跃光纤的场方程和特征方程，这种解法只适用于弱导波光纤，因为只有在这种情况下，光纤中传播的波才可近似看为是TEM波。它具有横向场的极化方向保持不变的特点。对于弱导波光纤，已假定了其横向场的极化方向保持不变，因此可认为它的横向场是线极化波，以LP表示。LP模的名称来自英文LinearlyPolarizedmode，即线性偏振模的意思。在这种特定条件下传播的模式，称为标量模，或LPmn模。下标m和n的值，表明了各模式的场模型特征。一般来说模式的下标m表示该模式的场分量沿光纤圆周方向的最大值有几对，而下标n表示该模式的场分量沿光纤直径的最大值有几对。不同的m、n值，即对应着不同的模式。,92,（2）用标量解法得出的模式是简并的。不同的模式，有不同的场结构。但如果它们具有相同的传输常数时，就认为这些模式是简并的。在弱导波光纤中，不同模式，只要它们以相同的值沿轴向传输，即表明这些模式是简并的。在前面分析场方程时，只讨论了横向场Ey分量，事实上，在横截面上还存在Ex分量，还可得出一个Ex的线极化模式，而方程中的()又可取两种分布，即，这样就又出现了两种模式，因此，在弱导波光纤中，可有相同传输常数的四个模式存在，也就是用一个标量解可得出四个简并模。,93,对于阶跃光纤标量模的特性，应该运用标量解的特征方程，解出方程中U（或W），从而确定传输常数，分析其传输特性。但式（3-18b）是一个超越方程，须用数字法做计算，十分烦琐，因此只讨论它在截止和远离截止两种特殊条件下的特性。（3）截止时标量模的特性。1）截止的概念。与薄膜波导的情况相同，当光纤中出现了辐射模时，即认为导波截止。导波，应限制在纤芯中，以纤芯和包层的界面来导行，沿轴线方向传输。这时在包层内的电磁场是按指数函数迅速衰减的。如果导波的传输常数为，由全反射条件下，90o1c,94,两边取正弦即等式两端均乘k0n1式中。因此，导波传输常数的变化范围为当时，对应于，显然这时电磁场能量已不能有效地封闭在纤芯内，而向包层辐射。这种状态称为导波截止的临界状态。,95,当时，辐射损耗将进一步增大，使光波能量不再有效地沿光纤轴向传输，这时，即认为出现了辐射模，导波处于截止状态。2）截止时的特征方程。由于传输常数是导波截止的临界状态，因此可通过式（3-16）求出截止时归一化径向衰减常数为（3-19）为了使前面得到的特征方程，在W0的情况下得到简化，根据数学知识知道，特征方程中的Km(W)可用如下的近似关系来代替：,96,由上面近似式可以看出，无论m为何值时，特征方程式（3-18b）的右端均为零，即于是可得出，在截止情况下，无论m为何值，都有当U0时，要使此式成立，则必须（3-20）此式即为截止时的特征方程。3）截止情况下，LPmn模的归一化截止频率V。导波截止时，所对应的归一化径向相位常数和归一化频率用Uc和Vc表示。由前面得知,97,则截止时将式（3-19）代入，得出即（3-21）即导波在截止状态下的归一化径向相位常数Uc与光纤归一化截止频率Vc相等。如果求出了Uc值，即可知Vc，也就决定了各模式的截止条件。前面已求出，当U0时，截止时的特征方程为Jm-1(U)=0满足此关系的U值，就是m-1阶贝塞尔函数的根植，这个根植一般用mn表示。mn是m阶贝塞尔函数的n个根植。m是贝塞函数的阶数；n是Jm-1(U)=0根的序号，即是指第几个根。,98,联系到前面分析弱导波光纤各分量的解答式，即式（3-12）式（3-14）各式，则不同的m和n值，将对应于场不同分布情况，故可以说，对应于不同的LPmn模式。将以上各值列于表（3-1）中，即为截止情况下LPmn模的归一化截止频率Vc值。而模式的传播条件是：VVc可传，VVc截止，因此，当模式的归一化频率值V=Vc时，则该模式截止。由表3-1中看出，当m=0，n=1的LP01模的Uc=Vc=0,说明此模式在任何频率都可以传输，即LP01模的截止波长最长。在导波系统中，截止波长最长的模是最低模，称为基模，其余所有模式均为高次模。在阶跃型光纤中，LP01模是最低工作模式，LP11模是第一个高次模。,99,因此，要保证均匀光纤中只传输单模时，则必须抑制住第一个高次模，即0VC，大多数模式将远离截止。