用有限覆盖定理证明实数完备性的几个定理

第一章 前言众所周知, 极限的存在性问题是极限理论的首要问题. 一个数列是否存在极限不仅与数列本身的结构有关, 而且与数列所在的数集密切相关. 从运算的角度来说, 实数集关于极限的运算是封闭的, 它反映了实数集的完备性, 这是实数的优点. 因此, 将极限理论建立在实数集之上, 极限理论就有了坚实的基础.我们常常从实数系的连续性出发证明实数系的完备性, 也可从实数系的完备性出发去证明实数系的连续性, 所以这两个关系是等价的. 因此, 我们也称实数系的连续性为实数系的完备性.数学分析课程是高等学校数学专业的主要基础课程之一, 更是高等师范学校数学教育专业最主要的基础课程. 在数学分析教材中, 实数集的确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理和有限覆盖定理通称为实数的完备性定理, 他们各自从不同的角度反映了实数的完备性或称为实数的连续性, 成为数学理论乃至数学分析坚实的基础. 这六个基本定理是相互等价的, 也就是说可以相互循环论证. 在我们学过的刘玉琏等主编的数学分析讲义中, 实数完备性基本定理是从公理出发, 首先运用公理证明了闭区间套定理, 然后用前一个定理为条件, 证明了后一个定理的结论, 它们依次是: 确界定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则的充要性, 最后再运用柯西收敛准则的充要性证明了公理（作为练习题）. 而在本文中把有限覆盖定理作为出发点, 利用反证法和有限覆盖的思想来分别证明确界原理、单调有界定理、区间套定理、聚点定理、柯西收敛准则. 下面我们就来阐述有限覆盖的定义和定理的内容, 为后面的证明做铺垫.定义1.2.1 设为数轴上的点集, 为开区间的集合,（即的每一个元素都是形如的开区间）, 若中任何一点都含在中至少一个开区间内, 则称为的一个开覆盖, 或称覆盖. 若中开区间的个数是无限（有限）的, 则称为的一个无限开覆盖（有限开覆盖）. 定理1.2.1 （有限覆盖定理）设为闭区间的一个（无限）开覆盖, 则从中可选出有限个开区间来覆盖.第二章 有限覆盖定理证明实数完备性的其它定理 2.1 用有限覆盖定理证明确界定理 本节主要运用有限覆盖定理证明确界定理, 首先给出确界的定义和定理如下:定义2.1.1 有非空的数集, 如果存在, 有下列性质:（1）对任意, 有;（2）对任意, 总存在某个数, 有, 则称是数集的上确界, 认为: . 定义2.1.2 非空的数集, 如果存在, 有下列性质: （1）对任意, 有;（2）对任意, 总存在某个数, 有, 则称是数集的下确界, 认为: .定理2.1.1（确界定理）任何非空集, 若它有上界, 则必有上确界（等价地若有下界, 必有下确界）.证明 设有. 任取一点, 考虑闭区间, 假若无上确界（最小上界）, 那么:i) 当为的上界时, 必有更小的上界, 因而有一开领域, 其中皆为的上界;ii) 当不是的上界时, 自然有中的点, 于是有开领域, 其中每点皆不是的上界.上每点都找出一个领域, 它要么属于第一类（每点为上界）, 要么属于第二类（每点皆不是上界）, 这些领域, 组成闭区间的一个开覆盖, 由有限覆盖定理,必存在有限子覆盖, 注意, 所在的开区间, 应为第一类的, 相邻接的开区间有公共点, 也应为第一类的, 经过有限次邻接. 可知所在的开区间也是第一类, 这便得出矛盾. 从而得证非空集, 若它有上界, 则必有上确界. 同理可证非空集, 若它有下界, 则必有下确界.2.2 用有限覆盖定理证明单调有界定理 本节主要运用有限覆盖定理证明单调有界定理, 首先给出单调有界的定义和定理如下:定义2.2.1 若数列的各项满足关系式 ,则称为递增（递减）数列. 递增数列和递减数列统称为单调数列.定理2.2.1（单调有界定理）任何有界的单调数列一定有极限.