最值综合题(几何)-全国各地2019年中考数学压轴题几何大题题型分类汇编(解析版)

2019全国各地中考数学压轴大题几何综合7、 最值综合题1.（2019绍兴）有一块形状如图的五边形余料ABCDE，ABAE6，BC5，AB90，C135，E90，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积（2）能否截出比（1）中更大面积的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值；如果不能，说明理由解：（1）若所截矩形材料的一条边是BC，如图1所示：过点C作CFAE于F，S1ABBC6530；若所截矩形材料的一条边是AE，如图2所示：过点E作EFAB交CD于F，FGAB于G，过点C作CHFG于H，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，C135，FCH45，CHF为等腰直角三角形，AEFG6，HGBC5，BGCHFH，BGCHFHFGHG651，AGABBG615，S2AEAG6530；（2）能；理由如下：在CD上取点F，过点F作FMAB于M，FNAE于N，过点C作CGFM于G，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，C135，FCG45，CGF为等腰直角三角形，MGBC5，BMCG，FGDG，设AMx，则BM6x，FMGM+FGGM+CGBC+BM11x，SAMFMx（11x）x2+11x（x5.5）2+30.25，当x5.5时，S的最大值为30.25 2.（2019绍兴）如图，矩形ABCD中，ABa，BCb，点M，N分别在边AB，CD上，点E，F分别在边BC，AD上，MN，EF交于点P，记kMN：EF（1）若a：b的值为1，当MNEF时，求k的值（2）若a：b的值为，求k的最大值和最小值（3）若k的值为3，当点N是矩形的顶点，MPE60，MPEF3PE时，求a：b的值解：（1）如图1中，作EHBC于H，MQCD于Q，设EF交MN于点O四边形ABCD是正方形，FHAB，MQBC，ABCB，FHMQ，EFMN，EON90，ECN90，MNQ+CEO180，FEH+CEO180FEHMNQ，EHFMQN90，FHEMQN（ASA），MNEF，kMN：EF1（2）a：b1：2，b2a，由题意：2aMNa，aEFa，当MN的长取最大时，EF取最短，此时k的值最大最大值，当MN的最短时，EF的值取最大，此时k的值最小，最小值为（3）连接FN，MEk3，MPEF3PE，3，2，FPNEPM，PNFPME，2，MENF，设PE2m，则PF4m，MP6m，NP12m，如图2中，当点N与点D重合时，点M恰好与B重合作FHBD于HMPEFPH60，PH2m，FH2m，DH10m，如图3中，当点N与C重合，作EHMN于H则PHm，HEm，HCPH+PC13m，tanHCE，MEFC，MEBFCBCFD，BD，MEBCFD，2，综上所述，a：b的值为或3.（2019益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB4，BC6若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动（1）当OAD30时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cosOAD的值解：（1）如图1，过点C作CEy轴于点E，矩形ABCD中，CDAD，CDE+ADO90，又OAD+ADO90，CDEOAD30，在RtCED中，CECD2，DE2，在RtOAD中，OAD30，ODAD3，点C的坐标为（2，3+2）；（2）M为AD的中点，DM3，SDCM6，又S四边形OMCD，SODM，SOAD9，设OAx、ODy，则x2+y236，xy9，x2+y22xy，即xy，将xy代入x2+y236得x218，解得x3（负值舍去），OA3；（3）OC的最大值为8，如图2，M为AD的中点，OM3，CM5，OCOM+CM8，当O、M、C三点在同一直线时，OC有最大值8，连接OC，则此时OC与AD的交点为M，过点O作ONAD，垂足为N，CDMONM90，CMDOMN，CMDOMN，即，解得MN，ON，ANAMMN，在RtOAN中，OA，cosOAD4.（2019淮安）如图，在ABC中，ABAC3，BAC100，D是BC的中点小明对图进行了如下探究：在线段AD上任取一点P，连接PB将线段PB绕点P按逆时针方向旋转80，点B的对应点是点E，连接BE，得到BPE小明发现，随着点P在线段AD上位置的变化，点E的位置也在变化，点E可能在直线AD的左侧，也可能在直线AD上，还可能在直线AD的右侧请你帮助小明继续探究，并解答下列问题：（1）当点E在直线AD上时，如图所示BEP50；连接CE，直线CE与直线AB的位置关系是ECAB（2）请在图中画出BPE，使点E在直线AD的右侧，连接CE试判断直线CE与直线AB的位置关系，并说明理由（3）当点P在线段AD上运动时，求AE的最小值解：（1）如图中，BPE80，PBPE，PEBPBE50，结论：ABEC理由：ABAC，BDDC，ADBC，BDE90，EBD905040，AE垂直平分线段BC，EBEC，ECBEBC40，ABAC，BAC100，ABCACB40，ABCECB，ABEC故答案为50，ABEC（2）如图中，以P为圆心，PB为半径作PAD垂直平分线段BC，PBPC，BCEBPE40，ABC40，ABEC（3）如图中，作AHCE于H，点E在射线CE上运动，点P在线段AD上运动，当点P运动到与点A重合时，AE的值最小，此时AE的最小值AB35.