因此，当V时的这种极限情况，可认为是模式远离截止时的状态。下面分析在这种情况下标量模的特性。2）远离截止时，标量模的特征方程。,101,由于此时k0n1，将它代入式（3-16），可得其中，因此W。这时m阶第二类修正的贝塞尔函数Km(W)可用大宗量情况下的近似式将它代入式3-18b，得出,102,要使得此关系式成立，则必须Jm(U)=0（3-22）此式即为远离截止时，标量模的特征方程。3）远离截止时，LPmn模的U值。式（3-22）中的U值是m阶贝塞尔函数的根，一般用mn表示，即U=mn。m是贝塞尔函数的阶数，n是Jm(U)=0的根的序号。一组m和n值有一个相应的mn，即对应着一个U值，也就对应着一个模式。由贝塞尔函数知识知道，对于一个给定的m值，它所对应的根不是一个而是一族。利用远离截止时的特征方程，在不同的m值情况下，即可求出所对应模式的一族根植。,103,将以上各值列于表3-2中，即为远离截止时，LPmn模的U值。以上是V时的情况。此时光能完全集中在芯子中，包层中没有能量。5.阶跃光纤中的功率分布计算各LP模在纤芯和包层里所占功率的百分比是有实际意义的。对于某一个模式来说，其中电磁场能量在理想情况下应被封闭在纤芯中沿轴向传输。但实际上，在纤芯和包层的界面处，电磁场并不为零，而是由纤芯中的振荡形式转变为包层中的指数衰减。因此，要传输的导波能量大部分是在纤芯中传输，而有一部分则在包层中传输。功率在纤芯和包层里所占比例的大小和该模式的截止频率有关。当V时，它的能量将聚集在纤芯中；当VVC时，能量的大部分是在包层里，这时的导波将成为辐射模。,104,通过计算各模式在纤芯和包层里的功率可以看出能量在纤芯中集中的程度，计算方法是将沿轴线方向的坡印亭矢量，分别在光纤的芯子和包层的横截面上进行积分，就可以求出在纤芯中传输的功率Pi和在包层中传输的功率P0，再将芯子和包层中的功率相加，即可得出光纤中的总功率Pt。计算公式的具体推导步骤省略，这里只给出最后得出的结果：纤芯中的功率Pi为（3-23）,105,包层中的功率P0为（3-24）光纤中的总功率Pt为（3-25）式中，对于弱导波光纤，。Z0自由空间波阻抗。A常数。,106,6.阶跃光纤中导模数量的估算在光纤中，当不能满足单模传输条件（0n3,110,不管在哪层介质中，射线都满足折射定律，利用折射定律，可推导出如下关系：其中n(r)表示任一层介质的折射指数；z表示该层介质的轴向角。若令cosz0=N0，可得（3-27）则式（3-27）的右端表示了射线的起始条件，它等于芯子中任一层介质的折射指数与轴向角余弦的乘积。在图3-9中所表示的射线上，任取一点P，其轴向角为z，ds为该点射线的切线，当ds0时,111,利用式（3-27），则经整理后，可得出（3-28）也可写为（3-29）此式即为渐变型光纤子午线的轨迹方程。当光纤的折射率分布n(r)和射线的起始条件n0和N0为已知时，即可利用式（3-29）求出r和z的关系，亦即可以定出射线的轨迹。,112,3.渐变型光纤的最佳折射指数分布在渐变型光纤中，由于芯子中的折射指数分布不均匀，因此光射线的轨迹将不再是直线而是曲线，当射线的起始条件不同时，将有不同的轨迹存在。如果选用合适的n(r)分布，就有可能使芯子中的不同射线，以同样的轴向速度前进，从而可减小光纤中的模式色散。关于光纤中的色散问题，将在后面详细讨论，这里只对其中模式色散作一简单描述。,113,光功率以脉冲形式注入光纤后，将分布在光纤内所有模式之中，而不同模式沿着不同轨迹传输。每个模式的轴向传输速度不同，于是它们在相同的光纤长度上，到达某一点所需要的时间不同，从而使得沿光纤行进的脉冲，在时间上展宽，这种色散称为模式色散。而渐变型光纤，正是利用了n随r变化的特点，消除了模式色散。这种可以消除模式色散的n(r)分布，称为最佳折射指数分布。为了描述这个问题，将引入一个新的概念自聚焦现象。,114,（1）光纤的自聚焦。渐变型光纤中不同射线，具有相同轴向速度的这种现象，称为自聚焦现象，这种光纤称为自聚焦光纤。