证明 不妨设为单调有界数列, 若对, 都不是的极限, 则 对 有 则在内仅含有的有限项, 令, 则是闭区间的一个开覆盖, 由有限覆盖定理知: 其必存在有限子覆盖, 不妨设存在 是它的一个子覆盖, 即, 而只含有限个点, 从而它们的并也只含有限个点, 从而得出也只含有限个点, 这与是无限点集矛盾, 从而得证任何有界的单调数列一定有极限.2.3 用有限覆盖定理证明区间套定理 本节主要运用有限覆盖定理证明区间套定理, 首先给出区间套的定义和定理如下:定义2.3.1 若闭区间列具有下列性质: （1）,n=1,2,3;（2）则称这个闭区间列为闭区间套, 或称区间套.定理2.3.1（区间套定理）若是一个区间套, 则存在唯一一点, 使得, n=1,2,3, 或, n=1,2,3, 证明 设为闭区间套, 但对, 至少, 使, 从而, 使.现因是的一个开覆盖, 故中有限个开区间即可完全覆盖, 记为 ,其中 （=1,2,n;）. 令, 则. 于是对, 都有, 由此得出 这与为的开覆盖条件矛盾, 从而假设不成立, 问题得证.2.4 用有限覆盖定理证明聚点定理 本节主要运用有限覆盖定理证明聚点定理, 首先给出聚点的定义和定理如下:定义2.4.1 设是直线上的点集, 是一个定点（它可属于, 也可不属于）. 若的任意领域内含有的无限多个点, 则称为的一个聚点.其等价定义: 对于点集, 若点的任意邻域内都含有的一个异于的点（即）, 则称为的一个聚点.定理 2.4.1（聚点定理）直线上的有界无限点集至少有一个聚点. 证明 设为直线上有界无穷点集, 若存在, 使中任何点不是的聚点, 则对每一个, 必存在相应的, 使得在内至多含有的有限多个点.设, 则是的一个开覆盖, 由有限覆盖定理, 中存在有限个开覆盖（j=1,2,3,）构成的一个开覆盖, 当然也覆盖了. 则在中至多含有的有限多个点（j=1,2,3,）. 故为有限点集, 这与题设为无限点集相矛盾. 于是, 至少有一个聚点.2.5 用有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则 本节主要运用有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则, 首先给出Cauchy收敛准则如下:定理2.5.1 （柯西收敛准则）数列收敛的充要条件是: 对任给的正数, 总存在某一个自然数, 使得时, 都有 柯西收敛准则又叫实数完备性定理.柯西收敛准则（充分性部分） 若实数列满足: ,有, 则收敛.证明 有 其中是有界的, 设, 若对, 都不是的极限, 则 对 有 则在内仅含有的有限项, 令, 则是闭区间的一个开覆盖, 由有限覆盖定理知: 其必存在有限子覆盖, 不妨设存在是它的一个子覆盖, 即, 而只含有限个点, 从而它们的并也只含有限个点, 从而得出也只含有限个点, 这与是无限点集矛盾, 从而假设不成立, 问题得证.柯西收敛准则 （必要性部分）若实数列收敛, 则满足:,时, 有成立.证明 设收敛于, 按照收敛的定义, 时, 有 于是 .2.6 总结众所周知, 实数系的完备性是实数的一个重要特征, 与之相关的6个基本定理是彼此等价的, 并且是论证其它一些重要定理（如一致连续定理等）的依据, 确界定理、单调有界定理、闭区间套定理、柯西收敛准则、聚点定理、柯西收敛准则属于同一类型, 它们都指出, 在某一条件下，便有某种“点”存在, 而有限覆盖定理属于另一种类型, 它是其它实数完备性定理的逆否形式, 不论是前五个定理来分别证明有限覆盖定理, 还是在本文研究的用有限覆盖定理分别推出前五个定理, 都可用反证法完成; 同时需要特别强调的是有理数集并不具有完备性.参考文献1 刘玉琏等, 数学分析讲义与指导M, 第2版 , 高等教育出版社, 2005.2 华东师范大学数学系, 数学分析M, 第2版, 高等教育出版社, 1991.3 裴礼文编的数学分析中的典型问题与方法, 第2版, 高等教育出版社.4 陈纪修等, 数学分析M,第2版, 高等教育出版社, 2004.5 裘兆泰、王承国、章仰文编的数学分析学习指导M, 科学出版社, 2004.致谢为期近半年的论文写作即将画上一个圆满的句号, 在论文写作的过程中,从论文的选题到确定思路, 从资料的搜集、提纲的拟定到内容的写作与修改, 继而诸多观点的梳理, 都得益于我的导师李老师的悉心指导和匠心点拨.论文的点评中总是闪烁着智慧的火花, 与她的每次交谈我都能从中获益.她严谨的治学态度, 一丝不苟的负责精神, 以及对学生孜孜不倦的教诲都给予了我极其深刻