（2019巴中）如图，在菱形ABCD中，连结BD、AC交于点O，过点O作OHBC于点H，以点O为圆心，OH为半径的半圆交AC于点M求证：DC是O的切线若AC4MC且AC8，求图中阴影部分的面积在的条件下，P是线段BD上的一动点，当PD为何值时，PH+PM的值最小，并求出最小值解：过点O作OGCD，垂足为G，在菱形ABCD中，AC是对角线，则AC平分BCD，OHBC，OGCD，OHOG，OH、OG都为圆的半径，即DC是O的切线；AC4MC且AC8，OC2MC4，MCOM2，OH2，在直角三角形OHC中，HOCO，OCH30，COH60，HC，S阴影SOCHS扇形OHMCHOHOH22；作M关于BD的对称点N，连接HN交BD于点P，PMNP，PH+PMPH+PNHN，此时PH+PM最小，ONOMOH，MOH60，MNH30，MNHHCM，HN=HC=2，即：PH+PM的最小值为2，PD=OP+OD=26.（2019河北）如图，ABC和ADE中，ABAD6，BCDE，BD30，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为APC的内心（1）求证：BADCAE；（2）设APx，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当ABAC时，AIC的取值范围为mAICn，分别直接写出m，n的值解：（1）在ABC和ADE中，（如图1） ABCADE（SAS）BACDAE即BAD+DACDAC+CAEBADCAE（2）AD6，APx，PD6x当ADBC时，APAB3最小，即PD633为PD的最大值（3）如图2，设BAP，则APC+30，ABACBAC90，PCA60，PAC90，I为APC的内心AI、CI分别平分PAC，PCA，IACPAC，ICAPCAAIC180（IAC+ICA）180（PAC+PCA）180（90+60）+105090，105+105150，即105AIC150，m105，n1507.（2019广州）如图，等边ABC中，AB6，点D在BC上，BD4，点E为边AC上一动点（不与点C重合），CDE关于DE的轴对称图形为FDE（1）当点F在AC上时，求证：DFAB；（2）设ACD的面积为S1，ABF的面积为S2，记SS1S2，S是否存在最大值？若存在，求出S的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当B，F，E三点共线时求AE的长解：（1）ABC是等边三角形ABC60由折叠可知：DFDC，且点F在AC上DFCC60DFCADFAB；（2）存在，过点D作DMAB交AB于点M，ABBC6，BD4，CD2DF2，点F在以D为圆心，DF为半径的圆上，当点F在DM上时，SABF最小，BD4，DMAB，ABC60MD2SABF的最小值6（22）66S最大值23（66）36（3）如图，过点D作DGEF于点G，过点E作EHCD于点H，CDE关于DE的轴对称图形为FDEDFDC2，EFDC60GDEF，EFD60FG1，DGFGBD2BG2+DG2，163+（BF+1）2，BF1BGEHBC，C60CH，EHHCECGBDEBH，BGDBHE90BGDBHEEC1AEACEC78.（2019南通）如图，矩形ABCD中，AB2，AD4E，F分别在AD，BC上，点A与点C关于EF所在的直线对称，P是边DC上的一动点（1）连接AF，CE，求证四边形AFCE是菱形；（2）当PEF的周长最小时，求的值；（3）连接BP交EF于点M，当EMP45时，求CP的长证明：（1）如图：连接AF，CE，AC交EF于点O四边形ABCD是矩形，ABCD，ADBC，ADBCAEOCFO，EAOFCO，点A与点C关于EF所在的直线对称AOCO，ACEFAEOCFO，EAOFCO，AOCOAEOCFO（AAS）AECF，且AECF四边形AFCE是平行四边形，且ACEF四边形AFCE是菱形；（2）如图，作点F关于CD的对称点H，连接EH，交CD于点P，此时EFP的周长最小，四边形AFCE是菱形AFCFCEAE，AF2BF2+AB2，AF2（4AF）2+4，AFAECFDE点F，点H关于CD对称CFCHADBC（3）如图，延长EF，延长AB交于点N，过点E作EHBC于H，交BP于点G，过点B作BOFN于点O，由（2）可知，AECF，BFDEEHBC，AABC90四边形ABHE是矩形ABEH2，BHAEFH1EF，ADBCBFNAENBN3，NFAN5，NENN，BONA90NBONEABO，NOEMPBMO45，BOENOBMBMO45BOMOMEENNOMOABEHBNMGEMEGGHEHEGEHCDBGHBPCCP9.（2019贵港）已知：ABC是等腰直角三角形，BAC90，将ABC绕点C顺时针方向旋转得到ABC，记旋转角为，当90180时，作ADAC，垂足为D，AD与BC交于点E（1）如图1，当CAD15时，作AEC的平分线EF交BC于点F写出旋转角的度数；求证：EA+ECEF；（2）如图2，在（1）的条件下，设P是直线AD上的一个动点，连接PA，PF，若AB，求线段PA+PF的最小值（结果保留根号）（1）解：旋转角为105理由：如图1中，ADAC，ADC90，CAD15，ACD75，ACA105，旋转角为105证明：连接AF，设EF交CA于点O在EF时截取EMEC，连接CMCEDACE+CAE45+1560，CEA120，FE平分CEA，CEFFEA60，FCO180457560，FCOAEO，FOCAOE，FOCAOE，COEFOA，COEFOA，FAOOEC60，ACF是等边三角形，CFCAAF，EMEC，CEM60，CEM是等边三角形，ECM60，CMCE，FCAMCE60，FCMACE，FCMACE（ASA），FMAE，CE+AEEM+FMEF（2）解：如图2中，连接AF，PB，AB，作BMAC交AC的延长线于M由可知，EAFEAB75，AEAE，AFAB，AEFAEB，EFEB