因此，不同的模式，在折射指数分布不均匀的光纤内，只要n(r)取得合适，则可以使它们沿着不同路径传输时，所需的时间差别不是太大，即认为它们具有相同的轴向速度。从而消除了模式色散。这样，就得到一个结论：具有不同起始条件的子午线，如果它们的空间周期长度相同，则这些子午线将同时到达终端，就可以在光纤中产生自聚焦。这种可以使光纤中产生自聚焦时的折射率分布，称为最佳折射指数分布。,115,（2）最佳折射指数分布的形式。究竟什么样的折射指数分布形式，可以使得光纤内的子午线产生自聚焦呢？对于这个问题，必须是在一定的条件下来探讨。1）射入纤芯的光功率，对各个模式是均匀激励的。2）光的中心波长0不变。3）各个模式在光纤中的传输损耗是相同的。根据前人经验，在这些假定条件下，当光纤芯子的折射指数，按双曲正割型分布时，不同起始条件的子午线，在纤芯中可得到相同的空间周期长度，既可以得到子午线的自聚焦。关于这个问题，应用渐变型光纤子午线的轨迹方程，即可得到证明，证明过程请看本章附录二。,116,为了分析方便，常将光纤的折射指数分布函数，写成指数形式（3-30）式中n(0)轴线处的折射指数。a任意常数，也可称为渐变指数。A与射线起始条件无关的常数。当a=时，n(r)=n(0)，即为阶跃光纤折射指数的表示式；当a为任意数时，代入n(r)式中，则都表示为渐变型光纤的折射指数表示式。这样，在a=2时，（3-31）称为平方律型光纤的折射指数表示式。它是渐变型光纤中的一种形式。,117,对于双曲正割型折射指数分布光纤，其折射指数分布可写为（3-32）它的幂级数展开式为（3-33）对于a=2的平方律型折射指数分布光纤，根据式（3-31），可写出它的展开式为（3-34）,118,如果忽略它们的高次项，则可以看出式（3-33）和（3-34）有相同的形式，为（3-35）因此，可得出这样的结论：严格来讲，只有折射指数按双曲正割型分布时的光纤，才可使光纤中子午线产生自聚焦，而由于平方律型折射指数分布光纤，具有较小的模式色散的特点。它的折射率分布形式，接近于最佳折射指数分布。这样可使分析问题简单化。所以，在下面讨论中，均以平方律型折射指数分布光纤为例。下面确定式（3-30）中的常数A。,119,由式（3-30）可得出：（3-36）当r=a时，其中（3-37）则得出（3-38）,120,将式（3-38）代入式（3-30），得出（3-39）此式为渐变型光纤a次方的折射率表示式。当a=2时，得出（3-40）式（3-40）即为平方律型折射指数分布光纤的折射指数表达式。亦称为渐变型光纤的最佳折射率分布表达式。,121,4.渐变型光纤的本地数值孔径在阶跃光纤中，由于芯子中的折射指数n1是不变的，因此，纤芯中各点的数值孔径都相同。而渐变型光纤芯子中的折射指数n1，随半径r而变化，因此其数值孔径是芯子端面上位置的函数。所以把射入纤芯某点r处的光线的数值孔径，称为该点的本地数值孔径，记作NA(r)。只有当入射光线的端面入射角max的射线，才可成为导波。确定渐变型光纤的数值孔径，要比确定阶跃光纤的数值孔径更加复杂。阶跃光纤的数值孔径它等于射入光纤端面的最大射入角正弦。,122,渐变型光纤芯子中某一点的数值孔径，根据式（3-5），可写为（3-41）式中，r为光纤芯子中任一点到轴线之间的距离，n(r)为该点的折射指数。从式（3-41）可看出，渐变型光纤的本地数值孔径，与该点的折射指数n(r)有关。当折射指数越大时，本地数值孔径也越大，表示光纤捕捉射线的能力越强。而芯子中的折射指数是随r的增加而减小的，轴线处的折射指数最大，即表明轴线处捕捉射线的能力最强。,123,二、渐变型光纤的标量近似解法渐变型光纤的标量解，也同样只适用于弱导波光纤。下面用标量近似解法求解平方律型折射指数分布光纤，求解的目的是为了得到传输常数的解析式，为后面分析光纤的色散特性打下基础。1.渐变型光纤的标量近似解在求解之前要假定纤芯半径为无穷大，此时能量较好地集中在纤芯中。在这种假定条件下，对于平方律型折射指数分布光纤来说，n(r)是按平方律型分布的，一直延伸到无穷远处，这样可忽略边界的作用。,124,（1）渐变型光纤中，本地平面波的概念。在第二章中已讨论了在各向同性的均匀介质中，平面波的表示式为对于渐变型光纤来说，光波是在各向同性而不均匀的介质中传输，由于各点的折射指数n不同，其相位常数k也不同，它应为因此，在渐变型光纤中，光波的电场、磁场的振幅和相位都应是空间位置r的函数。它们的复矢量E0(r)、H0(r)，只有局限在某一点时，才可认为是常矢量。也只有在这时，才可把这点的光波看成是均匀平面波。因此把渐变型光纤中某点的平面波，称为本地平面波。,125,（2）平方律型折射指数分布光纤的亥姆霍兹方程。前面在分析阶跃光纤标量解的场方程时，已得出其标量的亥姆霍兹方程为而在渐变型光纤中，由于n=n(r)，折射指数是坐标的函数，在直角坐标系中，如果用一个场量来代表任一电场或磁场分量，则其标量的亥姆霍兹方程为即（3-42）式中。,126,将式（3-40）代入k2式中，得出则也可写为（3-43）其中，此式即为平方律型折射指数分布光纤的标量亥姆霍兹方程的表示式。,127,为了分析问题简单，取直角坐标系，将式（3-43）在直角坐标系中展开，并考虑到r2=x2+y2，则（3-44）这是一个三维二阶变系数的偏微分方程。（3）用分离变量法求解。对于式（3-44）的偏微分方程，一般采用分离变量法求解，下面仅给出推导思路及最后结果，具体步骤请参看本章附录三。1）进行标量分离，化为常微分方程。2）求出(x)和(y)的解。3）求出的解。,128,（4）平方律型折射指数分布光纤的基模。从式（3-56）中可以看出，不同的m，n值即对应着不同的模式。当m=0，n=0时，所得模式为LP00模，它是平方律型折射指数分布光纤的基模。它的场表示式为：（3-57）可见，LP00模的场是按高斯函数分布的。随r增加而按高斯函数规律下降。如图3-11所示。式（3-57）中的S0是基模的一个重要参数。当r=0时，|(0)|=A00当r=S0时，可见，S0是场减小到最大值（轴线处）的处的半径，因此把S0称为LP00模的模场半径。,129,2.渐变型光纤中，导波相位常数的解析表示式在前面分析阶跃光纤中标量模特性时，曾确定传输常数的变化范围为k0n2Vc可传，VVc截止。因此，要保证光纤中只传输LP01一个模式，则必须要求Vc(LP01)VVc(LP11)即0VLP11模的c时，LP11模截止，则此时光纤中只传输LP01模。（3）模场直径d从理论上讲，单模光纤中只有基模（LP01）传输，基模场强在光纤横截面上的分布与光纤的结构有关，而模场直径就是衡量光纤截面上一定场强范围的物理量。对于均匀单模光纤，基模场强在光纤横截面上近似为高斯分布。通常，将纤芯中场分布曲线最大值的处，所对应的宽度定义为模场直径，用d表示。,147,三、单模光纤的双折射理论上单模光纤中只传输一个基模，但实际上，在单模光纤中有两个模式，即横向电场沿y方向极化和沿x方向极化的两个模式，它们的极化方向互相垂直，这两种模式分别表示为LPy01和LPx01。在理想的轴对称的光纤中，这两个模式有相同的传输相位常数，它们是相互简并的。但在实际光纤中，由于光纤形状、折射率、应力等分布的不均匀，将使两种模式的值不同，形成相位差，简并受到破坏。这种现象叫做双折射现象。由于双折射的存在，将引起偏振状态沿光纤长度变化。,148,1.线偏振、椭圆偏振和圆偏振偏振即极化的意思，是指场矢量的空间方位。一般选用电场强度E来定义偏振状态。如果矢量端点描绘出一条与x轴成角的直线，称为线偏振，如图3-14(a)所示。如果电场的水平分量与垂直分量振幅相等，相位相差/2时，则合成电场矢量将随着时间t的变化而围绕着传播方向旋转，其端点的轨迹是一个圆，称为圆偏振。如图3-14(b)所示。如果电场强度的两个分量，空间方向相互垂直，振幅和相位都不等时，随着时间t的变化，合成矢量端点的轨迹是一个椭圆，称为椭圆偏振，如图（3-14）（c）所示。,149,2.单模光纤的双折射（1）双折射定义。单模光纤中两个互相正交的偏振光，有不同的相位常数，叫做单模光纤的双折射。它是一种各向异性的表现，即光波在互相正交的两个方向偏振时，呈现出折射率不同，即n1xn1y，这样使得LPx01与LPy01的相位常数xy。（2）双折射的分类。根据双折射的特性，可分为线双折射、圆双折射、椭圆双折射。1）线双折射。线偏振光如果在两个正交的方向上，有不同的折射率，因而有不同的相位常数，这种双折射称为线双折射。2）圆双折射。在传输媒质中，当左旋圆偏振波和右旋圆偏振波有不同的折射率时，将使其有不同的相位常数，这种双折射称为圆双折射。,150,3）椭圆双折射。当线双折射和圆双折射同时存在时，得到椭圆双折射。（3）双折射对偏振状态的影响。单模光纤中，光波的偏振状态是沿传播方向（z轴）作周期性变化的。这主要是由于双折射的存在，使得LPx01与LPy01的传播速度不相等(因xy)，形成了相位差=x-y，于是偏振状态将沿光纤长度变化。以线双折射来说，沿光纤z方向，将由线偏振变成椭圆偏振，再变为圆偏振，呈周期性地变化，将偏振状态变化了一个周期的长度LB叫做单模光纤的拍长。也可以这样理解：两个正交的偏振模（即LPx01和LPy01），当相位变化之差为2时，这个长度为一个拍长。,151,双折射对偏振状态的影响，如图3-15所示。根据拍长定义，可写出：所以（3-72）式中（3-73）称为偏振双折射率,152,第五节光纤的传输特性,影响光纤最大传输距离的主要因素是光纤的损耗和色散。在这一节，主要讨论光纤的损耗特性和光纤的色散特性。一、光纤的损耗特性光纤的传输损耗是光纤通信系统中一个非常重要的问题，低损耗是实现远距离光纤通信的前提。形成光纤损耗的原因很复杂，归结起来主要包括两大类：吸收损耗和散射损耗。1.吸收损耗吸收作用是光波通过光纤材料时，有一部分光能变成热能，从而造成光功率的损失。,153,造成吸收损耗的原因很多，但都与光纤材料有关，下面主要介绍本征吸收和杂质吸收。（1）本征吸收。它是光纤基本材料（例如：纯SiO2）固有的吸收，并不是有杂质或者缺陷所引起的。因此，本征吸收基本上确定了任何特定材料的吸收的下限。吸收损耗的大小与波长有关，对于SiO2石英系光纤，本征吸收有两个吸收带，一个是紫外吸收带，一个是红外吸收带。紫外区的波长范围是：610-3m0.39m，它吸收的峰值在0.16m附近，是在现用的光通信频段之外，但此吸收带的尾部可拖到1m左右，将影响到0.7m1m的波段范围，随着波长增加按指数规律下降。对于掺锗的单模光纤来说，紫外吸收带的影响小于每公里1dB。,154,红外区的波长范围是0.76m300m，对于纯SiO2的吸收峰值在9.1m，12.5m和21m，吸收带的尾部可延伸到1.5m1.7m，已影响到目前使用的石英系光纤工作波长的上限，这也是使得波段扩展困难的原因之一。（2）杂质吸收。它是由光纤材料的不纯净而造成的附加的吸收损耗。影响最严重的是：过渡金属离子吸收和水的氢氧根离子吸收。1）过渡金属离子主要包括铁、铬、钴和铜等，它们在光纤工作波段都有自己的吸收峰，表3-4示出了几种过渡金属离子吸收峰的波长。进入80年代以后，由于原材料的改进及工艺的完善，过渡金属离子吸收问题已基本上得到了解决。,155,2）氢氧根粒子吸收。熔融的石英玻璃中含水时，由水分子中的氢氧根离子（OH-）振动而造成的吸收。OH-的吸收峰值在2.7m附近，振动损耗的二次谐波在0.9m，三次波在0.72m。在这些吸收峰之间存在着几个低衰减区。用VAD法（汽相轴向沉积法）制作的光纤，当OH-含量小于0.8g/kg时，光纤的损耗曲线示于图3-16。从图中可以看出，在1.3m1.6m范围内，损耗都非常小。2.散射损耗由于光纤的材料、形状、折射指数分布等的缺陷或不均匀，使光纤中传导的光散射而产生的损耗称为散射损耗。,156,散射损耗包括线性散射损耗和非线性散射损耗。所谓线性或非线性损耗，主要是指散射损耗所引起的损耗功率与传播模式的功率是否成线性关系。线性散射损耗主要包括：瑞利散射和材料不均匀引起的散射；非线性散射主要包括：受激喇曼散射和受激布里渊散射等。在这里，只介绍两种线性散射损耗。（1）瑞利散射损耗。这也是光纤的本征散射损耗。这种散射是由于光纤材料的折射率随机性变化而引起的。材料的折射率变化是由于密度不均匀或者内部应力不均匀而产生散射。当折射率变化很小时，引起的瑞利散射是光纤散射损耗的最低限度，这种瑞利散射是固有的，不能消除。,157,瑞利散射